Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 7

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7.5 Examples of natural transformations
- Exercise 9
7.6 Exponentials of categories
- Proposition 7.13
7.8 Monoidal categories
- Exercise 18
7.9 Equivalence of categories
- Proposition 7.26
7.10 Examples of equivalence
参考書籍

7.5 Examples of natural transformations

Exercise 9

任意の $U \subseteq B$ に対して $f^{\ast} \colon \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(A)$ は $f^{\ast}(U) = \left\{ a \in A \ \middle| \ f(a) \in U \right\}$ と表すことができます。
同様に任意の $V \subseteq \mathcal{P}(A)$ に対して $f^{\ast\ast} \colon \mathcal{PP}(A) \to \mathcal{PP}(B)$ は $f^{\ast\ast}(V) = \left\{ U \in \mathcal{P}(B) \ \middle|\ f^{\ast}(U) \in V \right\}$ と表されます。

$Lemma$
\[ \eta \colon 1_{\bf{Sets}} \to \ast\ast \text{ is a natural transformation}. \] $Proof.$
任意の集合 $A, B$ と任意の $f \colon A \to B$ に対して $f^{\ast\ast} \circ \eta_{A} = \eta_{B} \circ f$ が成り立つことを示せばよい。
任意の $a \in A$ に対して
\[
\begin{align*}
(f^{\ast\ast} \circ \eta_{A})(a) &= f^{\ast\ast} \left( \left\{ U \subseteq A \ \middle| \ a \in U \right\} \right) \\
&= \left\{ V \in \mathcal{P}(B) \ \middle| \ f^{\ast}(V) \in \left\{ U \subseteq A \ \middle| \ a \in U \right\} \right\} \\
&= \left\{ V \subseteq B \ \middle| \ a \in f^{-1}(V) \right\} \\
&= \left\{ V \subseteq B \ \middle| \ f(a) \in V \right\} \\
&= (\eta_{B} \circ f)(a)
\end{align*}
\]
が成り立つので、 $\eta$ は natural transformation である。

$\square$

7.6 Exponentials of categories

Proposition 7.13

書籍では、写像に対して片方の引数を固定した bifunctor を適用するとき $F(A, \beta)$ のように記述されていますが、これは厳密には $F_{1}(1_{A}, \beta)$ の意味であるということを確認しておきましょう。

$Lemma$
\[ \epsilon \colon \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}}) \times {\bf{C}} \to {\bf{D}} \text { is functorial}. \] $Proof.$
$\epsilon_{0}$ を任意の $F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0}$ と任意の $C \in {\bf{C}}_{0}$ に対して $\epsilon_{0}(F,C) = F(C)$ で定義する。また $\epsilon_{1}$ を任意の $\theta \colon F \to G \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1}$ と任意の $f \colon C \to C' \in {\bf{C}}_{1}$ に対して $\epsilon_{1}(\theta, f) = G(f) \circ \theta_{C}$ で定義する。このとき bifunctor lemma より $\epsilon$ が functor となることを示す。

初めに $F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0}$ を固定すると、任意の $C \in {\bf{C}}_{0}$ と任意の $f \colon C \to C' \in {\bf{C}}_{1}$ に対して $\epsilon_{0}(F,C) = F(C)$ 、 $\epsilon_{1}(1_{F}, f) = F(f) \circ 1_{F(C)} = F(f)$ が成り立つ。よって $F$ が functor であることより $\epsilon(F, -)$ は functor である。

次に $C \in {\bf{C}}_{0}$ を固定すると、任意の $F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0}$ と任意の $\theta \colon F \to G \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1}$ に対して $\epsilon(-, C)_{1}(\theta) = \epsilon_{1}(\theta, 1_{C}) = \theta_{C} \colon F(C) \to G(C) = \theta_{C} \colon \epsilon(-, C)_{0}(F) \to \epsilon(-,C)_{0}(G)$ が成り立つ。よって $\epsilon(-,C)$ は functor の条件 (a) を満たす。
また $\epsilon(-,C)_{1}(1_{F}) = \epsilon(1_{F}, 1_{C}) = 1_{FC} = 1_{\epsilon(-,C)_{0}(F)}$ が成り立つので $\epsilon(-,C)$ は functor の条件 (b) を満たす。
任意の $\theta' \colon G \to H \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1}$ に対して $\epsilon(-,C)_{1}(\theta' \circ \theta) = H(1_{C}) \circ \theta'_{C} \circ \theta_{C} = \epsilon(-,C)_{1}(\theta') \circ \epsilon(-,C)_{1}(\theta)$ が成り立つので $\epsilon(-,C)$ は functor の条件 (c) を満たす。

$\epsilon$ が interchage law を満たすことは下の等しい diagram が可換になることと同値であるが、これは $\theta$ が natural transformation であることから自明である。

f:id:hitotakuchan:20160602133842p:plain

$\square$

$Lemma$
\[ \forall F \colon {\bf{X}} \times {\bf{C}} \to {\bf{D}},\, \exists \tilde{F} \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}}, {\bf{D}}),\, \epsilon \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}}) = F \] $Proof.$
$\tilde{F} \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}}$ を任意の $X \in {\bf{X}}_{0}$ と任意の $f \colon X \to X' \in {\bf{X}}_{1}$ に対して $\tilde{F}_{0}(X) = F(X,-)$ 、 $\tilde{F}_{1}(f) = \left( F(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}}$ で定義する。
このとき $\tilde{F}(f)$ が natural transformation になることは、任意の $C, C' \in {\bf{C}}_{0}$ と任意の $g \colon C \to C'$ に対して以下の diagram が可換になることと同値であるが、これは $F$ が functor であることより成り立つ。

f:id:hitotakuchan:20160603120017p:plain

次に $\tilde{F}$ が functor になることを示す。
上の議論より $\tilde{F}_{1}(f \colon X \to X') \colon \tilde{F}_{0}(X) \to \tilde{F}_{0}(X')$ となるので $\tilde{F}$ は functor の条件 (a) を満たす。
次に $\tilde{F}_{1}(1_{X}) = \left( F(1_{X}, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = 1_{\tilde{F}_{0}(X)}$ であるから $\tilde{F}$ は functor の条件 (b) を満たす。
最後に $\tilde{F}_{1}(f' \circ f) = \left( F(f' \circ f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( F(f', 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} \circ \left( F(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \tilde{F}_{1}(f') \circ \tilde{F}_{1}(f)$ が成り立つので $\tilde{F}$ は functor の条件 (c) を満たす。

最後に $\epsilon_{0} \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}})_{0}(X, C) = \epsilon_{0}(F(X, -), C) = F_{0}(X,C)$ 、 $\epsilon_{1} \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}})_{1}(f, g) = \epsilon_{1}(\tilde{F}(f), g) = F(1_{X'}, g) \circ F(f, 1_{C}) = F_{1}(f, g)$ が成り立つので $\epsilon \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}}) = F$ が成り立つ。

$\square$

$Lemma$
\[ \forall G \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}}, {\bf{D}}),\, \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)} = G \] $Proof.$
任意の $X \in {\bf{X}}_{0}$ と任意の $C \in {\bf{C}}_{0}$ に対して $\widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{0}(X)(C) = \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}})(X, C) = G(X)(C)$ が成り立つ。
また任意の $g \in {\bf{C}}_{1}$ に対して $\widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{0}(X)(g) = \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}})(1_{X}, g) = G(X)(g) \circ G(1_{X})_{C} = G(X)(g)$ が成り立つ。
次に任意の $f \colon X \to X' \in {\bf{X}}_{1}$ に対して $\widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{1}(f) = \left( \left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( \epsilon \circ \left( G(f), 1_{C} \right) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( G(f)_{C} \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = G(f)$ が成り立つ。
以上より $\widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)} = G$ が成り立つ。

$\square$

7.8 Monoidal categories

Exercise 18

圏 $\bf{C}$ が finite product を持つとき $({\bf{C}}, \times, {\bf{1}})$ が monoidal category になることを証明します。
初めに $\alpha$ を $\alpha = \left( \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right> \right)_{(A,B,C) \in {\bf{C}} \times {\bf{C}} \times {\bf{C}}}$ で定義します。また $\lambda$ を $\lambda = \left( \pi_{A} \colon {\bf{1}} \times A \to A \right)_{A \in {\bf{C}}}$ で定義し、同様に $\rho$ を定義します。
このとき $\alpha$ 、 $\lambda$ 、 $\rho$ が natural isomorphism となることを証明します。

$Lemma$
\[ \alpha \text{ is a natural isomorphism}. \] $Proof.$

任意の $A,B,C$ に対して $\alpha_{ABC}$ が isomorphism であること

$\alpha_{ABC}^{-1}$ を $\alpha_{ABC}^{-1} = \left< \pi_{A} \circ \pi_{A \times B}, \left< \pi_{B} \circ \pi_{A \times B}, \pi_{C} \right> \right>$ で定義する。
$\pi_{A} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = \pi_{A}$ 、
$\pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}$ 、
$\pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}$
が成り立つので product の UMP より $\alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = 1_{A \times (B \times C)}$ が成り立つ。
同様に
$\pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{A} \circ \pi_{A \times B}$ 、
$\pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{B} \circ \pi_{A \times B}$ 、
$\pi_{C} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{C}$
が成り立つので product の UMP より $\alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = 1_{(A \times B) \times C}$ が成り立つ。
よって $\alpha_{ABC}$ は isomorphism である。

$\alpha$ が natural transformation であること

任意の $f \colon A \to A', g \colon B \to B', h \colon C \to C'$ に対して以下の diagram が可換になればよい。
f:id:hitotakuchan:20160608145327p:plain

$\pi_{A'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A'} \circ (f \times g) \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = f \circ \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = f \circ \pi_{A}$
$\pi_{A'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left(f \times (g \times h) \right) = \pi_{A'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = f \circ \pi_{A}$

$\pi_{B'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B'} \circ (f \times g) \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = g \circ \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = g \circ \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}$
$\pi_{B'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{B'} \circ \pi_{B' \times C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{B'} \circ (g \times h) \circ \pi_{B \times C} = g \circ \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}$

$\pi_{C'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = h \circ \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} = h \circ \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}$
$\pi_{C'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{C'} \circ \pi_{B' \times C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{C'} \circ (g \times h) \circ \pi_{B \times C} = h \circ \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}$

が成り立つので product の UMP より $\left((f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right)$ が成り立つ。

$\square$

$Lemma$
\[ \lambda \text{ is a natural isomorphism}. \] $Proof.$

任意の $A$ に対して $\lambda_{A}$ が isomorphism であること

terminal object $\bf{1}$ への写像を $\bf{1}$ で表すとすると以下の diagram より $\pi_{A} \circ \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> = 1_{A}$ が成り立つ。
f:id:hitotakuchan:20160608151255p:plain

一方、 $\pi_{A} \circ \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> \circ \pi_{A} = \pi_{A}$ が成り立つので、以下の diagram は可換になる。
f:id:hitotakuchan:20160608151412p:plain

よって product の UMP より $\left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> \circ \pi_{A} = 1_{A}$ が成り立つ。以上より $\lambda_{A} = \pi_{A}$ は isomorphism である。

$\lambda$ が natural transformation であること

任意の $f \colon A \to A'$ に対して $\pi_{A'} \circ (1_{\bf{1}} \times f) = f \circ \pi_{A}$ が成り立つので、 $\pi_{A}$ は natural transformation である。

$\square$

$\rho$ の場合も同様に証明できます。
次に2つの diagram が可換になることを証明します。3つ目の diagram は初めの2つの diagram の可換性から証明できるので省略します。
diagram に現れる $\alpha_{ABC \times D}, \alpha_{A \times BCD}, \alpha_{AB \times CD}$ に関して $\alpha$ の定義より以下のことが成り立つことを確認しておきます。
$\alpha_{ABC \times D} = \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right>, \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right>$
$\alpha_{A \times BCD} = \left< \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right>, \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \right>$
$\alpha_{AB \times CD} = \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right>, \pi_{D} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right>$

$Lemma$
\[ \forall A,B,C,D,\ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} = (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \] $Proof.$
\[
\begin{align*}
\pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{A} \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right> \\
&= \pi_{A}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1 \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A} \circ (1 \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right> \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{C} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{C} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{C} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{D} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{D} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{D} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{D} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]
以上と product の UMP より $\alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} = (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD})$ が成り立つ。

$\square$

$Lemma$
\[ \forall A,\ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = 1_{A} \times \lambda_{A} \] $Proof.$
$A \times A$ から $A$ への projection を $\pi_{1}, \pi_{2}$ で表すと、
$\pi_{1} \circ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{1} \circ \pi_{A \times {\bf{1}}} \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A}$
$\pi_{1} \circ (1_{A} \times \lambda_{A}) = \pi_{A}$

$\pi_{2} \circ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A} \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A} \circ \pi_{{\bf{1}} \times A}$
$\pi_{2} \circ (1_{A} \times \lambda_{A}) = \pi_{A} \circ \pi_{{\bf{1}} \times A}$

が成り立つので product の UMP より $(\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = 1_{A} \times \lambda_{A}$ が成り立つ。

$\square$

7.9 Equivalence of categories

Proposition 7.26

(2 implies 1) の証明の中で $E \colon {\bf{D}} \to {\bf{C}}$ を定義するために、任意の $D \in {\bf{D}}_{0}$ に対して $E(D) \in {\bf{C}}_{0}$ を選ぶ箇所で選択公理を仮定しています。

7.10 Examples of equivalence

Proposition 7.28

arrow $f \colon A \rightharpoondown B$ を $(U_{f} \subseteq A, f)$ と表すことにします。すると ${\bf{Par}}$ における写像の結合は $(U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) = (f^{-1}(U_{g}), g \circ f)$ と表せます。

$Lemma$
\[ {\bf{Par}} \text{ is a category}. \] $Proof.$
f:id:hitotakuchan:20160613142238p:plain
任意の $(U_{f}, f),(U_{g}, g), (U_{h}, h)$ に対して $(U_{h}, h) \circ \left( (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) \right) = (U_{h}, h) \circ \left( f^{-1}(U_{g}), g \circ f \right) = \left( (g \circ f)^{-1}(U_{h}), h \circ (g \circ f) \right)$ 、 $\left( (U_{h}, h) \circ (U_{g}, g) \right) \circ (U_{f}, f) = \left( g^{-1}(U_{h}), h \circ g \right) \circ (U_{f}, f) = \left( f^{-1} \left( g^{-1}(U_{h}) \right), (h \circ g) \circ f \right)$ が成り立つ。
$(g \circ f)^{-1}(U_{h}) = (f^{-1} \circ g^{-1})(U_{h})$ 、 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ が成り立つので、 $(U_{h}, h) \circ \left( (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) \right) = \left( (U_{h}, h) \circ (U_{g}, g) \right) \circ (U_{f}, f)$ が成り立つ。

f:id:hitotakuchan:20160613142252p:plain
また $(B, 1_{B}) \circ (U_{f}, f) = \left( f^{-1}(B), 1_{B} \circ f \right) = (U_{f}, f)$ 、 $(U_{f}, f) \circ (A, 1_{A}) = \left( 1_{A}^{-1}(U_{f}), f \circ 1_{A} \right) = (U_{f}, f)$ が成り立つ。

$\square$

$Lemma$
\[ F \colon {\bf{Par}} \to {\bf{Sets}}_{\ast} \text{ is a funcotr}. \] $Proof.$
書籍のように $F$ を定義すると、任意の $f \colon A \rightharpoondown B$ に対して $F(f) \colon F(A) \to F(B)$ となるので、 $F$ は functor の条件 (a) を満たす。
次に $1_{A} \colon A \rightharpoondown A = (A, 1_{A})$ であることに注意して、
\[
F(1_{A})(x) = F \left( (A, 1_{A}) \right)(x) =
\begin{cases}
x & \text{if } x \in A \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
これは $1_{A_{\ast}} = 1_{F(A)}$ と等しい。よって $F$ は functor の条件 (b) を満たす。
最後に任意の $(U_{f}, f) \colon A \rightharpoondown B$ 、 $(U_{g}, g) \colon B \rightharpoondown C$ に対して
\[
F\left( (U_{g},g) \circ (U_{f}, f) \right)(x) =
\begin{cases}
(g \circ f)(x) & x \in f^{-1}(U_{g}) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
である。一方
\[
\begin{align*}
\left( F\left( (U_{g}, g) \right) \circ F \left( (U_{f}, f) \right) \right)(x) &= F \left( (U_{g}, g) \right) \circ
\begin{cases}
f(x) & x \in U_{f} \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases} \\
&=
\begin{cases}
g \left( f(x) \right) & f(x) \in U_{g} = x \in f^{-1}(U_{g}) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{align*}
\]
よって $F\left( (U_{g},g) \circ (U_{f}, f) \right) = F\left( (U_{g}, g) \right) \circ F \left( (U_{f}, f) \right)$ が成り立つので $F$ は functor の条件 (c) を満たす。

$\square$

$Lemma$
\[ G \colon {\bf{Sets}}_{\ast} \to {\bf{Par}} \text{ is a functor}. \] $Proof.$
書籍のように $G$ を定義すると、任意の $f \colon (A, a) \to (B, b)$ に対して $G(f) \colon G\left( (A, a) \right) \to G \left( (B, b) \right)$ となるので $G$ は functor の条件 (a) を満たす。
次に $G(1_{(A,a)}) = \left( A - 1_{A}^{-1}(a), 1_{A} \middle|_{A - 1_{A}^{-1}(a)} \right) = (A - \{ a \}, 1_{A - \{a \}}) = 1_{G\left( (A, a) \right)}$ が成り立つので $G$ は functor の条件 (b) を満たす。
最後に任意の $f \colon (A,a) \to (B, b)$ 、 $g \colon (B, b) \to (C, c)$ に対して
$G(g \circ f) = \left( A - (g \circ f)^{-1}(c), (g \circ f) \middle|_{A - (g \circ f)^{-1}(c)} \right)$
$G(g) \circ G(f) = \left( B - g^{-1}(c), g \middle|_{B - g^{-1}(c)} \right) \circ \left( A - f^{-1}(b), f \middle|_{A - f^{-1}(b)} \right) = \left( f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right), (g \circ f) \middle|_{f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right)} \right)$
が成り立つ。一方で
\[
\begin{align*}
x \in A - (g \circ f)^{-1}(c) &\iff x \in A \land g\left( f(x) \right) \neq c \\
&\iff x \in A \land f(x) \in B - g^{-1}(c) \\
&\iff x \in f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right)
\end{align*}
\]
が成り立つので、 $G(g \circ f) = G(g) \circ G(f)$ となり $G$ は functor の条件 (c) を満たす。

$\square$

$Lemma$
\[ G \circ F = 1_{\bf{Par}} \] $Proof.$
$(G \circ F)_{0}(A) = G( A \cup \{\ast\}) = (A \cup \{\ast\}) - \{\ast\} = {1_{\bf{Par}}}_{0}(A)$ が成り立つ。
一方 $(G \circ F)_{1}(U_{f}, f) = G(f_{\ast}) = (U_{G(f_{\ast})}, f_{\ast})$ となるが、 $U_{G(f_{\ast})} = (A \cup \{\ast\}) - f_{\ast}^{-1}(\ast) = U_{f}$ が成り立つので、 $(U_{G(f_{\ast})}, f_{\ast}) = (U_{f}, f)$ となる。よって $(G \circ F)_{1} = {1_{\bf{Par}}}_{1}$ が成り立つ。

$\square$

$Lemma$
\[ F \circ G \simeq 1_{{\bf{Sets}}_{\ast}} \] $Proof.$
任意の $(A, a)$ に対して $\theta_{(A,a)} \colon (A,a) \to \left((A - a) \cup \{\ast\}, \ast \right)$ を以下のように定義する。
\[
\theta_{(A,a)}(x) =
\begin{cases}
x & x \neq a \\
\ast & x = a
\end{cases}
\]

$\theta_{(A,a)}$ が isomorphism であること

$\theta_{(A,a)}$ が surjective であることは明らかである。
任意の $x, y \in A$ に対して $\theta_{(A,a)}(x) = \theta_{(A,a)}(y)$ とする。まず $\theta_{(A,a)}(x) = x$ とする。このとき $\theta_{(A,a)}(y) = \ast$ とすると $\ast \in A$ となり $\ast \notin A$ と矛盾する。 $\theta_{(A,a)}(y) = y$ とすると $x = y$ となり $\theta_{(A,a)}$ は injective である。
次に $\theta_{(A,a)}(x) = \ast$ とする。このとき $\theta_{(A,a)}(y) = \ast$ とすると $x = a = y$ となり $\theta_{(A,a)}$ は injective である。 $\theta_{(A,a)}(y) = y$ とすると $\ast \in A$ となり $\ast \notin A$ と矛盾する。以上より $\theta_{(A,a)}$ は injective である。

$\theta$ が natural であること

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任意の $f \colon (A,a) \to (B,b)$ に対して
\[
(F \circ G)(f) =
\begin{cases}
f(x) & x \in A - f^{-1}(b) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
と表せる。
初めに $\left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(a) = \ast = (\theta_{(B,b)} \circ f)(a)$ が成り立つ。
次に任意の $x \neq a \in f^{-1}(b)$ に対して $\left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(x) = \ast$ 、 $(\theta_{(B,b)} \circ f)(x) = \theta_{(B, b)}(b) = \ast$ が成り立つ。
最後に任意の $x \in A - f^{-1}(b)$ に対して $\left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(x) = f(x) = (\theta_{(B,b)} \circ f)(x)$ が成り立つ。
以上より $\theta$ は natural isomorphism である。

$\square$

Example 7.29

$Lemma$
\[ \Phi \text{ is a functor}. \] $Proof.$
f:id:hitotakuchan:20160621150317p:plain
書籍のように $\Phi \left( (A_{i})_{i \in I} \right) = \pi_{(A_{i})} \colon \coprod_{i \in I} A_{i} \to I$ で定義する。このとき、任意の $i \in I$ に対して任意の $a_{i} \in A_{i}$ を $i$ に対応させる constant map を $c_{i} \colon A_{i} \to I$ とすると、 $\pi_{(A_{i})} \circ i_{A_{i}} = c_{i}$ が成り立つ。
次に任意の $(f_{i} \colon A_{i} \to B_{i})_{i \in I}$ に対して $\Phi \left( (f_{i}) \right)$ を次のように定義する。任意の $i \in I$ に対して $\widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = i_{B_{i}} \circ f_{i}$ を満たす $\widetilde{f} \colon \coprod_{i \in I} A_{i} \to \coprod_{i \in I} B_{i}$ が coproduct の UMP よりただ一つ存在する。この $\widetilde{f}$ と任意の $i \in I$ に対して $\pi_{(B_{i})} \circ \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = \pi_{(B_{i})} \circ i_{B_{i}} \circ f_{i} = c_{i} \circ f_{i} = c_{i}$ が成り立つ。一方 $\pi_{(A_{i})} \circ i_{A_{i}} = c_{i}$ であるから coproduct の UMP より $\pi_{(B_{i})} \circ \widetilde{f} = \pi_{(A_{i})}$ が成り立つ。そこで $\Phi \left( (f_{i}) \right) = \widetilde{f}$ と定義する。

初めに、 $\Phi \left( (f_{i}) \colon (A_{i}) \to (B_{i}) \right) = \widetilde{f} \colon \Phi \left( (A_{i}) \right) \to \Phi \left( (B_{i}) \right)$ となるので $\Phi$ は functor の条件 (a) を満たす。
次に $\Phi (1_{(A_{i})}) = 1_{\coprod_{i \in I}(A_{i})} = 1_{\Phi \left( (A_{i}) \right)}$ となるので $\Phi$ は functor の条件 (b) を満たす。
最後に $\widetilde{g \circ f}$ の定義より $\widetilde{g \circ f} \circ i_{A_{i}} = i_{C_{i}} \circ g_{i} \circ f_{i}$ が成り立つ。一方で $\widetilde{g} \circ \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = \widetilde{g} \circ i_{B_{i}} \circ f_{i} = i_{C_{i}} \circ g_{i} \circ f_{i}$ が成り立つ。よって coproduct の UMP より $\Phi(g \circ f) = \Phi(g) \circ \Phi(f)$ が成り立ち、 $\Phi$ は functor の条件 (c) を満たす。

$\square$

$Lemma$
\[ \Psi \text{ is a functor}. \] $Proof.$
任意の $\alpha \colon A \to I$ に対して $\Psi(\alpha) = \left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I}$ で定義する。また任意の $f \colon \alpha \to \beta$ と任意の $i \in I$ に対して $f_{i} = f\vert_{\alpha^{-1}(i)}$ とする。すると $\alpha = \beta \circ f$ より $\alpha^{-1}(i) = (f^{-1} \circ \beta^{-1})(i) \iff f \left( \alpha^{-1}(i) \right) = \beta^{-1}(i)$ が成り立つので、 $f_{i} \colon \alpha^{-1}(i) \to \beta^{-1}(i)$ となる。そこで $\Psi(f)$ を $\Psi(f) = (f_{i})_{i \in I}$ で定義する。

$\Psi(f \colon \alpha \to \beta) = (f_{i})_{i \in I} \colon \left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I} \to \left( \beta^{-1}(i) \right)_{i \in I} = (f_{i})_{i \in I} \colon \Psi(\alpha) \to \Psi(\beta)$ が成り立つので $\Psi$ は functor の条件 (a) を満たす。
次に $\Psi(1 \colon \alpha \to \alpha) = \left( 1 \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = 1_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I}} = 1_{\Psi(\alpha)}$ が成り立つので $\Psi$ は functor の条件 (b) を満たす。
最後に $\Psi( g \circ f \colon \alpha \to \gamma ) = \left( g \circ f \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = \left( g \middle|_{\beta^{-1}(i)} \right)_{i \in I} \circ \left( f \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = \Psi(g) \circ \Psi(f)$ が成り立つので $\Psi$ は functor の条件 (c) を満たす。

$\square$

$Lemma$
\[ 1_{{\bf{Sets}}^{I}} \overset{\sim}{\to} \Psi \circ \Phi \] $Proof.$
任意の $(A_{i})_{i \in I}$ に対して $(\Psi \circ \Phi) \left( (A_{i})_{i \in I} \right) = \left( \left\{ (i, a) \, \middle| \, a \in A_{i} \right\} \right)_{i \in I}$ であることに注意する。
$\theta_{(A_{i})} \colon (A_{i})_{i \in I} \to \left( \left\{ (i, a) \, \middle| \, a \in A_{i} \right\} \right)_{i \in I}$ を任意の $a \in A_{i}$ に対して $(\theta_{(A_{i})})_{i}(a) = (i,a)$ で定義する。
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任意の $(f_{i}) \colon (A_{i})_{i \in I} \to (B_{i})_{i \in I}$ と任意の $i \in I$ 、 $a \in A_{i}$ に対して $\left( \Psi \circ \Phi \left( (f_{i}) \right) \circ \theta_{(A_{i})} \right)_{i}(a) = \left( i, f(a) \right)$ 、 $\left( \theta_{(B_{i})} \circ (f_{i}) \right)_{i}(a) = \left( i, f(a) \right)$ が成り立つ。 $\theta_{(A_{i})}$ は明らかに isomorphism であるから、 $\theta \colon 1_{{\bf{Sets}}^{I}} \to \Psi \circ \Phi$ は natural isomorphism である。

$\square$

$Lemma$
\[ 1_{{\bf{Sets}}/I} \overset{\sim}{\to} \Phi \circ \Psi \] $Proof.$
任意の $\alpha \colon A \to I$ に対して $(\Phi \circ \Psi)(\alpha) = \pi_{\left(\alpha^{-1}(i) \right)} \colon \coprod_{i \in I} \alpha^{-1}(i) \to I$ であることに注意する。
$\eta_{\alpha} \colon \alpha \to (\Phi \circ \Psi)(\alpha)$ を任意の $a \in A$ に対して $\eta_{\alpha}(a) = \left( \alpha(a), a \right)$ で定義する。このとき $\alpha(a) = (\pi_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)} \circ \eta_{\alpha})(a)$ が成り立つのでこれは well-defined である。
次に $\eta_{\alpha}^{-1} \colon (\Phi \circ \Psi)(\alpha) \to \alpha$ を任意の $i \in I$ に対して $\eta_{\alpha}^{-1} \left( i, a \in \alpha^{-1}(i) \right) = a$ で定義すると、 $\pi_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)} = \alpha \circ \eta_{\alpha}^{-1}$ が成り立つのでこれは well-defined である。
このとき明らかに $\eta_{\alpha}^{-1} \circ \eta_{\alpha} = 1_{\alpha}$ かつ $\eta_{\alpha} \circ \eta_{\alpha}^{-1} = 1_{(\Phi \circ \Psi)(\alpha)}$ が成り立つので $\eta_{\alpha}$ は isomorphism である。
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任意の $f \colon \alpha \to \beta$ と任意の $a \in A$ に対して $\left( (\Phi \circ \Psi)(f) \circ \eta_{\alpha} \right)(a) = \left( (\Phi \circ \Psi)(f) \right) \left( \alpha(a), a \right) = \left( \alpha(a), f(a) \right)$ 、 $(\eta_{\beta} \circ f)(a) = \left( (\beta \circ f)(a), f(a) \right) = \left( \alpha(a), f(a) \right)$ が成り立つ。よって $\eta \colon 1_{{\bf{Sets}}/I} \to \Phi \circ \Psi$ は natural isomorphism である。