Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 4

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4.1 Groups in a category
- Corollary 4.6
4.2 The category of groups
4.3 Groups as categories
4.4 Finitely presented categories
- smallest congruence
参考書籍

4.1 Groups in a category

Corollary 4.6

任意の $(G,\circ,i,u)$ が abelian group であるとすると、 $\circ$ 、 $i$ 、 $u$ が group homomorphism であれば $(G, \circ, i, u)$ が group object であるための条件を満たすことは $(G, \circ, i, u)$ が abelian group であることから明らかです。
$\bf{Group}$ において $1$ は zero object なので $u \colon G \to 1 \to G$ はただ一つ存在する group homomorphism になります。そこで $\circ$ と $i$ が group homomorphism であることを証明します。

$Lemma$
$\circ \text{ is a group homomorphism}.$

$Proof.$
任意の $(g_{1}, g_{2}), (h_{1},h_{2}) \in G \times G$ に対して、 $(G,\circ,i,u)$ が abelian group であることより、

\begin{align*}
\circ((g_{1},g_{2}) \circ (h_{1}, h_{2}) ) &= \circ (g_{1} \circ h_{1}, g_{2} \circ h_{2}) \\
&= g_{1} \circ h_{1} \circ g_{2} \circ h_{2} \\
&= g_{1} \circ g_{2} \circ h_{1} \circ h_{2} \\
&= (\circ(g_{1}, g_{2}) ) \circ (\circ(h_{1}, h_{2}) )
\end{align*}

が成り立つので $\circ$ は group homomorphism である。

$\square$

$Lemma$
$i \text{ is a group homomorphism}.$

$Proof.$
任意の $g_{1}, g_{2} \in G$ に対して、 $(G,\circ,i,u)$ が abelian group であることより、 $i(g_{1} \circ g_{2}) = i(g_{2}) \circ i(g_{1}) = i(g_{1}) \circ i(g_{2})$ が成り立つので $i$ は group homomorphism である。

$\square$

4.2 The category of groups

$\sim$ is an equivalence relation

group $N$ が group $G$ の subgroup であるとは任意の $g_{1},g_{2} \in N$ に対して、 $g_{1} \cdot g_{2}^{-1} \in N$ が成り立つこととして定義されます。この定義から $N$ が $G$ の単位元を自身の単位元として含むことが証明できます。
さらに $N$ が $G$ の normal subgroup であるとは、任意の $g \in G$ と任意の $h \in N$ に対して、 $g \cdot h \cdot g^{-1} \in N$ が成り立つこととして定義されます。

$Lemma$
$\sim \text{ is an equivalence relation}.$

$Proof.$

reflexive

任意の $h \in N$ に対して、 $h \cdot h^{-1} = u \in N$ であるから、 $h \sim h$ が成り立つ。

symmetric

任意の $x,y \in N$ に対して $x \sim y$ とすると、 $x \cdot y^{-1} \in N$ が成り立つ。 $N$ は group であるから、 $(x \cdot y^{-1})^{-1} = y \cdot x^{-1} \in N$ が成り立つので $y \sim x$ が成り立つ。

transitive

任意の $x, y, z \in N$ に対して $x \sim y$ かつ $y \sim z$ とする。 $x \cdot y^{-1} \in N$ と $y \cdot z^{-1} \in N$ より $x \cdot y^{-1} \cdot y \cdot z^{-1} = x \cdot z^{-1} \in N$ が成り立つ。よって $x \sim z$ が成り立つ。

$\square$

Corollary 4.11

$N = \text{ker}(h)$ であるとき、 $\overline{h}$ が injective になることは書籍で証明されているので、ここでは $h$ が injective であるための必要十分条件が $\text{ker}(h) = \left\{ u \right\}$ であることを証明します。準備として以下を証明しておきます。

$Lemma$
$h \text{ is injective} \iff \pi \text{ is injective}.$

$Proof.$

only if case

任意の $x,y \in G$ に対して、 $[x] = [y]$ であるとする。このとき、 $h(x) = \overline{h}([x]) = \overline{h}([y]) = h(y)$ が成り立つが、 $h$ が injective であることより $x = y$ が成り立つ。よって $\pi$ は injective である。

if case

任意の $x,y \in G$ に対して、 $h(x) = h(y)$ であるとする。 $h = \overline{h} \circ \pi$ であるから $\overline{h}([x]) = \overline{h}([y])$ が成り立つが、 $\overline{h}$ が injective であるから $[x] = [y]$ が成り立つ。さらに $\pi$ が injective であるから $x = y$ が成り立つ。よって $h$ は injective である。

$\square$

この準備の元に次の補題を証明します。

$Lemma$
$\pi \text{ is injective} \iff \text{ker}(h) = \left\{ u \right\}$

$Proof.$

only if case

背理法により証明する。 $\text{ker}(h) \neq \left\{ u \right\}$ であるとすると、 $\exists x \in \text{ker}(h),\, x \neq u$ が存在する。すると $x \cdot u \in \text{ker}(h)$ より $[x] = [u]$ が成り立つ。仮定より $\pi$ が injective であるから $x = u$ が成り立つが、これは $x \neq u$ と矛盾する。よって $\text{ker}(h) = \left\{ u \right\}$ である。

if case

任意の $x,y \in G$ に対して、 $[x] = [y]$ であるとすると、 $x \cdot y^{-1} \in \text{ker}(h) = \left\{ u \right\}$ が成り立つ。よって $x = y$ となるので、 $\pi$ は injective である。

$\square$

Cokernels are special coequalizers

Cokernel に関しては Exercise 5 を通して見ておきましょう。Exercise 5 では abelian group を考えているので、二項演算子を $+$ 、単位元を $0$ で表します。
任意の $f \colon A \to B$ に対して、 $\pi \colon B \to B / \text{im}(f)$ を $\pi(b) = [b]$ で定義される natural homomorphism であるとします。

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$Exercise\ 5\ (a)$
$Proof.$
任意の $a \in A$ に対して、 $\pi \circ f (a) = [f(a)]$ で $f(a) - 0_{B} \in \text{im}(f)$ であるから $[f(a)] = [0_{B}]$ が成り立つ。 $B/\text{im}(f)$ の単位元は $[0_{B}]$ であるから $\pi \circ f = 0_{B/\text{im}(f)}$ が成り立つ。
また任意の $g \colon B \to G$ に対して、 $g \circ f = 0_{G}$ が成り立つとする。 $\overline{g} \colon B/\text{im}(f) \to G$ を $\overline{g}([b]) = g(b)$ で定義する。このとき、 $[b] = [b']$ とすると $b - b' \in \text{im}(f)$ より $\exists a \in A,\, b - b' = f(a)$ が存在する。すると $g(b) - g(b') = g(b - b') = g(f(a)) = 0_{G}$ が成り立つ。よって $\overline{g}$ は well-defined である。
$g = \overline{g} \circ \pi$ が成り立つことは定義より明らか。また $\pi$ が epic であるから、 $\overline{g}$ はただ一つに決まる。

$\square$

(a) で証明した UMP より、 $(\pi, B/\text{im}(f) )$ は $f \colon A \to B$ と $0 \colon A \to 0 \to B$ の coequalizer であることがわかります。
次に cokernel を使用すると任意の coequalizer が構成できることを証明します。

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$Exercise\ 5\ (b)$
$Proof.$
任意の $f,f' \colon A \to B$ に対して、 $f - f'$ を $(f - f')(a) = f(a) - f'(a)$ で定義すると、 $B$ が abelian group であることより

\begin{align*}
(f-f')(a + b) &= f(a + b) - f'(a + b) \\
&= f(a) + f(b) - f'(a) - f'(b) \\
&= f(a) - f'(a) + f(b) - f'(b) \\
&= (f-f')(a) + (f-f')(b)
\end{align*}

が成り立つので group homomorphism になる。 $f - f'$ の cokernel を $\pi \colon B \to B/\text{im}(f-f')$ とすると、 $\pi$ が $f$ 、 $f'$ の coequalizer となることを示す。
まず、 $\pi \circ (f - f') = 0$ より $\pi \circ f = \pi \circ f'$ が成り立つ。
次に、任意の $g \colon B \to G$ に対して、 $g \circ f = g \circ f'$ が成り立つとする。このとき $g \circ (f - f') = (g \circ f) - (g \circ f') = 0_{G} = g \circ 0_{B}$ が成り立つ。すると (a) で示した UMP より $\exists ! \,\overline{g} \colon B/\text{im}(f) \to G$ が存在して、 $g = \overline{g} \circ \pi$ が成り立つ。よって $(\pi, B/\text{im}(f-f') )$ は $f$ と $f'$ の coequalizer である。

$\square$

(c) に関しては以下の可換図式より $\text{Ker}(\text{cok}(f) ) \cong A/\text{Ker}(f)$ であることを確認してください。可換図式では $f$ の cokernel となる対象を $\text{Cok}(f)$ 、cokernel への homomorphism を $\text{cok}(f)$ 等として表しています。

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4.3 Groups as categories

composition of the congruence category is well-defined

$\circ_{{\bf{C}}^{\sim}}$ を $\left< f',g' \right> \circ_{{\bf{C}}^{\sim}} \left< f,g \right> = \left< f' \circ f, g' \circ g \right>$ で定義するとき、 $\circ_{{\bf{C}}^{\sim}}$ が well-defined であることを証明します。

$Lemma$
$\circ_{{\bf{C}}^{\sim}} \text{ is well-defined}.$

$Proof.$
任意の $f \sim g \colon A \to B$ と $f' \sim g' \colon B \to C$ に対して、congruence の条件より $f' \circ f = f' \circ f \circ 1_{A} \sim f' \circ g \circ 1_{A} = f' \circ g$ が成り立つ。一方で $f' \circ g = 1_{C} \circ f' \circ g \sim 1_{C} \circ g' \circ g = g' \circ g$ が成り立つ。 $\sim$ が equivalence relation であることより、 $f' \circ f \sim g' \circ g$ が成り立つ。

$\square$

$\sim_{F}$ is a congruence

$\sim_{F}$ が equivalence relation であることは定義よりほぼ自明なので省略します。 $\sim_{F}$ が congruence の条件を満たすことを証明します。

$Lemma$
$\sim_{F} \text{ is a congruence}.$

$Proof.$
任意の $f,g \in {\bf{C}}_{1}$ に対して、 $f \sim_{F} g$ とすると定義より $\text{dom}(f) = \text{dom}(g)$ かつ $\text{cod}(f) = \text{cod}(g)$ が成り立つ。
また任意の $a \colon A \to \text{dom}(f)$ と $b \colon \text{cod}(f) \to B$ に対して、 $\text{dom}(b \circ f \circ a) = \text{dom}(a) = \text{dom}(b \circ g \circ a)$ かつ $\text{cod}(b \circ f \circ a) = \text{cod}(b) = \text{cod}(b \circ g \circ a)$ が成り立つ。また $F$ が functor であることより、 $F(b \circ f \circ a) = F(b) \circ F(f) \circ F(a) = F(b) \circ F(g) \circ F(a) = F(b \circ g \circ a)$ が成り立つので、 $b \circ f \circ a \sim_{F} b \circ g \circ a$ が成り立つ。よって $\sim_{F}$ は congruence である。

$\square$

Theorem 4.13

Theorem 4.13 の証明は難しくないのですが省略されているのでここで証明しておきます。

$Theorem$
$(\forall f,g \in {\bf{C}}_{1},\, f \sim g \Rightarrow f \sim_{F} g) \iff \exists !\, \tilde{F} \colon {\bf{C}}/\sim \, \to {\bf{D}},\, F = \tilde{F} \circ \pi$

$Proof.$

only if case

$\tilde{F}$ を $\tilde{F}_{0}(C) = F(C)$ 、 $\tilde{F}_{1}([f]) = F(f)$ で定義する。このとき、任意の $f,g \in {\bf{C}}_{1}$ に対して $[f] = [g]$ であるとすると、 $f \sim g$ であるから、仮定より $f \sim_{F} g$ が成り立つ。よって定義より $F(f) = F(g)$ が成り立つので、 $\tilde{F}_{1}$ は well-defined である。
次に $\tilde{F}$ が functor であることを示す。
$\tilde{F}_{1}([f] \colon A \to B) = F(f) \colon F(A) \to F(B) = F(f) \colon \tilde{F}_{0}(A) \to \tilde{F}_{0}(B)$ であるから、 $\tilde{F}$ は functor の条件 (a) を満たす。
また、 $\tilde{F}_{1}([id] \colon A \to A) = F(id) = id_{F(A)} = id_{\tilde{F}_{0}(A)}$ が成り立つので、 $\tilde{F}$ は functor の条件 (b) を満たす。
最後に $\tilde{F}_{1}([f'] \circ [f]) = \tilde{F}_{1}([f' \circ f]) = F(f' \circ f) = F(f') \circ F(f) = \tilde{F}_{1}([f']) \circ \tilde{F}_{1}([f])$ が成り立つので、 $\tilde{F}$ は functor の条件 (c) を満たす。
よって $\tilde{F}$ は functor である。
この $\tilde{F}$ が $F = \tilde{F} \circ \pi$ を満たすことは定義より明らかである。また $\pi$ が epic であることより、 $\tilde{F}$ はただ一つに決まる。

if case

$f \sim g$ であるとすると、congruence の条件より $\text{dom}(f) = \text{dom}(g)$ かつ $\text{cod}(f) = \text{cod}(g)$ が成り立つ。さらに $[f] = [g]$ であるから、 $F(f) = (\tilde{F} \circ \pi)(f) = \tilde{F}([f]) = \tilde{F}([g]) = (\tilde{F} \circ \pi)(g) = F(g)$ が成り立つので $f \sim_{F} g$ が成り立つ。

$\square$

$Lemma$
$\tilde{F} \colon {\bf{C}}/\text{ker}(F) \to D \text{ is a faithful functor}.$

$Proof.$
任意の $[f],[g] \colon A \to B$ に対して $\tilde{F}([f]) = \tilde{F}([g]) \Rightarrow [f] = [g]$ を示せばよい。 $[f],[g] \colon A \to B$ より $\text{dom}(f) = \text{dom}(g)$ かつ $\text{cod}(f) = \text{cod}(g)$ が成り立つ。また $F(f) = (\tilde{F} \circ \pi)(f) = \tilde{F}([f]) = \tilde{F}([g]) = (\tilde{F} \circ \pi)(g) = F(g)$ が成り立つので $f \sim_{F} g$ つまり $[f] = [g]$ が成り立つ。よって $\tilde{F}$ は faithful functor である。

$\square$

4.4 Finitely presented categories

smallest congruence

書籍において $\sim_{\Sigma}$ を $g = g' \in \Sigma$ なら $g \sim g'$ を満たす congruence の中で最小の congruence として定義しています。congruence の intersection が congruence になることから、 $\sim_{\Sigma}$ が存在すると書かれていますが本当でしょうか？
これは、 $g = g' \in \Sigma$ なら $g \sim g'$ を満たす congruence が少なくとも一つは存在することを示さないと定義として意味がありません。ここでは以下の記事の内容を元に具体的に $\sim_{\Sigma}$ を構成します。
www.orecoli.com

まず二項関係 $\Sigma'$ を $\Sigma' = \left\{ (b \circ f \circ a, b \circ g \circ a) \,\middle| \, (f,g) \in \Sigma,\, \forall a,b,\, \text{cod}(a) = \text{dom}(f),\, \text{dom}(b) = \text{cod}(f) \right\}$ で定義します。上の記事を参考に $\Sigma'$ から生成される equivalence relation として $\sim_{\Sigma}$ を定義します。このとき $\sim_{\Sigma}$ が $(f,g) \in \Sigma$ なら $f \sim g$ を満たす最小の congruence であることを証明します。初めに $\sim_{\Sigma}$ が congruence であることを証明します。

$Lemma$
$\sim_{\Sigma} \text{ is a congruence}.$

$Proof.$
任意の $f,g \in {\bf{C}}_{1}$ に対して $f \sim_{\Sigma} g$ であるとする。

$n = 1$ のとき

$f = g$ であるとすると、 $\text{dom}(f) = \text{dom}(g)$ かつ $\text{cod}(f) = \text{cod}(g)$ は明らか。また任意の $a,b$ に対して $b \circ f \circ a = b \circ g \circ a$ であるから、 $\sim_{\Sigma}$ が equivalence relation であることより $b \circ f \circ a \sim_{\Sigma} b \circ g \circ a$ が成り立つ。
$(f, g) \in \Sigma'$ とすると、 $\exists (f',g') \in \Sigma$ と $\exists x,y$ が存在して $(f,g) = (y \circ f' \circ x, y \circ g' \circ x)$ と表される。このとき $\text{dom}(f) = \text{dom}(g)$ かつ $\text{cod}(f) = \text{cod}(g)$ は明らかである。また任意の $a,b$ に対して $(b \circ y \circ f' \circ x \circ a, b \circ y \circ g' \circ x \circ a) \in \Sigma'$ であるから、 $b \circ f \circ a \sim_{\Sigma} b \circ g \circ a$ が成り立つ。
$(g,f) \in \Sigma'$ の場合も $(f,g) \in \Sigma'$ の場合と同様である。

$n \gt 1$ のとき

帰納法の仮定により $\text{dom}(f) = \text{dom}(x_{n-1})$ 、 $\text{cod}(f) = \text{cod}(x_{n-1})$ かつ任意の $a,b$ に対して $b \circ f \circ a \sim_{\Sigma} b \circ x_{n-1} \circ a$ が成り立つ。一方で $x_{n-1} = g$ 、 $(x_{n-1}, g) \in \Sigma'$ 、 $(g, x_{n-1}) \in \Sigma'$ のそれぞれの場合に対して、 $n = 1$ の場合と同様の議論により、 $\text{dom}(x_{n-1}) = \text{dom}(g)$ 、 $\text{cod}(x_{n-1}) = \text{cod}(g)$ かつ任意の $a,b$ に対して $b \circ x_{n-1} \circ a \sim_{\Sigma} b \circ g \circ a$ が成り立つ。
よって $\sim_{\Sigma}$ が equivalence relation であることより $\text{dom}(f) = \text{dom}(g)$ 、 $\text{cod}(f) = \text{cod}(g)$ かつ任意の $a,b$ に対して $b \circ f \circ a \sim_{\Sigma} b \circ g \circ a$ が成り立つ。

$\square$

次に $\sim_{\Sigma}$ が $(f,g) \in \Sigma$ ならば $f \sim g$ を満たす最小の congruence であることを証明します。 $\sim_{\Sigma}$ が $(f,g) \in \Sigma$ ならば $f \sim_{\Sigma} g$ をみたすことは、 $a = 1_{\text{dom}(f)}$ 、 $b = 1_{\text{cod}(f)}$ とすれば $(f,g) \in \Sigma'$ となることから明らかです。

$Lemma$
$\sim_{\Sigma} \text{ is the smallest congruence}.$

$Proof.$
$\sim$ を $(f,g) \in \Sigma$ ならば $f \sim g$ を満たす任意の congruence であるとする。
任意の $f,g \in {\bf{C}}_{1}$ に対して $f \sim_{\Sigma} g$ であるとする。

$n = 1$ のとき

$f = g$ とすると、 $\sim$ は equivalence relation であるから $f \sim g$ が成り立つ。
$(f,g) \in \Sigma'$ とすると、 $\exists (f',g') \in \Sigma$ と $\exists x,y$ が存在して $(f,g) = (y \circ f' \circ x, y \circ g' \circ x)$ と表される。仮定より $f' \sim g'$ が成り立ち、 $\sim$ が congruence であることより $f \sim g$ が成り立つ。
$(g,f) \in \Sigma'$ の場合も $(f,g) \in \Sigma'$ の場合と同様である。

$n \gt 1$ のとき

帰納法の仮定より $f \sim x_{n-1}$ が成り立つ。一方で $x_{n-1} = g$ 、 $(x_{n-1}, g) \in \Sigma'$ 、 $(g, x_{n-1}) \in \Sigma'$ のそれぞれの場合に対して、 $n = 1$ の場合と同様の議論により、 $x_{n-1} \sim g$ が成り立つ。よって $\sim$ の transitivity により $f \sim g$ が成り立つ。