圏論の入門書籍・入門資料まとめ

数学 数学-圏論

はじめに

圏論が数学のみならず幅広い自然科学の分野で利用されるに従って、これから専門的に圏論を学習したいという人がますます増えてくると予想されます。
また Haskell 等の関数型言語を勉強する中で、圏論について専門的に勉強するまではいかないけどどのような学問なのか知っておきたい、という人もいるでしょう。
以前は圏論について知ろうと思うと初見殺しとして有名な 圏論の基礎 や英語の専門書しか利用できなかったのですが、最近では圏論について日本語で読める書籍が揃ってきました。
また、教科書的なものに限らず読み物的な書籍も幾つか出版されています。

現状でも圏論について書かれた書籍はたくさんあると思います。また、ネット上にもたくさんの圏論に関する解説ブログや資料があります。それらを全て読んで紹介することは不可能なので、ここでは以下のような基準 (必ずしも厳密ではない) を設けた上で、私の独断で入門書・入門資料として適切と思われるものを選択してみました。

  • 圏論への入門を意図して書かれたものであること
  • 内容にある程度以上の信頼性があること
  • ロジックやトポロジー等の数学の専門分野の知識を前提とせず、圏論そのものを主題としているもの

初めはリストアップするだけになりますが、ここで紹介している書籍や資料に関しては詳しく読んだ上で書評を随時アップデートしていきます。

このまとめが、これから圏論に入門しようとしている人のよい道標になれば幸いです。

読み物

圏論の歩き方

圏論の歩き方

今読んでいます。読み次第書評を書きます。

数学教室 πの焼き方: 日常生活の数学的思考

数学教室 πの焼き方: 日常生活の数学的思考

専門書籍

Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories

Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories

この本は本当に数学の素養が一切ない人向けに書かれた圏論の入門書です。数学の素養がなくても理解できる例を導入することから始まり、圏論の基本的な概念の導入まで書かれています。
ただし後半にいくほどに出てくる圏論の概念自体が難しくなっていくので、学習曲線が急になり次第に理解できなくなっていくと思います。Part Ⅳ あたりまで読んだら次の Awodey 本などに移行してもっと厳密な数学の証明スタイルに馴染んでいく必要があると思います。
一方で数学の素養がある人にとっては、ほとんど自明な話が延々と続いてやっと面白いと思う事柄が出てきたら終了するという感じになって物足りなさを感じると思います。流し読みするくらいの感じでいいと思います。


Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

圏論 原著第2版

圏論 原著第2版

入門書の中では日本語で読める唯一の書籍です。
2017 年 1 月 29 日に下の ベーシック圏論 普遍性からの速習コース が発売されました。
数学の素養を持たない人でも読めるようにと書かれていますが、集合論や位相論の知識は前提としていると思われます。ラムダ計算やロジックの例がたくさん出てくることから、計算機科学や論理学の知識があるとより読みやすいでしょう。
内容は定義、例、定理、証明という数学の専門書のスタイルで書かれています。証明は厳密で埋めないといけない行間はあまりないです。ですが、数学の素養がないとやはり証明を理解するのも難しいと思うので、私のこちらの記事などを参照して自分がこの本を読む準備ができているか確認してみてください。

ベーシック圏論 普遍性からの速習コース

ベーシック圏論 普遍性からの速習コース

Basic Category Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)

Basic Category Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)

すでに数学の素養があるのであれば、Awodey 本よりこちらの方がおすすめだという人もいます。私は詳しく読んでいないので、読んだら感想を追記します。


Category Theory for Computing Science (Prentice-hall International Series in Computer Science)

Category Theory for Computing Science (Prentice-hall International Series in Computer Science)

こちらも入門書としての評価は高いです。Fibration や Topos に章が割かれておりここまで紹介した書籍の中では一番専門的な内容になっていると思います。
目次の内容からはそこまで計算機科学に特化しているようには見えません。
PDF が以下で配布されています。
http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf


Category Theory for the Sciences (MIT Press)

Category Theory for the Sciences (MIT Press)

最近話題の関手データモデルの考案者 David Spivak による圏論の入門書です。Chapter 5 で関手データモデルも紹介されています。
関手データモデルについては詳しく勉強したいのですが、圏論の入門書としては少し物足りない感じがします。
この書籍は無料で PDF 版が以下で配布されています。
http://math.mit.edu/~dspivak/teaching/sp13/CT4S.pdf

より専門的な内容のもの

圏論の勉強をしていて分からないことがあったら一番最初に参照するサイトです。
ただし現在の圏論の最先端の知識を用いて極めて一般的、抽象的に定義などが書かれているため、検索でたどり着いたもののこれじゃない感を感じることがよくあります。
このサイトの記述、内容が理解できるようになったらその時点でかなりの圏論マスターじゃないかと思います。私はほとんど理解できません。


Category Theory in Context (Aurora: Dover Modern Math Originals)

Category Theory in Context (Aurora: Dover Modern Math Originals)

Chapter 6 のタイトルが All Concepts are Kan Extensions とあるので圏論の基礎と同程度の内容かと思います。ページ数が少なめで簡潔な記述になっています。すでに数学の素養のある人向けだと思います。
PDF が以下で配布されています。
http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf


Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics)

Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics)

圏論の基礎

圏論の基礎

Awodey 本を読んだ後、あるいはホモロジー代数などを勉強したあとなら普通に読めるようです。私はまだ読んでませんが、読める気がします。
私が数学を勉強する前にこの本を読んだ時の絶望感は半端じゃありませんでした。数学の素養がない状態では間違ってもこの本で圏論に入門しようなどとは思わない方がいいと思います。
ですがこれから圏論を専門的に研究したり、利用していこうと思うのであれば、Awodey 本の内容では物足りなくて、この本を読んでやっと圏論の基礎を身につけたという段階のようです。
頑張って読みましょう。私も読みます。


Toposes, Triples and Theories (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)

Toposes, Triples and Theories (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)

上で紹介した Category Theory for Computing Science (Prentice-hall International Series in Computer Science) の著者らによる書籍です。タイトルにある Triples というのはモナドのことです。
PDF が以下で配布されています。
http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf


Handbook of Categorical Algebra: Volume 1, Basic Category Theory: 001 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

Handbook of Categorical Algebra: Volume 1, Basic Category Theory: 001 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures: Categories and Structures v. 2 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures: Categories and Structures v. 2 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

Handbook of Categorical Algebra: Volume 3, Sheaf Theory: 003 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

Handbook of Categorical Algebra: Volume 3, Sheaf Theory: 003 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

twitter 上で圏論初心者を圏論上級者が殴る際に使われる武器。
Topos の話題が多いので数理論理学の人向けでしょうか。

終わりに

現在数学の素養が全くない状態でこれから圏論を専門的に勉強していきたいと考えている人が、いきなり圏論の勉強を始めても全く理解できないと思います。
そのような人が数学の何から勉強すればいいのか、どのような順序で勉強をすれば最短で圏論が理解できるようになるのかは以下の記事が参考になると思います。
www.orecoli.com

そんなに1から勉強している余裕はなくてとにかく圏論の書籍を読み始めたいという人には以下の記事が参考になると思います。
上で紹介した Awodey 本の副読本的な内容で書籍で省略されている証明や練習問題を中心に詳細な証明をしています。
www.orecoli.com


ここに挙げたものが全てではないですし、もっといいと思うものがあればコメント欄で教えて頂けると嬉しいです。

Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 7

数学 数学-圏論

Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ

7.5 Examples of natural transformations

Exercise 9

任意の U \subseteq B に対して f^{\ast} \colon \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(A) は f^{\ast}(U) = \left\{ a \in A \ \middle| \ f(a) \in U \right\} と表すことができます。
同様に任意の V \subseteq \mathcal{P}(A) に対して f^{\ast\ast} \colon \mathcal{PP}(A) \to \mathcal{PP}(B) は f^{\ast\ast}(V) = \left\{ U \in \mathcal{P}(B) \ \middle|\ f^{\ast}(U) \in V \right\} と表されます。

Lemma
\eta \colon 1_{\bf{Sets}} \to \ast\ast \text{ is a natural transformation}.

Proof.
任意の集合 A, B と任意の f \colon A \to B に対して f^{\ast\ast} \circ \eta_{A} = \eta_{B} \circ f が成り立つことを示せばよい。
任意の a \in A に対して

\begin{align*}
(f^{\ast\ast} \circ \eta_{A})(a) &= f^{\ast\ast} \left( \left\{ U \subseteq A \ \middle| \ a \in U \right\} \right) \\
&= \left\{ V \in \mathcal{P}(B) \ \middle| \ f^{\ast}(V) \in \left\{ U \subseteq A \ \middle| \ a \in U \right\} \right\} \\
&= \left\{ V \subseteq B \ \middle| \ a \in f^{-1}(V) \right\} \\
&= \left\{ V \subseteq B \ \middle| \ f(a) \in V \right\} \\
&= (\eta_{B} \circ f)(a)
\end{align*}

が成り立つので、 \eta は natural transformation である。

\square

7.6 Exponentials of categories

Proposition 7.13

書籍では、写像に対して片方の引数を固定した bifunctor を適用するとき F(A, \beta) のように記述されていますが、これは厳密には F_{1}(1_{A}, \beta) の意味であるということを確認しておきましょう。

Lemma
\epsilon \colon \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}}) \times {\bf{C}} \to {\bf{D}} \text { is functorial}.

Proof.
\epsilon_{0} を任意の F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0} と任意の C \in {\bf{C}}_{0} に対して \epsilon_{0}(F,C) = F(C) で定義する。また \epsilon_{1} を任意の \theta \colon F \to G \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1} と任意の f \colon C \to C' \in {\bf{C}}_{1} に対して \epsilon_{1}(\theta, f) = G(f) \circ \theta_{C} で定義する。このとき bifunctor lemma より \epsilon が functor となることを示す。

初めに F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0} を固定すると、任意の C \in {\bf{C}}_{0} と任意の f \colon C \to C' \in {\bf{C}}_{1} に対して \epsilon_{0}(F,C) = F(C)、 \epsilon_{1}(1_{F}, f) = F(f) \circ 1_{F(C)} = F(f) が成り立つ。よって F が functor であることより \epsilon(F, -) は functor である。

次に C \in {\bf{C}}_{0} を固定すると、任意の F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0} と任意の \theta \colon F \to G \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1} に対して \epsilon(-, C)_{1}(\theta) = \epsilon_{1}(\theta, 1_{C}) = \theta_{C} \colon F(C) \to G(C) = \theta_{C} \colon \epsilon(-, C)_{0}(F) \to \epsilon(-,C)_{0}(G) が成り立つ。よって \epsilon(-,C) は functor の条件 (a) を満たす。
また \epsilon(-,C)_{1}(1_{F}) = \epsilon(1_{F}, 1_{C}) = 1_{FC} = 1_{\epsilon(-,C)_{0}(F)} が成り立つので \epsilon(-,C) は functor の条件 (b) を満たす。
任意の \theta' \colon G \to H \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1} に対して \epsilon(-,C)_{1}(\theta' \circ \theta) = H(1_{C}) \circ \theta'_{C} \circ \theta_{C} = \epsilon(-,C)_{1}(\theta') \circ \epsilon(-,C)_{1}(\theta) が成り立つので \epsilon(-,C) は functor の条件 (c) を満たす。

\epsilon が interchage law を満たすことは下の等しい diagram が可換になることと同値であるが、これは \theta が natural transformation であることから自明である。

f:id:hitotakuchan:20160602133842p:plain

\square

Lemma
\forall F \colon {\bf{X}} \times {\bf{C}} \to {\bf{D}},\, \exists \tilde{F} \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}}, {\bf{D}}),\, \epsilon \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}}) = F

Proof.
\tilde{F} \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}} を任意の X \in {\bf{X}}_{0} と任意の f \colon X \to X' \in {\bf{X}}_{1} に対して \tilde{F}_{0}(X) = F(X,-)、 \tilde{F}_{1}(f) = \left( F(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} で定義する。
このとき \tilde{F}(f) が natural transformation になることは、任意の C, C' \in {\bf{C}}_{0} と任意の g \colon C \to C' に対して以下の diagram が可換になることと同値であるが、これは F が functor であることより成り立つ。

f:id:hitotakuchan:20160603120017p:plain

次に \tilde{F} が functor になることを示す。
上の議論より \tilde{F}_{1}(f \colon X \to X') \colon \tilde{F}_{0}(X) \to \tilde{F}_{0}(X') となるので \tilde{F} は functor の条件 (a) を満たす。
次に \tilde{F}_{1}(1_{X}) = \left( F(1_{X}, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = 1_{\tilde{F}_{0}(X)} であるから \tilde{F} は functor の条件 (b) を満たす。
最後に \tilde{F}_{1}(f' \circ f) = \left( F(f' \circ f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( F(f', 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} \circ \left( F(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \tilde{F}_{1}(f') \circ \tilde{F}_{1}(f) が成り立つので \tilde{F} は functor の条件 (c) を満たす。

最後に \epsilon_{0} \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}})_{0}(X, C) = \epsilon_{0}(F(X, -), C) = F_{0}(X,C)、 \epsilon_{1} \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}})_{1}(f, g) = \epsilon_{1}(\tilde{F}(f), g) = F(1_{X'}, g) \circ F(f, 1_{C}) = F_{1}(f, g) が成り立つので \epsilon \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}}) = F が成り立つ。

\square

Lemma
\forall G \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}}, {\bf{D}}),\, \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)} = G

Proof.
任意の X \in {\bf{X}}_{0} と任意の C \in {\bf{C}}_{0} に対して \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{0}(X)(C) = \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}})(X, C) = G(X)(C) が成り立つ。
また任意の g \in {\bf{C}}_{1} に対して \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{0}(X)(g) = \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}})(1_{X}, g) = G(X)(g) \circ G(1_{X})_{C} = G(X)(g) が成り立つ。
次に任意の f \colon X \to X' \in {\bf{X}}_{1} に対して \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{1}(f) = \left( \left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( \epsilon \circ \left( G(f), 1_{C} \right) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( G(f)_{C} \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = G(f) が成り立つ。
以上より \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)} = G が成り立つ。

\square

7.8 Monoidal categories

Exercise 18

圏 \bf{C} が finite product を持つとき ({\bf{C}}, \times, {\bf{1}}) が monoidal category になることを証明します。
初めに \alpha を \alpha = \left( \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right> \right)_{(A,B,C) \in {\bf{C}} \times {\bf{C}} \times {\bf{C}}} で定義します。また \lambda を \lambda = \left( \pi_{A} \colon {\bf{1}} \times A \to A \right)_{A \in {\bf{C}}} で定義し、同様に \rho を定義します。
このとき \alpha、 \lambda、 \rho が natural isomorphism となることを証明します。

Lemma
\alpha \text{ is a natural isomorphism}.

Proof.

  • 任意の A,B,C に対して \alpha_{ABC} が isomorphism であること

\alpha_{ABC}^{-1} を \alpha_{ABC}^{-1} = \left< \pi_{A} \circ \pi_{A \times B}, \left< \pi_{B} \circ \pi_{A \times B}, \pi_{C} \right> \right> で定義する。
\pi_{A} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = \pi_{A}、
\pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}、
\pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}
が成り立つので product の UMP より \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = 1_{A \times (B \times C)} が成り立つ。
同様に
\pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{A} \circ \pi_{A \times B}、
\pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{B} \circ \pi_{A \times B}、
\pi_{C} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{C}
が成り立つので product の UMP より \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = 1_{(A \times B) \times C} が成り立つ。
よって \alpha_{ABC} は isomorphism である。

  • \alpha が natural transformation であること

任意の f \colon A \to A', g \colon B \to B', h \colon C \to C' に対して以下の diagram が可換になればよい。
f:id:hitotakuchan:20160608145327p:plain

\pi_{A'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A'} \circ (f \times g) \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = f \circ \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = f \circ \pi_{A}
\pi_{A'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left(f \times (g \times h) \right) = \pi_{A'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = f \circ \pi_{A}

\pi_{B'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B'} \circ (f \times g) \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = g \circ \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = g \circ \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}
\pi_{B'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{B'} \circ \pi_{B' \times C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{B'} \circ (g \times h) \circ \pi_{B \times C} = g \circ \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}

\pi_{C'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = h \circ \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} = h \circ \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}
\pi_{C'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{C'} \circ \pi_{B' \times C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{C'} \circ (g \times h) \circ \pi_{B \times C} = h \circ \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}

が成り立つので product の UMP より \left((f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) が成り立つ。

\square

Lemma
\lambda \text{ is a natural isomorphism}.

Proof.

  • 任意の A に対して \lambda_{A} が isomorphism であること

terminal object \bf{1} への写像を \bf{1} で表すとすると以下の diagram より \pi_{A} \circ \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> = 1_{A} が成り立つ。
f:id:hitotakuchan:20160608151255p:plain

一方、 \pi_{A} \circ \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> \circ \pi_{A} = \pi_{A} が成り立つので、以下の diagram は可換になる。
f:id:hitotakuchan:20160608151412p:plain

よって product の UMP より \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> \circ \pi_{A} = 1_{A} が成り立つ。以上より \lambda_{A} = \pi_{A} は isomorphism である。

  • \lambda が natural transformation であること

任意の f \colon A \to A' に対して \pi_{A'} \circ (1_{\bf{1}} \times f) = f \circ \pi_{A} が成り立つので、 \pi_{A} は natural transformation である。

\square

\rho の場合も同様に証明できます。
次に2つの diagram が可換になることを証明します。3つ目の diagram は初めの2つの diagram の可換性から証明できるので省略します。
diagram に現れる \alpha_{ABC \times D}, \alpha_{A \times BCD}, \alpha_{AB \times CD} に関して \alpha の定義より以下のことが成り立つことを確認しておきます。
\alpha_{ABC \times D} = \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right>, \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right>
\alpha_{A \times BCD} = \left< \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right>, \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \right>
\alpha_{AB \times CD} = \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right>, \pi_{D} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right>

Lemma
\forall A,B,C,D,\ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} = (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD})

Proof.

\begin{align*}
\pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{A} \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right> \\
&= \pi_{A}
\end{align*}

\begin{align*}
\pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1 \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A} \circ (1 \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A}
\end{align*}

\begin{align*}
\pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right> \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}

\begin{align*}
\pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}

\begin{align*}
\pi_{C} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{C} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}

\begin{align*}
\pi_{C} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}

\begin{align*}
\pi_{D} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}

\begin{align*}
\pi_{D} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{D} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{D} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}

以上と product の UMP より \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} = (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) が成り立つ。

\square

Lemma
\forall A,\ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = 1_{A} \times \lambda_{A}

Proof.
A \times A から A への projection を \pi_{1}, \pi_{2} で表すと、
\pi_{1} \circ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{1} \circ \pi_{A \times {\bf{1}}} \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A}
\pi_{1} \circ (1_{A} \times \lambda_{A}) = \pi_{A}

\pi_{2} \circ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A} \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A} \circ \pi_{{\bf{1}} \times A}
\pi_{2} \circ (1_{A} \times \lambda_{A}) = \pi_{A} \circ \pi_{{\bf{1}} \times A}

が成り立つので product の UMP より (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = 1_{A} \times \lambda_{A} が成り立つ。

\square

7.9 Equivalence of categories

Proposition 7.26

(2 implies 1) の証明の中で E \colon {\bf{D}} \to {\bf{C}} を定義するために、任意の D \in {\bf{D}}_{0} に対して E(D) \in {\bf{C}}_{0} を選ぶ箇所で選択公理を仮定しています。

7.10 Examples of equivalence

Proposition 7.28

arrow f \colon A \rightharpoondown B を (U_{f} \subseteq A, f) と表すことにします。すると {\bf{Par}} における写像の結合は (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) = (f^{-1}(U_{g}), g \circ f) と表せます。

Lemma
{\bf{Par}} \text{ is a category}.

Proof.
f:id:hitotakuchan:20160613142238p:plain
任意の (U_{f}, f),(U_{g}, g), (U_{h}, h) に対して (U_{h}, h) \circ \left( (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) \right) = (U_{h}, h) \circ \left( f^{-1}(U_{g}), g \circ f \right) = \left( (g \circ f)^{-1}(U_{h}), h \circ (g \circ f) \right)、 \left( (U_{h}, h) \circ (U_{g}, g) \right) \circ (U_{f}, f) = \left( g^{-1}(U_{h}), h \circ g \right) \circ (U_{f}, f) = \left( f^{-1} \left( g^{-1}(U_{h}) \right), (h \circ g) \circ f \right) が成り立つ。
(g \circ f)^{-1}(U_{h}) = (f^{-1} \circ g^{-1})(U_{h})、 h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f が成り立つので、 (U_{h}, h) \circ \left( (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) \right) = \left( (U_{h}, h) \circ (U_{g}, g) \right) \circ (U_{f}, f) が成り立つ。

f:id:hitotakuchan:20160613142252p:plain
また (B, 1_{B}) \circ (U_{f}, f) = \left( f^{-1}(B), 1_{B} \circ f \right) = (U_{f}, f)、 (U_{f}, f) \circ (A, 1_{A}) = \left( 1_{A}^{-1}(U_{f}), f \circ 1_{A} \right) = (U_{f}, f) が成り立つ。

\square

Lemma
F \colon {\bf{Par}} \to {\bf{Sets}}_{\ast} \text{ is a funcotr}.

Proof.
書籍のように F を定義すると、任意の f \colon A \rightharpoondown B に対して F(f) \colon F(A) \to F(B) となるので、 F は functor の条件 (a) を満たす。
次に 1_{A} \colon A \rightharpoondown A = (A, 1_{A}) であることに注意して、
\begin{equation}
F(1_{A})(x) = F \left( (A, 1_{A}) \right)(x) =
\begin{cases}
x & \text{if } x \in A \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{equation}
これは 1_{A_{\ast}} = 1_{F(A)} と等しい。よって F は functor の条件 (b) を満たす。
最後に任意の (U_{f}, f) \colon A \rightharpoondown B、 (U_{g}, g) \colon B \rightharpoondown C に対して
\begin{equation}
F\left( (U_{g},g) \circ (U_{f}, f) \right)(x) =
\begin{cases}
(g \circ f)(x) & x \in f^{-1}(U_{g}) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{equation}
である。一方

\begin{align*}
\left( F\left( (U_{g}, g) \right) \circ F \left( (U_{f}, f) \right) \right)(x) &= F \left( (U_{g}, g) \right) \circ
\begin{cases}
f(x) & x \in U_{f} \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases} \\
&=
\begin{cases}
g \left( f(x) \right) & f(x) \in U_{g} = x \in f^{-1}(U_{g}) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{align*}

よって F\left( (U_{g},g) \circ (U_{f}, f) \right) = F\left( (U_{g}, g) \right) \circ F \left( (U_{f}, f) \right) が成り立つので F は functor の条件 (c) を満たす。

\square

Lemma
G \colon {\bf{Sets}}_{\ast} \to {\bf{Par}} \text{ is a functor}.

Proof.
書籍のように G を定義すると、任意の f \colon (A, a) \to (B, b) に対して G(f) \colon G\left( (A, a) \right) \to G \left( (B, b) \right) となるので G は functor の条件 (a) を満たす。
次に G(1_{(A,a)}) = \left( A - 1_{A}^{-1}(a), 1_{A} \middle|_{A - 1_{A}^{-1}(a)} \right) = (A - \{ a \}, 1_{A - \{a \}}) = 1_{G\left( (A, a) \right)} が成り立つので G は functor の条件 (b) を満たす。
最後に任意の f \colon (A,a) \to (B, b)、 g \colon (B, b) \to (C, c) に対して
G(g \circ f) = \left( A - (g \circ f)^{-1}(c), (g \circ f) \middle|_{A - (g \circ f)^{-1}(c)} \right)
G(g) \circ G(f) = \left( B - g^{-1}(c), g \middle|_{B - g^{-1}(c)} \right) \circ \left( A - f^{-1}(b), f \middle|_{A - f^{-1}(b)} \right) = \left( f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right), (g \circ f) \middle|_{f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right)} \right)
が成り立つ。一方で

\begin{align*}
x \in A - (g \circ f)^{-1}(c) &\iff x \in A \land g\left( f(x) \right) \neq c \\
&\iff x \in A \land f(x) \in B - g^{-1}(c) \\
&\iff x \in f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right)
\end{align*}

が成り立つので、 G(g \circ f) = G(g) \circ G(f) となり G は functor の条件 (c) を満たす。

\square

Lemma
G \circ F = 1_{\bf{Par}}

Proof.
(G \circ F)_{0}(A) = G( A \cup \{\ast\}) = (A \cup \{\ast\}) - \{\ast\} = {1_{\bf{Par}}}_{0}(A) が成り立つ。
一方 (G \circ F)_{1}(U_{f}, f) = G(f_{\ast}) = (U_{G(f_{\ast})}, f_{\ast}) となるが、 U_{G(f_{\ast})} = (A \cup \{\ast\}) - f_{\ast}^{-1}(\ast) = U_{f} が成り立つので、 (U_{G(f_{\ast})}, f_{\ast}) = (U_{f}, f) となる。よって (G \circ F)_{1} = {1_{\bf{Par}}}_{1} が成り立つ。

\square

Lemma
F \circ G \simeq 1_{{\bf{Sets}}_{\ast}}

Proof.
任意の (A, a) に対して \theta_{(A,a)} \colon (A,a) \to \left((A - a) \cup \{\ast\}, \ast \right) を以下のように定義する。
\begin{equation}
\theta_{(A,a)}(x) =
\begin{cases}
x & x \neq a \\
\ast & x = a
\end{cases}
\end{equation}

  • \theta_{(A,a)} が isomorphism であること

\theta_{(A,a)} が surjective であることは明らかである。
任意の x, y \in A に対して \theta_{(A,a)}(x) = \theta_{(A,a)}(y) とする。まず \theta_{(A,a)}(x) = x とする。このとき \theta_{(A,a)}(y) = \ast とすると \ast \in A となり \ast \notin A と矛盾する。 \theta_{(A,a)}(y) = y とすると x = y となり \theta_{(A,a)} は injective である。
次に \theta_{(A,a)}(x) = \ast とする。このとき \theta_{(A,a)}(y) = \ast とすると x = a = y となり \theta_{(A,a)} は injective である。 \theta_{(A,a)}(y) = y とすると \ast \in A となり \ast \notin A と矛盾する。以上より \theta_{(A,a)} は injective である。

  • \theta が natural であること

f:id:hitotakuchan:20160618141711p:plain
任意の f \colon (A,a) \to (B,b) に対して
\begin{equation}
(F \circ G)(f) =
\begin{cases}
f(x) & x \in A - f^{-1}(b) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{equation}
と表せる。
初めに \left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(a) = \ast = (\theta_{(B,b)} \circ f)(a) が成り立つ。
次に任意の x \neq a \in f^{-1}(b) に対して \left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(x) = \ast、 (\theta_{(B,b)} \circ f)(x) = \theta_{(B, b)}(b) = \ast が成り立つ。
最後に任意の x \in A - f^{-1}(b) に対して \left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(x) = f(x) = (\theta_{(B,b)} \circ f)(x) が成り立つ。
以上より \theta は natural isomorphism である。

\square

Example 7.29

Lemma
\Phi \text{ is a functor}.

Proof.
f:id:hitotakuchan:20160621150317p:plain
書籍のように \Phi \left( (A_{i})_{i \in I} \right) = \pi_{(A_{i})} \colon \coprod_{i \in I} A_{i} \to I で定義する。このとき、任意の i \in I に対して任意の a_{i} \in A_{i} を i に対応させる constant map を c_{i} \colon A_{i} \to I とすると、 \pi_{(A_{i})} \circ i_{A_{i}} = c_{i} が成り立つ。
次に任意の (f_{i} \colon A_{i} \to B_{i})_{i \in I} に対して \Phi \left( (f_{i}) \right) を次のように定義する。任意の i \in I に対して \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = i_{B_{i}} \circ f_{i} を満たす \widetilde{f} \colon \coprod_{i \in I} A_{i} \to \coprod_{i \in I} B_{i} が coproduct の UMP よりただ一つ存在する。この \widetilde{f} と任意の i \in I に対して \pi_{(B_{i})} \circ \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = \pi_{(B_{i})} \circ i_{B_{i}} \circ f_{i} = c_{i} \circ f_{i} = c_{i} が成り立つ。一方 \pi_{(A_{i})} \circ i_{A_{i}} = c_{i} であるから coproduct の UMP より \pi_{(B_{i})} \circ \widetilde{f} = \pi_{(A_{i})} が成り立つ。そこで \Phi \left( (f_{i}) \right) = \widetilde{f} と定義する。

初めに、 \Phi \left( (f_{i}) \colon (A_{i}) \to (B_{i}) \right) = \widetilde{f} \colon \Phi \left( (A_{i}) \right) \to \Phi \left( (B_{i}) \right) となるので \Phi は functor の条件 (a) を満たす。
次に \Phi (1_{(A_{i})}) = 1_{\coprod_{i \in I}(A_{i})} = 1_{\Phi \left( (A_{i}) \right)} となるので \Phi は functor の条件 (b) を満たす。
最後に \widetilde{g \circ f} の定義より \widetilde{g \circ f} \circ i_{A_{i}} = i_{C_{i}} \circ g_{i} \circ f_{i} が成り立つ。一方で \widetilde{g} \circ \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = \widetilde{g} \circ i_{B_{i}} \circ f_{i} = i_{C_{i}} \circ g_{i} \circ f_{i} が成り立つ。よって coproduct の UMP より \Phi(g \circ f) = \Phi(g) \circ \Phi(f) が成り立ち、 \Phi は functor の条件 (c) を満たす。

\square

Lemma
\Psi \text{ is a functor}.

Proof.
任意の \alpha \colon A \to I に対して \Psi(\alpha) = \left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I} で定義する。また任意の f \colon \alpha \to \beta と任意の i \in I に対して f_{i} = f\vert_{\alpha^{-1}(i)} とする。すると \alpha = \beta \circ f より \alpha^{-1}(i) = (f^{-1} \circ \beta^{-1})(i) \iff f \left( \alpha^{-1}(i) \right) = \beta^{-1}(i) が成り立つので、 f_{i} \colon \alpha^{-1}(i) \to \beta^{-1}(i) となる。そこで \Psi(f) を \Psi(f) = (f_{i})_{i \in I} で定義する。

\Psi(f \colon \alpha \to \beta) = (f_{i})_{i \in I} \colon \left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I} \to \left( \beta^{-1}(i) \right)_{i \in I} = (f_{i})_{i \in I} \colon \Psi(\alpha) \to \Psi(\beta) が成り立つので \Psi は functor の条件 (a) を満たす。
次に \Psi(1 \colon \alpha \to \alpha) = \left( 1 \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = 1_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I}} = 1_{\Psi(\alpha)} が成り立つので \Psi は functor の条件 (b) を満たす。
最後に \Psi( g \circ f \colon \alpha \to \gamma ) = \left( g \circ f \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = \left( g \middle|_{\beta^{-1}(i)} \right)_{i \in I} \circ \left( f \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = \Psi(g) \circ \Psi(f) が成り立つので \Psi は functor の条件 (c) を満たす。

\square

Lemma
1_{{\bf{Sets}}^{I}} \overset{\sim}{\to} \Psi \circ \Phi

Proof.
任意の (A_{i})_{i \in I} に対して (\Psi \circ \Phi) \left( (A_{i})_{i \in I} \right) = \left( \left\{ (i, a) \, \middle| \, a \in A_{i} \right\} \right)_{i \in I} であることに注意する。
\theta_{(A_{i})} \colon (A_{i})_{i \in I} \to \left( \left\{ (i, a) \, \middle| \, a \in A_{i} \right\} \right)_{i \in I} を任意の a \in A_{i} に対して (\theta_{(A_{i})})_{i}(a) = (i,a) で定義する。
f:id:hitotakuchan:20160623155650p:plain

任意の (f_{i}) \colon (A_{i})_{i \in I} \to (B_{i})_{i \in I} と任意の i \in I、 a \in A_{i} に対して \left( \Psi \circ \Phi \left( (f_{i}) \right) \circ \theta_{(A_{i})} \right)_{i}(a) = \left( i, f(a) \right)、 \left( \theta_{(B_{i})} \circ (f_{i}) \right)_{i}(a) = \left( i, f(a) \right) が成り立つ。 \theta_{(A_{i})} は明らかに isomorphism であるから、 \theta \colon 1_{{\bf{Sets}}^{I}} \to \Psi \circ \Phi は natural isomorphism である。

\square

Lemma
1_{{\bf{Sets}}/I} \overset{\sim}{\to} \Phi \circ \Psi

Proof.
任意の \alpha \colon A \to I に対して (\Phi \circ \Psi)(\alpha) = \pi_{\left(\alpha^{-1}(i) \right)} \colon \coprod_{i \in I} \alpha^{-1}(i) \to I であることに注意する。
\eta_{\alpha} \colon \alpha \to (\Phi \circ \Psi)(\alpha) を任意の a \in A に対して \eta_{\alpha}(a) = \left( \alpha(a), a \right) で定義する。このとき \alpha(a) = (\pi_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)} \circ \eta_{\alpha})(a) が成り立つのでこれは well-defined である。
次に \eta_{\alpha}^{-1} \colon (\Phi \circ \Psi)(\alpha) \to \alpha を任意の i \in I に対して \eta_{\alpha}^{-1} \left( i, a \in \alpha^{-1}(i) \right) = a で定義すると、 \pi_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)} = \alpha \circ \eta_{\alpha}^{-1} が成り立つのでこれは well-defined である。
このとき明らかに \eta_{\alpha}^{-1} \circ \eta_{\alpha} = 1_{\alpha} かつ \eta_{\alpha} \circ \eta_{\alpha}^{-1} = 1_{(\Phi \circ \Psi)(\alpha)} が成り立つので \eta_{\alpha} は isomorphism である。
f:id:hitotakuchan:20160623163037p:plain

任意の f \colon \alpha \to \beta と任意の a \in A に対して \left( (\Phi \circ \Psi)(f) \circ \eta_{\alpha} \right)(a) = \left( (\Phi \circ \Psi)(f) \right) \left( \alpha(a), a \right) = \left( \alpha(a), f(a) \right)、 (\eta_{\beta} \circ f)(a) = \left( (\beta \circ f)(a), f(a) \right) = \left( \alpha(a), f(a) \right) が成り立つ。よって \eta \colon 1_{{\bf{Sets}}/I} \to \Phi \circ \Psi は natural isomorphism である。

\square

Lemma 7.33

lemma 7.33 は証明したかったのですが、私に Boolean Algebra に関する素養がないため証明できませんでした。
わかりやすい証明をご存知の方はコメント欄なので教えてください。

参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

  • 作者:Awodey, Steve
  • 発売日: 2008/01/10
  • メディア: ペーパーバック
圏論 原著第2版

圏論 原著第2版

Errata list for An Introduction to Algebraic Topology 4th edition.

数学

はじめに

私は数年前に Joseph J Rotman著 『An Introduction to Algebraic Topology』を読んで、代数的トポロジーの勉強をしました。当時日本語で書かれた代数的トポロジーの書籍を何冊か探したのですが、定義や証明が十分に形式的に記述されているものはありませんでした。この本は、非常に定義、証明共に厳密で自習するには最適だったのですが、とにかく誤植が多い印象を受けました。
私が見つけた誤植を全て tex ファイルにして著者に送付したのですが何の response も得られませんでした。そこで、放置するのももったい無いので私のブログで公開しておきます。
これからこの書籍を使って勉強する人の役に少しでも立てばと思います。(詳細はすっかり忘れているので、質問には答えられないと思います)

Errata list

page 53 line 5

\pi_{1}(R^{1},1) to \pi_{1}(S^{1},1)

page 74 line -3

\displaystyle \sum{m_{i}\partial(b.\sigma_{i})} = \sum{m_{i}(b-x_{i})} = (\sum{m_{i}})b-\gamma
to
\displaystyle \sum{m_{i}\partial(b.\sigma_{i})} = \sum{m_{i}(x_{i}-b)} = \gamma-(\sum{m_{i}})b

\sum{m_{i}\partial(b.\sigma_{i})} equals to \sum{m_{i}( (b.\sigma_{i})(e_{1}) - (b.\sigma_{i})(e_{0}))}, and
applying e_{1}(or e_{0}) to b.\sigma means that applying t=0(or t=1) to the equation (b.\sigma)(t) = tb + (1-t)x.

page 77 line -7

(\lambda^{X}_{1} - \lambda^{X}_{0} - P^{X}_{n-1}\partial_{n})(\sigma)
to
({\lambda^{X}_{1}}_{\#} - {\lambda^{X}_{0}}_{\#} - P^{X}_{n-1}\partial_{n})(\sigma)

page 114 line 6

I think that the sentence "It is easy to see that both definitions of \text{Sd}_{n}(\sigma) agree when X is convex."
should be deleted or be changed to
"It is easy to see that both definitions of \text{Sd}_{n}(\sigma) agree when X is convex and \sigma is affine."
(when \sigma is called \textit{affine} will be defined in latter page!)

According to the definition of barycentric subdivision when X is a convex set,
\[\text{Sd}_{n}(\sigma) = \sigma(b_{n}).\text{Sd}_{n-1}(\partial\sigma) =
\begin{cases}
\sigma(b_{n}) & \text{if}\ t_{0} = 1 \\
t_{0}\sigma(b_{n}) + (1 - t_{0})\text{Sd}_{n-1}(\partial\sigma) \left( \frac{t_{1}}{1-t_{0}}, \dots ,\frac{t_{n+1}}{1-t_{0}} \right) & \text{if}\ t_{0} \neq 1
\end{cases} \].

On the other hand, according to the definition of barycentric subdivision when X is any space,
\[\text{Sd}_{n}(\sigma) = \sigma_{\#}\text{Sd}_{n}(\delta^{n}) =
\begin{cases}
\sigma(b_{n}) & \text{if}\ t_{0} = 1 \\
\sigma \left( t_{0}b_{n} + (1 - t_{0})\text{Sd}_{n-1}(\partial\delta^{n}) \left( \frac{t_{1}}{1-t_{0}}, \dots ,\frac{t_{n+1}}{1-t_{0}} \right) \right) & \text{if}\ t_{0} \neq 1
\end{cases}\].
These two do not coincide if \sigma is not \textit{affine}.

page 118 line -4

D = d h_{\#}^{-1} q_{\#}
to
D = d h_{*}^{-1} q_{*}

page 157 line 14

"the first is 18 \times 27 and the second is 27 \times 9"
to
"the first is 27 \times 18 and the second is 9 \times 27"

page 159 line -12

z - z' \in B_{q}
to
z - z' \in B_{q+1}

page 183 line 6

ki = - ki = j
to
ki = -ik = j

page 189 line -6

\{\nu(\beta)\} \times \bar{W} \subset \bar{U}
to
\{\nu(\beta)\} \times \bar{W} \subset U'

page 191 line -6

left top corner of 2nd diagram U - \{0\}
to
U' - \{0\}

page 213 line -13

i\colon (X^{k-1},\emptyset) \hookrightarrow (X^{k},X^{k-1})
to
i\colon (X^{k-1},\emptyset) \hookrightarrow (X^{k-1},X^{k-2})

page 266 line -18

"Since \Delta^{p} \times \Delta^{p} is convex, we see that the model (\Delta^{p},\Delta^{p}) is F-acyclic."
to
"Since \Delta^{p} \times \Delta^{q} is convex, we see that the model (\Delta^{p},\Delta^{q}) is F-acyclic."

page 276 line 14

vw^{-1} = k^{-1}h
to
vw^{-1} = h^{-1}k

page 277 last line

"Consider the diagram of continuous maps"
to
"Consider the \textbf{commutative} diagram of continuous maps"

page 288 line 15

"there exits a \textbf{unique} continuous h\colon \tilde{X} \to \tilde{Y} making the following diagram commute"
to
"there exits a continuous h\colon \tilde{X} \to \tilde{Y} making the following diagram commute"

Without specifying base points, there are many continuous maps making the diagram commute.

page 291 line 19

\theta\colon H \to G//H
to
\theta\colon X \to G//H

page 297 line 11

f_{t} = f_{t_{0}} * \lambda
to
f_{t} \sim f_{t_{0}} * \lambda

page 300 line -8

The sentence "Replacing V by V \cap U if necessary, we may assume that V \subset U." is verbose.
Since, F(V \times I) \subset U implies V = F(V \times \{0\}) \subset U.

page 302 line 12

"It is easy to see that \tilde{X}_{G} is a group with identity \tilde{e} and with [\bar{f}] the inverse of [f]"
to
"It is easy to see that \tilde{X}_{G} is a group with identity \tilde{e} and with {\langle \bar{f} \rangle}_{G} the inverse of {\langle f \rangle}_{G}"

page 308 line -4

"if U is open in X"
to
"if U is open in \tilde{X}/H"

page 313 line -12

x \in U \subset \bar{U} \subset W
to
y \in U \subset \bar{U} \subset W

page 318 line 10

Right parenthesis for (Hint\colon is missing.

page 323 line -15

"there are no cogroups in \textbf{hTop}"
to
"there are no non-trivial cogroups in \textbf{hTop}"

The empty set \emptyset is the trivial cogroup object in \textbf{hTop}.

page 324 line -3

In Lemma 11.6(i), Z is used to represent a space, but X is used in the proof.

page 331

I think the proof of the Theorem 11.12 is too concise or rather imprecise.

Suppose F\colon \Sigma X \to Y is a continuous map.
If we define \bar{F}\colon X \times I \to Y by \bar{F} = F \circ \nu where \nu\colon X \times I \to \Sigma X is a natural map,
then we can define \tau_{XY} by [F \to [\bar{F}^{\#}]].

In addition, if H\colon \Sigma X \times I \to Y is a (pointed) homotopy from F_{0} to F_{1}, association of H
is not a (pointed) homotopy from F_{0}^{\#} to F_{1}^{\#}.

So, first, we define \bar{H} by H \circ (\nu \times I) \circ u\colon X \times I \times I \to Y where
\nu is a natural map and u is a same map as in Theorem 11.8.
Then we can show that \bar{H}^{\#} is a (pointed) homotopy from \bar{F}_{0}^{\#} to \bar{F}_{1}^{\#}.

Similary, suppose G\colon X \to \Omega Y is a continuous map,
If we define \tilde{G^{\flat}}\colon \Sigma X \to Y by \tilde{G^{\flat}} = G^{\flat} \circ \nu^{-1},
then we can define {\tau_{XY}}^{-1} by [G] to [\tilde{G^{\flat}}].

If H\colon X \times I \to \Omega Y is a (pointed) homotopy from G_{0} to G_{1},
then we can show H^{\flat} \circ u \circ (\nu \times 1)^{-1} is a (pointed) homotopy from \tilde{G_{0}^{\flat}} to \tilde{G_{1}^{\flat}}.


I guess that it is hard to read this contents from the proof.

page 332 line 5

for all \omega, \omega' \in \Omega X
to
for all \omega, \omega' \in \Omega Y

page 334 line 9

\Sigma S^{n} = S^{n} \wedge S^{1} = (\textbf{R}^{n})^{\infty} \wedge \textbf{R}^{\infty} = (\textbf{R}^{n} \times \textbf{R})^{\infty} = (\textbf{R}^{n+1})^{\infty} = S^{n+1}
to
\Sigma S^{n} \approx S^{n} \wedge S^{1} \approx (\textbf{R}^{n})^{\infty} \wedge \textbf{R}^{\infty} \approx (\textbf{R}^{n} \times \textbf{R})^{\infty} = (\textbf{R}^{n+1})^{\infty} \approx S^{n+1}

page 336 line -4

"Recall the identities \dot{\textbf{I}}^{n} = (\dot{\textbf{I}}^{n-1} \times \textbf{I}) \cup (\textbf{I}^{n-1} \times \dot{\textbf{I}})
and (\textbf{I}^{n-1} \times \textbf{I})/(\dot{\textbf{I}}^{n-1} \times \textbf{I}) = (\textbf{I}^{n-1}/\dot{\textbf{I}}^{n-1}) \times \textbf{I}"

I guess the second identity does not hold.
When n = 2, (\textbf{I} \times \textbf{I})/(\dot{\textbf{I}} \times \textbf{I}) means that
for all s, (0,s) and (1,s) are identified to a single point.
On the other hand, (\textbf{I}/\dot{\textbf{I}}) \times \textbf{I} means that for each s, (0,s) and (1,s) is identified to a point,
but, for distinct s, s', [0,s] and [0,s'] are still distinct.

page 339 line -13

" \textit{Let} \alpha, \beta \in \mathcal{Q}(X,x_{0})."

In Lemma 11.23(i) \beta \in \mathcal{Q}(X,x_{0}), but, in Lemma 11,23(ii), \beta \in \mathcal{Q}(X,x_{1}).

page 347 line 17

(x_{0}, \omega_{0}, \beta)
to
(x_{0}, \omega_{0}, \beta^{-1})

page 348 line 7

\omega_{0} \simeq f
to
c \simeq f, where c is the constant map at y_{0}.

page 338 line -10

F\colon fg \simeq c rel x_{0}, where c is the constant map at x_{0}.
to
F\colon c \simeq fg rel z_{0}, where z_{0} is the base point of Z and c is the constant map at y_{0}.

The order of the homolopy F is sensitive, since it is used to define \phi\colon Z \to M(fg).

page 353 line -7

"Let \beta\colon (D^{n+1},S^{n}) \to (X, A) be a pointed map, and assume further that \beta(0) = x_{0}"

For \tilde{\beta} to be a pointed map, \tilde{\beta}(s_{n}) = (x_{0}, \omega_{s_{n}}) must be a base point of Mi,
namely, \omega_{s_{n}} must be a constant map at x_{0}.
So, the condition \beta(0) = x_{0} is not enough.
We need that for all t \in \textbf{I}, \omega_{s_{n}}(t) = \beta(ts_{n}) = x_{0}.

If \gamma(D^{n+1},S^{n}) \to (X,A) is any pointed map, there is a pointed pair homotopy \gamma \simeq \gamma \xi,
and \gamma \xi(ts_{n}) = x_{0}, since explicit formula of Lemma 11.41 is F(z,s) = z + (1 - |z|)ss_{n}, and F(ts_{n},1) = s_{n}.

This further condition does hold.

page 363 line 2

"Note that h is well defined (i.e., h(u,0) = x_{0} for all u \in S^{n-1})"

Why does this hold?
From the definition of h on D^{n} \times \{0\}, forall u \in S^{n-1}, h(u, 0) = f(u) \in F, and
generally f(u) \neq x_{0}.

I guess it works fine if we define h only on D^{n} \times \{0\}.

page 365 line 4

G(\{u\} \times [0, b_{1}])
to
G(\{u\} \times [0, t_{1}])

page 365 line 7

\tilde{h}_{0}\colon L^{(0)} \times [0,t] \to E
to
\tilde{h}_{0}\colon L^{(0)} \times [0,t_{1}] \to E

page 365 line 14

\tilde{\nu}_{\sigma}|\sigma \times \{0\} = \tilde{f}i|\sigma \times \{0\}
to
\tilde{\nu}_{\sigma}|\sigma \times \{0\} = \tilde{f}i^{-1}|\sigma \times \{0\}

page 365 line -8

h\sigma(u, t)
to
h^{\sigma}(u,t)

page 380 line 4

P = \{P_{n}\colon S_{n}(X) \to S_{n+1}(Y)\}
to
P = \{P_{n}\colon S_{n}(X) \to S_{n+1}(X \times \textbf{I})\}

page 382 line -6

"(Hint \colon If the projection \sum A_{\lambda} \to A_{\lambda} is denoted by p_{\lambda} and
if f \colon \sum A_{\lambda} \to G, then f \mapsto (p_{\lambda}f) is an isomorphism.)"
to
"(Hint \colon If the injection A_{\lambda} \to \sum A_{\lambda} is denoted by j_{\lambda} and
if f \colon \sum A_{\lambda} \to G, then f \mapsto (fj_{\lambda}) is an isomorphism.)"

page 387 line -8

F_{n}/F'_{n-1}
to
F_{n}/F'_{n}

page 387 line -3

\alpha' \in F'_{n}
to
\alpha' \in F'_{n-1}

page 403 line 4

"It can be shown that R \otimes S is the coproduct of R and S in the category of rings(or the category of graded ring)"
to
"It can be shown that R \otimes S is the coproduct of R and S in the category of \textbf{commutative} rings
(or the category of \textbf{commutative} graded ring)"

参考文献

An Introduction to Algebraic Topology (Graduate Texts in Mathematics)

An Introduction to Algebraic Topology (Graduate Texts in Mathematics)

Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 6

数学 数学-圏論

Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ

6.2 Cartesian closed categories

Example 6.5

\omegaCPO はプログラミング言語の Denotational Semantics で使用される重要な代数構造なのでここでは詳しく証明しておきます。

Q^{P} is an \omegaCPO

任意の f_{0} \leq f_{1} \leq \cdots に対して、 \varinjlim_{i} f_{i} を任意の p \in P に対して \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right)(p) = \varinjlim_{i} f_{i}(p) で定義します。この \varinjlim_{i} f_{i} が monotone かつ \omega-continuous であることを証明します。

Lemma
\varinjlim_{i} f_{i} \text{ is monotone}.

Proof.
任意の p, p' \in P と任意の i \in N に対して、 f_{i} が monotone であることより、 f_{i}(p) \leq f_{i}(p') \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p') が成り立つ。よって colimit の UMP より \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right)(p) = \varinjlim_{i} f_{i}(p) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p') = \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right)(p') が成り立つ。

\square

次に \varinjlim_{i} f_{i} が \omega-continuous であることを証明するのですが、その前に準備として任意の f_{0} \leq f_{1} \leq \cdots と任意の p_{0} \leq p_{1} \leq \cdots に関して次の事柄を証明しておきます。

Lemma
\exists \varinjlim_{j} f_{0}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} f_{1}(p_{j}) \leq \cdots ,\, \exists \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) ,\, \forall i,\, \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right)

Proof.
任意の i に対して \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} f_{i+1}(p_{j}) を示せば、 \varinjlim_{j} f_{0}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} f_{1}(p_{j}) \leq \cdots が \omega chain となる。すると Q が \omegaCPO であることから残りの性質は明らかである。
f_{i}, f_{i+1} が \omega-continuous であることから、 f_{i}(\varinjlim_{j} p_{j}) \leq f_{i+1}(\varinjlim_{j} p_{j}) を示せばよいが、 f_{i} \leq f_{i+1} であるからこれは成り立つ。

\square

Lemma
\exists \varinjlim_{i} f_{i}(p_{0}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{1}) \leq \cdots ,\, \exists \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) ,\, \forall j,\, \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right)

Proof.
任意の j に対して \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j+1}) を示せば、 \varinjlim_{i} f_{i}(p_{0}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{1}) \leq \cdots が \omega chain となる。すると Q が \omegaCPO であることから残りの性質は明らかである。
\varinjlim_{i} f_{i} が monotone であることより \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) = \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right) (p_{j}) \leq \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right) (p_{j+1}) = \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j+1}) が成り立つ。

\square

Lemma
\varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) = \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right)

Proof.

  • \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) \leq \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right)

任意の i と任意の j に対して f_{i} \leq \varinjlim_{i} f_{i} と上で示したことより f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。
すると \omega chain f_{i}(p_{0}) \leq f_{i}(p_{1}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。
さらに上で示した \omega chain \varinjlim_{j} f_{0}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} f_{1}(p_{j}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) \leq \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。

  • \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) \leq \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right)

任意の j と任意の i に対して f_{i} が monotone であることと上で示したことより f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。
すると \omega chain f_{0}(p_{j}) \leq f_{1}(p_{j}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。
さらに上で示した \omega chain \varinjlim_{i} f_{i}(p_{0}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{1}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) \leq \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。

\square

以上の準備を元に \varinjlim_{i} f_{i} が \omega-continuous であることを証明します。

Lemma
\varinjlim_{i} f_{i} \text{ is } \omega \text{-continuous}.

Proof.
\begin{align*}
\left( \varinjlim_{i} f_{i} \right) (\varinjlim_{j} p_{j}) &\underset{\text{def}}{=} \varinjlim_{i} f_{i} \left( \varinjlim_{j} p_{j} \right) \\
&\underset{f_{i} \text{ is continuous}}{=} \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) \\
&= \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) \\
&\underset{\text{def}}{=} \varinjlim_{j} \left( \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right) (p_{j}) \right)
\end{align*}

\square

\epsilon is \omega-continuous

まず任意の \omega chain (f_{0}, p_{0}) \leq (f_{1}, p_{1}) \leq \cdots に関して以下の事柄を証明します。

Lemma
\varinjlim_{i} (f_{i}, p_{i}) = \left( \varinjlim_{j} f_{j}, \varinjlim_{k} p_{k} \right)

Proof.
任意の i に対して f_{i} \leq \varinjlim_{j} f_{j} かつ p_{i} \leq \varinjlim_{k} p_{k} が成り立つ。よって (f_{i}, p_{i}) \leq \left( \varinjlim_{j} f_{j}, \varinjlim_{k} p_{k} \right) が成り立つ。
任意の (x,y) と任意の i に対して (f_{i}, p_{i}) \leq (x, y) が成り立つとする。すると \omega chain f_{0} \leq f_{1} \leq \cdots に対する colimit の UMP より \varinjlim_{j} f_{j} \leq x が成り立つ。同様に \varinjlim_{k} p_{k} \leq y が成り立つ。よって \left( \varinjlim_{j} f_{j}, \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq (x, y) が成り立つので、 \varinjlim_{i} (f_{i}, p_{i}) = \left( \varinjlim_{j} f_{j}, \varinjlim_{k} p_{k} \right) である。

\square

Lemma
\epsilon \left( \varinjlim_{i} (f_{i}, p_{i}) \right) = \varinjlim_{i} \epsilon( f_{i}, p_{i})

Proof.
上で証明したことと \epsilon の定義より、証明するべきことは \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) = \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) である。

  • \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) \leq \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right)

任意の i に対して、

\begin{align*}
f_{i}(p_{i}) &\underset{f_{i} \text{ is monotone}}{\leq} f_{i} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \\
&\leq \varinjlim_{j} \left( f_{j} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \right) \\
&\underset{\text{def}}{=} \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right)
\end{align*}

\omega chain f_{0}(p_{0}) \leq f_{1}(p_{1}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) \leq \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) が成り立つ。

  • \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i})

任意の j と任意の k に対して、 f_{j} (p_{k}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) を示す。
j \leq k のとき、
f_{j}(p_{k}) \leq f_{k}(p_{k}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) が成り立つ。
k \leq j のとき、
f_{j}(p_{k}) \leq f_{j}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) が成り立つ。
よって \omega chain f_{j}(p_{0}) \leq f_{j}(p_{1}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より \varinjlim_{k} f_{j}(p_{k}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) が成り立つ。これは f_{j} が continuous であることより f_{j} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) と同値である。
すると \omega chain f_{0} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq f_{1} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq \cdots に対する colimit の UMP より \varinjlim_{j} f_{j} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) が成り立つ。定義より \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) である。

\square

\tilde{f} is \omega-continuous if f is so

任意の \omega chain x_{0} \leq x_{1} \leq \cdots に対して、以下の事柄を証明します。

Lemma
\tilde{f} \left( \varinjlim_{i} x_{i} \right) = \varinjlim_{i} \tilde{f}(x_{i})

Proof.
任意の p \in P に対して \tilde{f} \left( \varinjlim_{i} x_{i} \right)(p) = \left( \varinjlim_{i} \tilde{f}(x_{i}) \right)(p) を示せばよいが、これは \tilde{f} の定義より f \left( \varinjlim_{i} x_{i}, p \right) = \varinjlim_{i} f(x_{i}, p) と同値である。
\omega chain (x_{0},p) \leq (x_{1}, p) \leq \cdots に対して、上で証明したことより \varinjlim_{i} (x_{i}, p) = \left( \varinjlim_{i} x_{i}, p \right) が成り立つ。
よって f が \omega-continuous であることより f \left( \varinjlim_{i} x_{i}, p \right) = f \left( \varinjlim_{i} (x_{i}, p) \right) = \varinjlim_{i} f(x_{i}, p) が成り立つ。

\square

Example 6.6

初めにテキストの通りに定義された \epsilon が graph homomorphism であることを証明します。

Lemma
\epsilon \colon H^{G} \times G \to H \text{ is a graph homomorphism}.

Proof.
f:id:hitotakuchan:20160516120426p:plain
上の diagram が可換になることを示せばよい。
任意の \theta \colon \phi \to \psi \in {H^{G}}_{e} と任意の e \in G_{e} に対して、 (s \circ \epsilon_{e})(\theta, e) = s(\theta(e)) = \phi(s(e)) が成り立つ。さらに、 (\epsilon_{v} \circ s)(\theta, e) = \epsilon_{v}(s(\theta), s(e)) = \epsilon_{v}(\phi, s(e)) = \phi(s(e)) が成り立つ。よって s \circ \epsilon_{e} = \epsilon_{v} \circ s が成り立つ。
同様に t \circ \epsilon_{e} = \epsilon_{v} \circ t が成り立つ。

\square

次に H^{G} が exponential object in \bf{Graphs} であることを証明します。

Lemma
H^{G} \text{ is an exponential object in } \bf{Graphs}.

Proof.
初めに、任意の f \colon F \times G \to H に対してテキストの通りに定義される \tilde{f} \colon F \to H^{G} が graph homomorphism となることを証明する。それには次の diagram が可換となることを示せばよい。
f:id:hitotakuchan:20160516122209p:plain
これは任意の c \colon a \to b \in F_{e} に対して、 \tilde{f}_{e}(c) \colon \tilde{f}_{v}(a) \to \tilde{f}_{v}(b) \colon \in H^{G}_{e} となることと同値であり、さらに H^{G} の定義より以下の diagram が可換になることと同値である。
f:id:hitotakuchan:20160516123743p:plain
任意の e \in G_{e} に対して、 \left( s \circ \tilde{f}_{e}(c) \right)(e) = s(f_{e}(c,e)) = f_{v}(s(c,e)) = f_{v}(a,s(e)) = \left( \tilde{f}_{v}(a) \right)(s(e)) = \left( \tilde{f}_{v}(a) \circ s \right)(e) が成り立つ。同様に \left( t \circ \tilde{f}_{e}(c) \right)(e) = \left( \tilde{f}_{v}(b) \circ t \right)(e) が成り立つ。よって \tilde{f} は graph homomorphism である。
この \tilde{f} に対して \epsilon \circ \left( \tilde{f} \times 1 \right) = f が成り立つことは明らかである。
次に任意の f' \colon F \to H^{G} が \epsilon \circ (f' \times 1) = f を満たすとする。
任意の a \in F_{v} と任意の u \in G_{v} に対して f'_{v}(a)(u) = (\epsilon \circ (f' \times 1))(a, u) = f_{v}(a, u) = \tilde{f}_{v}(a)(u) が成り立つ。
また、任意の c \in F_{e} と任意の e \in G_{e} に対して f'_{e}(c)(e) = (\epsilon \circ (f' \times 1))(c, e) = f_{e}(c, e) = \tilde{f}_{e}(c)(e) が成り立つ。よって f' = \tilde{f} が成り立つ。

\square

6.3 Heyting Algebras

Definition 6.10

lattice に関しては complete であることと cocomplete であることが同値であることを証明します。
さらっと書かれていますが、その前の poset P がすべての set-indexed meets を持てば、圏論的な意味で complete となるということの証明はできますか？
set-indexed meets を持つというのは、任意の集合 I を離散圏とみなした場合に任意の diagram D \colon I \to P が limit を持つことと言い換えられます。一方で、圏論的な意味で complete になるためには任意の diagram に対して limit を持たないといけません。
poset を圏とみなした場合、任意の対象間にはただ一つしか arrow が存在しないということから証明できます。

Lemma
\text{A lattice } (L, \leq) \text{ is complete} \Rightarrow (L, \leq) \text{ is cocomplete}.

Proof.
任意の I-index 集合 \left\{ a_{i} \in L \right\} に対して、集合 I' を I' = \left\{ b \in L \, \middle| \, \forall i \in I,\, a_{i} \leq b \right\} で定義する。すると、 L が complete であることから、 I' の limit \bigwedge_{b \in I'} b が存在する。これが \left\{ a_{i} \right\} の colimit \bigvee_{i \in I} a_{i} であることを示す。
任意の i \in I と任意の b \in I' に対して I' の定義より a_{i} \leq b が成り立つ。すると、 \bigwedge_{b \in I'} b は I' の limit であるから limit の UMP より a_{i} \leq \bigwedge_{b \in I'} b が成り立つ。
次に、任意の x \in L が任意の i \in I に対して a_{i} \leq x を満たすとする。すると I' の定義より x \in I' が成り立つ。よって limit の定義より \bigwedge_{b \in I'} b \leq x が成り立つ。
poset の anti-symmetricity より \bigvee_{i \in I} a_{i} = \bigwedge_{b \in I'} b である。

\square

6.7 Variable sets

6.7.1 において証明が省略されている事柄は exercise 15 としてまとめられているので、そちらの証明をしておきます。

Exercise 15(a)

Lemma
{\bf{2}}^{I} \text{ is a Heyting algebra}.

Proof.

  • {\bf{2}}^{I} has a terminal object 1

1 を任意の i \in I に対して 1(i) = \top で定義すると、任意の f \in {\bf{2}}^{I} と任意の i \in I に対して、 f(i) \leq 1(i) が成り立つので f \leq 1 が成り立つ。

  • {\bf{2}}^{I} has products

任意の f,g \in {\bf{2}}^{I} に対して f \land g を任意の i \in I に対して (f \land g)(i) = f(i) \land g(i) で定義する。すると f \land g \leq f かつ f \land g \leq g が成り立つ。このとき f \land g が product となることを示す。
任意の h \in {\bf{2}}^{I} に対して h \leq f かつ h \leq g が成り立つとすると、任意の i \in I に対して h(i) \leq f(i) \land g(i) が成り立つので、 h \leq f \land g が成り立つ。 {\bf{2}}^{I} が poset であることより、これはただ一つに決まる。

  • {\bf{2}}^{I} has an initial object 0

0 を任意の i \in I に対して 0(i) = \bot で定義すれば、任意の f \in {\bf{2}}^{I} に対して 0 \leq f が成り立つ。

  • {\bf{2}}^{I} has coproducts

任意の f,g \in {\bf{2}}^{I} に対して f \lor g を任意の i \in I に対して (f \lor g)(i) = f(i) \lor g(i) で定義する。すると product の場合と同様に f \lor g は coproduct となる。

  • {\bf{2}}^{I} has exponentials

任意の f, g \in {\bf{2}}^{I} に対して f \Rightarrow g を任意の i \in I に対して (f \Rightarrow g)(i) = \top \iff \forall j \leq i,\, f(j) \leq g(j) で定義する。

f \land g \leq h ならば f \leq g \Rightarrow h が成り立つこと。
任意の i \in I に対して f(i) \leq (g \Rightarrow h)(i) を示せばよい。 f(i) = \bot ならば f(i) \leq (g \Rightarrow h)(i) は明らかである。 f(i) = \top とすると、任意の j \geq i に対して g(j) \leq h(j) を示せばよいが、仮定より f(j) \land g(j) \leq h(j) が成り立つ。また f が monotone であることより f(j) = \top が成り立つ。よって g(j) \leq h(j) が成り立つ。

f \leq g \Rightarrow h ならば f \land g \leq h が成り立つこと。
任意の i \in I に対して f(i) \land g(i) \leq h(i) を示せばよい。 f(i) = \bot ならば f(i) \land g(i) \leq h(i) は明らかである。 f(i) = \top とすると g(i) \leq h(i) が成り立つことを示せばよい。仮定より f(i) \leq g(i) \Rightarrow h(i) が成り立つが、 f(i) = \top より g(i) \Rightarrow h(i) = \top である。よって exponential の定義より g(i) \leq h(i) が成り立つ。

\square

Exercise 15(b)

Lemma
y(a) \text{ is monotone}.

Proof.
任意の x \leq y \in A^{op} に対して y(a)(x) \leq y(a)(y) \in {\bf{2}} を示せばよい。 y(a)(x) = \top の場合を考えれば十分である。このとき x \leq a \in A が成り立つ。また x \leq y \in A^{op} ならば y \leq x \in A が成り立つので y \leq a \in A が成り立つ。よって y(a)(y) = \top となるので y(a)(x) \leq y(a)(y) が成り立つ。

\square

Lemma
y \text{ is monotone}.

Proof.
任意の a \leq b \in A に対して y(a) \leq y(b) \in {\bf{2}}^{I} を示す。任意の x \in A^{op} に対して y(a)(x) = \top とすると x \leq a \in A が成り立つ。 a \leq b \in A より x \leq b \in A が成り立つので y(b)(x) = \top となる。よって y(a) \leq y(b) \in {\bf{2}}^{I} が成り立つ。

\square

Lemma
y \text{ is injective}.

Proof.
任意の a,b \in A に対して y(a) = y(b) が成り立つとする。このとき任意の x \in A^{op} に対して y(a)(x) = y(b)(x) が成り立つ。 x = a とすると y(a)(a) = \top より y(b)(a) = \top が成り立ち a \leq b \in A が成り立つ。同様に x = b とすると b \leq a \in A が成り立つので a = b となる。

\square

Lemma
y \text{ preserves CCC structure}.

Proof.

  • preserves terminal object 1

任意の x \in A^{op} に対して y(1)(x) = \top が成り立つので y(1) = 1 \in {\bf{2}}^{I} である。

  • preserves products

任意の a,b \in A と任意の x \in A^{op} に対して y(a \land b)(x) = \left( y(a) \land y(b) \right)(x) を示せばよい。つまり x \leq a \land b \iff x \leq a \land x \leq b \in A を示せばよいが、これは a \land b が product であることより明らかである。

  • preserves exponentials

任意の a,b \in A と任意の x \in A^{op} に対して y(a \Rightarrow b)(x) = \left( y(a) \Rightarrow y(b) \right)(x) を示せばよい。つまり x \leq a \Rightarrow b \iff \forall y \geq x \in A^{op},\, y(a)(y) \leq y(b)(y) を示せばよい。

only if case
y \leq a \in A とすると x \leq y \in A^{op} より y \leq x \in A であるから、 y \leq x \land a が成り立つ。一方、仮定より x \leq a \Rightarrow b であるから x \land a \leq b が成り立つ。よって y \leq b \in A となるので y(a)(y) \leq y(b)(y) が成り立つ。

if case
x \land a \leq x \in A が成り立つことから x \leq x \land a \in A^{op} が成り立つ。すると仮定より y(a)(x \land a) \leq y(b)(x \land a) が成り立つ。 x \land a \leq a \in A は常に成り立つので、 y(a)(x \land a) = \top となるから y(b)(x \land a) = \top つまり x \land a \leq b \in A が成り立つ。よって x \leq a \Rightarrow b が成り立つ。

\square

参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)

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  • 作者:Awodey, Steve
  • 発売日: 2008/01/10
  • メディア: ペーパーバック
圏論 原著第2版

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5.2 Pullbacks

Proposition 5.5

only if case しか証明されていないので、if case の証明を補っておきます。

Lemma
(E, p_{1}, p_{2}) \text{ is a pullback of } f \text{ and } g \Rightarrow (E, \left< p_{1}, p_{2} \right>) \text{ is an equalizer of } f \circ \pi_{1} \text{ and } g \circ \pi_{2}.

Proof.
任意の z \colon Z \to A \times B に対して、 f \circ \pi_{1} \circ z = g \circ \pi_{2} \circ z が成り立つとする。 (E, p_{1}, p_{2}) が pullback であることより、 \exists !\,u \colon Z \to E が存在して p_{1} \circ u = \pi_{1} \circ z かつ p_{2} \circ u = \pi_{2} \circ z を満たす。
このとき、 i = 1,2 に対して、 \pi_{i} \circ \left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u = p_{i} \circ u = \pi_{i} \circ z であるから、 A \times B の UMP より \left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u = z が成り立つ。
次に、任意の u' \colon Z \to E に対して、 \left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u' = z が成り立つすると、 i = 1,2 に対して p_{i} \circ u' = \pi_{i} \circ \left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u' = \pi_{i} \circ z = p_{i} \circ u が成り立つ。よって pullback の UMP より u' = u が成り立つ。

\square

Exercise 3

Lemma
m \text{ is monic} \Rightarrow m' \text{ is monic}.

Proof.
f:id:hitotakuchan:20160502130742p:plain
任意の z_{1}, z_{2} \colon Z \to M' に対して、 m' \circ z_{1} = m' \circ z_{2} が成り立つとする。このとき、 m \circ f' \circ z_{1} = f \circ m' \circ z_{1} = f \circ m' \circ z_{2} = m \circ f' \circ z_{2} が成り立つが、 m が monic であることより f' \circ z_{1} = f' \circ z_{2} が成り立つ。
M' が pullback であることより、 \exists !\,z \colon Z \to M' が存在して、 m' \circ z = m' \circ z_{1} = m' \circ z_{2} かつ f' \circ z = f' \circ z_{1} = f' \circ z_{2} を満たすが、 z_{1},z_{2} も diagram を可換にするので z_{1} = z = z_{2} が成り立つ。よって m' は monic である。

\square

5.3 Properties of pullbacks

Two pullbacks lemma

Lemma
\text{If the two squares are pullbacks, so is the outer rectangle}.

Proof.
f:id:hitotakuchan:20160503121002p:plain
任意の x \colon Z \to A と y \colon Z \to D に対して、 g \circ f \circ x = h \circ y が成り立つとする。すると right square が pullback であることより、 \exists !\, z' \colon Z \to E が存在して g' \circ z' = y かつ h' \circ z' = f \circ x を満たす。さらに left square が pullback であることより \exists !\, z \colon Z \to F が存在して h'' \circ z = x かつ f' \circ z = z' を満たす。
次に、任意の z'' \colon Z \to F に対して h'' \circ z'' = x かつ g' \circ f' \circ z'' = y が成り立つとする。 f' \circ z'' は g' \circ (f' \circ z'') = y と h' \circ (f' \circ z'') = f \circ h'' \circ z'' = f \circ x が成り立つから、right square の UMP より f' \circ z'' = z' が成り立つ。すると left square の UMP より z = z'' が成り立つ。

\square

Lemma
\text{If the right square and the outer rectangle are pullbacks, so is the left square}.

Proof.
f:id:hitotakuchan:20160503121025p:plain
任意の x \colon Z \to A と y \colon Z \to E に対して、 f \circ x = h' \circ y とする。 g \circ f \circ x = g \circ h' \circ y = h \circ g' \circ y が成り立ち、outer rectangle が pullback であることより \exists !\, z \colon Z \to F が存在して h'' \circ z = x かつ g' \circ f' \circ z = g' \circ y を満たす。
h' \circ f' \circ z = f \circ h'' \circ z = f \circ x = h' \circ y が成り立つことと、right square が pullback であることより f' \circ z = y が成り立つ。
次に、任意の z' \colon Z \to F に対して h'' \circ z' = x かつ f' \circ z' = y が成り立つとする。すると g' \circ f' \circ z' = g' \circ y が成り立つので、outer rectangle の UMP より z = z' が成り立つ。

\square

Proposition 5.10

証明自体は難しくないので詳細は省略します。一般に pullback は up to isomorphism でしか決まりません。よって、この functor h^{\ast} の存在を言うためには選択公理を仮定するか、後で出てくる skeletal という概念を用いて圏 \bf{C} は skeletal であるという条件を付け加えないといけないと思います。

Example 5.13

Lemma
{\coprod_{j \in J} A_{\alpha(j)}} \text{ is a pullback}.

Proof.
f:id:hitotakuchan:20160503141325p:plain
\alpha'(j, a) = (\alpha(j), a) で定義する。 a \in A_{\alpha(j)} であるから \alpha' は well-defined である。
任意の f \colon Z \to J と g \colon Z \to {\coprod_{i \in I} A_{i}} に対して、 \alpha \circ f = p \circ g が成り立つとする。このとき、任意の z \in Z に対して g(z) = (i, a) とするとき、 h \colon Z \to {\coprod_{j \in J} A_{\alpha(j)}} を h(z) = (f(z), a) で定義する。これは \alpha(f(z)) = (\alpha \circ f)(z) = (p \circ g)(z) = i が成り立つので a \in A_{\alpha(f(z))} となり well-defined である。また、 (q \circ h)(z) = f(z) かつ (\alpha' \circ h)(z) = (\alpha(f(z)), a) = (i, a) = g(z) が成り立つので、 h は diagram を可換にする。
次に、任意の h' \colon Z \to {\coprod_{j \in J} A_{\alpha(j)}} が q \circ h' = f かつ \alpha' \circ h' = g を満たすとする。任意の z \in Z に対して h'(z) = (j, b) とすると、 q \circ h' = f より j = f(z) が成り立つ。また g(z) = (i, a) とすると、 (i,a) = g(z) = (\alpha' \circ h')(z) = (\alpha(f(z)), b) = (p(g(z)), b) = (i, b) より a = b が成り立つ。よって h = h' が成り立つ。

\square

5.4 Limits

Proposition 5.14

上の two-pullback lemma の場合もそうでしたが、証明が easy diagram chase とだけ書かれていて省略されている場合、私の経験上全然 easy じゃないことが多いので補足しておきます。

Lemma
(E,e,h) \text{ is a pullback then } (E,e) \text{ is an equalizer of } f,g.

Proof.
f:id:hitotakuchan:20160506130719p:plain
初めに \Delta が monic であることを示す。
任意の x,y \colon Z \to B に対して、 \Delta \circ x = \Delta \circ y が成り立つとする。すると x = 1_{B} \circ x = \pi_{1} \circ \Delta \circ x = \pi_{1} \circ \Delta \circ y = 1_{B} \circ y = y が成り立つ。よって \Delta は monic である。
次に、 f \circ e = \pi_{1} \circ \left< f,g \right> \circ e = \pi_{1} \circ \Delta \circ h = h と g \circ e = \pi_{2} \circ \left< f,g \right> \circ e = \pi_{2} \circ \Delta \circ h = h が成り立つので、 f \circ e = g \circ e が成り立つ。
最後に、任意の x \colon Z \to A に対して、 f \circ x = g \circ x が成り立つとする。このとき \pi_{1} \circ \Delta \circ f \circ x = f \circ x = \pi_{1} \circ \left< f,g \right> \circ x かつ \pi_{2} \circ \Delta \circ f \circ x = f \circ x = g \circ x = \pi_{2} \circ \left< f,g \right> \circ x が成り立つから B \times B の UMP より \Delta \circ f \circ x = \left< f,g \right> \circ x が成り立つ。すると Z が pullback であることより、 \exists !\, z \colon Z \to E が存在して e \circ z = x かつ h \circ z = f \circ x を満たす。
Exercise 3 より \Delta が monic なら e は monic となるので e \circ z = x を満たす z はただ一つに決まる。よって (E,e) は f と g の equalizer である。

\square

5.6 Colimits

Direct limits of groups

G_{\inf} が \omega-colimits であることの証明は簡単ではないです。ここでは詳細は証明は省略しますが、以下の記事で R 加群の場合の direct limit に関する基本的な性質の証明を行っているので、詳しく証明を確認したい人は参照してください。

www.orecoli.com

参考書籍

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  • 作者:Awodey, Steve
  • 発売日: 2008/01/10
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4.1 Groups in a category

Corollary 4.6

任意の (G,\circ,i,u) が abelian group であるとすると、 \circ、 i、 u が group homomorphism であれば (G, \circ, i, u) が group object であるための条件を満たすことは (G, \circ, i, u) が abelian group であることから明らかです。
\bf{Group} において 1 は zero object なので u \colon G \to 1 \to G はただ一つ存在する group homomorphism になります。そこで \circ と i が group homomorphism であることを証明します。

Lemma
\circ \text{ is a group homomorphism}.

Proof.
任意の (g_{1}, g_{2}), (h_{1},h_{2}) \in G \times G に対して、 (G,\circ,i,u) が abelian group であることより、

\begin{align*}
\circ((g_{1},g_{2}) \circ (h_{1}, h_{2}) ) &= \circ (g_{1} \circ h_{1}, g_{2} \circ h_{2}) \\
&= g_{1} \circ h_{1} \circ g_{2} \circ h_{2} \\
&= g_{1} \circ g_{2} \circ h_{1} \circ h_{2} \\
&= (\circ(g_{1}, g_{2}) ) \circ (\circ(h_{1}, h_{2}) )
\end{align*}

が成り立つので \circ は group homomorphism である。

\square

Lemma
i \text{ is a group homomorphism}.

Proof.
任意の g_{1}, g_{2} \in G に対して、 (G,\circ,i,u) が abelian group であることより、 i(g_{1} \circ g_{2}) = i(g_{2}) \circ i(g_{1}) = i(g_{1}) \circ i(g_{2}) が成り立つので i は group homomorphism である。

\square

4.2 The category of groups

\sim is an equivalence relation

group N が group G の subgroup であるとは任意の g_{1},g_{2} \in N に対して、 g_{1} \cdot g_{2}^{-1} \in N が成り立つこととして定義されます。この定義から N が G の単位元を自身の単位元として含むことが証明できます。
さらに N が G の normal subgroup であるとは、任意の g \in G と任意の h \in N に対して、 g \cdot h \cdot g^{-1} \in N が成り立つこととして定義されます。

Lemma
\sim \text{ is an equivalence relation}.

Proof.

  • reflexive

任意の h \in N に対して、 h \cdot h^{-1} = u \in N であるから、 h \sim h が成り立つ。

  • symmetric

任意の x,y \in N に対して x \sim y とすると、 x \cdot y^{-1} \in N が成り立つ。 N は group であるから、 (x \cdot y^{-1})^{-1} = y \cdot x^{-1} \in N が成り立つので y \sim x が成り立つ。

  • transitive

任意の x, y, z \in N に対して x \sim y かつ y \sim z とする。 x \cdot y^{-1} \in N と y \cdot z^{-1} \in N より x \cdot y^{-1} \cdot y \cdot z^{-1} = x \cdot z^{-1} \in N が成り立つ。よって x \sim z が成り立つ。

\square

Corollary 4.11

N = \text{ker}(h) であるとき、 \overline{h} が injective になることは書籍で証明されているので、ここでは h が injective であるための必要十分条件が \text{ker}(h) = \left\{ u \right\} であることを証明します。準備として以下を証明しておきます。

Lemma
h \text{ is injective} \iff \pi \text{ is injective}.

Proof.

  • only if case

任意の x,y \in G に対して、 [x] = [y] であるとする。このとき、 h(x) = \overline{h}([x]) = \overline{h}([y]) = h(y) が成り立つが、 h が injective であることより x = y が成り立つ。よって \pi は injective である。

  • if case

任意の x,y \in G に対して、 h(x) = h(y) であるとする。 h = \overline{h} \circ \pi であるから \overline{h}([x]) = \overline{h}([y]) が成り立つが、 \overline{h} が injective であるから [x] = [y] が成り立つ。さらに \pi が injective であるから x = y が成り立つ。よって h は injective である。

\square

この準備の元に次の補題を証明します。

Lemma
\pi \text{ is injective} \iff \text{ker}(h) = \left\{ u \right\}

Proof.

  • only if case

背理法により証明する。 \text{ker}(h) \neq \left\{ u \right\} であるとすると、 \exists x \in \text{ker}(h),\, x \neq u が存在する。すると x \cdot u \in \text{ker}(h) より [x] = [u] が成り立つ。仮定より \pi が injective であるから x = u が成り立つが、これは x \neq u と矛盾する。よって \text{ker}(h) = \left\{ u \right\} である。

  • if case

任意の x,y \in G に対して、 [x] = [y] であるとすると、 x \cdot y^{-1} \in \text{ker}(h) = \left\{ u \right\} が成り立つ。よって x = y となるので、 \pi は injective である。

\square

Cokernels are special coequalizers

Cokernel に関しては Exercise 5 を通して見ておきましょう。Exercise 5 では abelian group を考えているので、二項演算子を +、単位元を 0 で表します。
任意の f \colon A \to B に対して、 \pi \colon B \to B / \text{im}(f) を \pi(b) = [b] で定義される natural homomorphism であるとします。

f:id:hitotakuchan:20160411185847p:plain

Exercise\ 5\ (a)
Proof.
任意の a \in A に対して、 \pi \circ f (a) = [f(a)] で f(a) - 0_{B} \in \text{im}(f) であるから [f(a)] = [0_{B}] が成り立つ。 B/\text{im}(f) の単位元は [0_{B}] であるから \pi \circ f = 0_{B/\text{im}(f)} が成り立つ。
また任意の g \colon B \to G に対して、 g \circ f = 0_{G} が成り立つとする。 \overline{g} \colon B/\text{im}(f) \to G を \overline{g}([b]) = g(b) で定義する。このとき、 [b] = [b'] とすると b - b' \in \text{im}(f) より \exists a \in A,\, b - b' = f(a) が存在する。すると g(b) - g(b') = g(b - b') = g(f(a)) = 0_{G} が成り立つ。よって \overline{g} は well-defined である。
g = \overline{g} \circ \pi が成り立つことは定義より明らか。また \pi が epic であるから、 \overline{g} はただ一つに決まる。

\square

(a) で証明した UMP より、 (\pi, B/\text{im}(f) ) は f \colon A \to B と 0 \colon A \to 0 \to B の coequalizer であることがわかります。
次に cokernel を使用すると任意の coequalizer が構成できることを証明します。

f:id:hitotakuchan:20160411190220p:plain

Exercise\ 5\ (b)
Proof.
任意の f,f' \colon A \to B に対して、 f - f' を (f - f')(a) = f(a) - f'(a) で定義すると、 B が abelian group であることより

\begin{align*}
(f-f')(a + b) &= f(a + b) - f'(a + b) \\
&= f(a) + f(b) - f'(a) - f'(b) \\
&= f(a) - f'(a) + f(b) - f'(b) \\
&= (f-f')(a) + (f-f')(b)
\end{align*}

が成り立つので group homomorphism になる。 f - f' の cokernel を \pi \colon B \to B/\text{im}(f-f') とすると、 \pi が f、 f' の coequalizer となることを示す。
まず、 \pi \circ (f - f') = 0 より \pi \circ f = \pi \circ f' が成り立つ。
次に、任意の g \colon B \to G に対して、 g \circ f = g \circ f' が成り立つとする。このとき g \circ (f - f') = (g \circ f) - (g \circ f') = 0_{G} = g \circ 0_{B} が成り立つ。すると (a) で示した UMP より \exists ! \,\overline{g} \colon B/\text{im}(f) \to G が存在して、 g = \overline{g} \circ \pi が成り立つ。よって (\pi, B/\text{im}(f-f') ) は f と f' の coequalizer である。

\square

(c) に関しては以下の可換図式より \text{Ker}(\text{cok}(f) ) \cong A/\text{Ker}(f) であることを確認してください。可換図式では f の cokernel となる対象を \text{Cok}(f)、cokernel への homomorphism を \text{cok}(f) 等として表しています。

f:id:hitotakuchan:20160411191918p:plain

4.3 Groups as categories

composition of the congruence category is well-defined

\circ_{{\bf{C}}^{\sim}} を \left< f',g' \right> \circ_{{\bf{C}}^{\sim}} \left< f,g \right> = \left< f' \circ f, g' \circ g \right> で定義するとき、 \circ_{{\bf{C}}^{\sim}} が well-defined であることを証明します。

Lemma
\circ_{{\bf{C}}^{\sim}} \text{ is well-defined}.

Proof.
任意の f \sim g \colon A \to B と f' \sim g' \colon B \to C に対して、congruence の条件より f' \circ f = f' \circ f \circ 1_{A} \sim f' \circ g \circ 1_{A} = f' \circ g が成り立つ。一方で f' \circ g = 1_{C} \circ f' \circ g \sim 1_{C} \circ g' \circ g = g' \circ g が成り立つ。 \sim が equivalence relation であることより、 f' \circ f \sim g' \circ g が成り立つ。

\square

\sim_{F} is a congruence

\sim_{F} が equivalence relation であることは定義よりほぼ自明なので省略します。 \sim_{F} が congruence の条件を満たすことを証明します。

Lemma
\sim_{F} \text{ is a congruence}.

Proof.
任意の f,g \in {\bf{C}}_{1} に対して、 f \sim_{F} g とすると定義より \text{dom}(f) = \text{dom}(g) かつ \text{cod}(f) = \text{cod}(g) が成り立つ。
また任意の a \colon A \to \text{dom}(f) と b \colon \text{cod}(f) \to B に対して、 \text{dom}(b \circ f \circ a) = \text{dom}(a) = \text{dom}(b \circ g \circ a) かつ \text{cod}(b \circ f \circ a) = \text{cod}(b) = \text{cod}(b \circ g \circ a) が成り立つ。また F が functor であることより、 F(b \circ f \circ a) = F(b) \circ F(f) \circ F(a) = F(b) \circ F(g) \circ F(a) = F(b \circ g \circ a) が成り立つので、 b \circ f \circ a \sim_{F} b \circ g \circ a が成り立つ。よって \sim_{F} は congruence である。

\square

Theorem 4.13

Theorem 4.13 の証明は難しくないのですが省略されているのでここで証明しておきます。

Theorem
(\forall f,g \in {\bf{C}}_{1},\, f \sim g \Rightarrow f \sim_{F} g) \iff \exists !\, \tilde{F} \colon {\bf{C}}/\sim \, \to {\bf{D}},\, F = \tilde{F} \circ \pi

Proof.

  • only if case

\tilde{F} を \tilde{F}_{0}(C) = F(C)、 \tilde{F}_{1}([f]) = F(f) で定義する。このとき、任意の f,g \in {\bf{C}}_{1} に対して [f] = [g] であるとすると、 f \sim g であるから、仮定より f \sim_{F} g が成り立つ。よって定義より F(f) = F(g) が成り立つので、 \tilde{F}_{1} は well-defined である。
次に \tilde{F} が functor であることを示す。
\tilde{F}_{1}([f] \colon A \to B) = F(f) \colon F(A) \to F(B) = F(f) \colon \tilde{F}_{0}(A) \to \tilde{F}_{0}(B) であるから、 \tilde{F} は functor の条件 (a) を満たす。
また、 \tilde{F}_{1}([id] \colon A \to A) = F(id) = id_{F(A)} = id_{\tilde{F}_{0}(A)} が成り立つので、 \tilde{F} は functor の条件 (b) を満たす。
最後に \tilde{F}_{1}([f'] \circ [f]) = \tilde{F}_{1}([f' \circ f]) = F(f' \circ f) = F(f') \circ F(f) = \tilde{F}_{1}([f']) \circ \tilde{F}_{1}([f]) が成り立つので、 \tilde{F} は functor の条件 (c) を満たす。
よって \tilde{F} は functor である。
この \tilde{F} が F = \tilde{F} \circ \pi を満たすことは定義より明らかである。また \pi が epic であることより、 \tilde{F} はただ一つに決まる。

  • if case

f \sim g であるとすると、congruence の条件より \text{dom}(f) = \text{dom}(g) かつ \text{cod}(f) = \text{cod}(g) が成り立つ。さらに [f] = [g] であるから、 F(f) = (\tilde{F} \circ \pi)(f) = \tilde{F}([f]) = \tilde{F}([g]) = (\tilde{F} \circ \pi)(g) = F(g) が成り立つので f \sim_{F} g が成り立つ。

\square

Lemma
\tilde{F} \colon {\bf{C}}/\text{ker}(F) \to D \text{ is a faithful functor}.

Proof.
任意の [f],[g] \colon A \to B に対して \tilde{F}([f]) = \tilde{F}([g]) \Rightarrow [f] = [g] を示せばよい。 [f],[g] \colon A \to B より \text{dom}(f) = \text{dom}(g) かつ \text{cod}(f) = \text{cod}(g) が成り立つ。また F(f) = (\tilde{F} \circ \pi)(f) = \tilde{F}([f]) = \tilde{F}([g]) = (\tilde{F} \circ \pi)(g) = F(g) が成り立つので f \sim_{F} g つまり [f] = [g] が成り立つ。よって \tilde{F} は faithful functor である。

\square

4.4 Finitely presented categories

smallest congruence

書籍において \sim_{\Sigma} を g = g' \in \Sigma なら g \sim g' を満たす congruence の中で最小の congruence として定義しています。congruence の intersection が congruence になることから、 \sim_{\Sigma} が存在すると書かれていますが本当でしょうか？
これは、 g = g' \in \Sigma なら g \sim g' を満たす congruence が少なくとも一つは存在することを示さないと定義として意味がありません。ここでは以下の記事の内容を元に具体的に \sim_{\Sigma} を構成します。
www.orecoli.com

まず二項関係 \Sigma' を \Sigma' = \left\{ (b \circ f \circ a, b \circ g \circ a) \,\middle| \, (f,g) \in \Sigma,\, \forall a,b,\, \text{cod}(a) = \text{dom}(f),\, \text{dom}(b) = \text{cod}(f) \right\} で定義します。上の記事を参考に \Sigma' から生成される equivalence relation として \sim_{\Sigma} を定義します。このとき \sim_{\Sigma} が (f,g) \in \Sigma なら f \sim g を満たす最小の congruence であることを証明します。初めに \sim_{\Sigma} が congruence であることを証明します。

Lemma
\sim_{\Sigma} \text{ is a congruence}.

Proof.
任意の f,g \in {\bf{C}}_{1} に対して f \sim_{\Sigma} g であるとする。

  • n = 1 のとき

f = g であるとすると、 \text{dom}(f) = \text{dom}(g) かつ \text{cod}(f) = \text{cod}(g) は明らか。また任意の a,b に対して b \circ f \circ a = b \circ g \circ a であるから、 \sim_{\Sigma} が equivalence relation であることより b \circ f \circ a \sim_{\Sigma} b \circ g \circ a が成り立つ。
(f, g) \in \Sigma' とすると、 \exists (f',g') \in \Sigma と \exists x,y が存在して (f,g) = (y \circ f' \circ x, y \circ g' \circ x) と表される。このとき \text{dom}(f) = \text{dom}(g) かつ \text{cod}(f) = \text{cod}(g) は明らかである。また任意の a,b に対して (b \circ y \circ f' \circ x \circ a, b \circ y \circ g' \circ x \circ a) \in \Sigma' であるから、 b \circ f \circ a \sim_{\Sigma} b \circ g \circ a が成り立つ。
(g,f) \in \Sigma' の場合も (f,g) \in \Sigma' の場合と同様である。

  • n \gt 1 のとき

帰納法の仮定により \text{dom}(f) = \text{dom}(x_{n-1})、 \text{cod}(f) = \text{cod}(x_{n-1}) かつ 任意の a,b に対して b \circ f \circ a \sim_{\Sigma} b \circ x_{n-1} \circ a が成り立つ。一方で x_{n-1} = g、 (x_{n-1}, g) \in \Sigma'、 (g, x_{n-1}) \in \Sigma' のそれぞれの場合に対して、 n = 1 の場合と同様の議論により、 \text{dom}(x_{n-1}) = \text{dom}(g)、 \text{cod}(x_{n-1}) = \text{cod}(g) かつ 任意の a,b に対して b \circ x_{n-1} \circ a \sim_{\Sigma} b \circ g \circ a が成り立つ。
よって \sim_{\Sigma} が equivalence relation であることより \text{dom}(f) = \text{dom}(g)、 \text{cod}(f) = \text{cod}(g) かつ 任意の a,b に対して b \circ f \circ a \sim_{\Sigma} b \circ g \circ a が成り立つ。

\square

次に \sim_{\Sigma} が (f,g) \in \Sigma ならば f \sim g を満たす最小の congruence であることを証明します。 \sim_{\Sigma} が (f,g) \in \Sigma ならば f \sim_{\Sigma} g をみたすことは、 a = 1_{\text{dom}(f)}、 b = 1_{\text{cod}(f)} とすれば (f,g) \in \Sigma' となることから明らかです。

Lemma
\sim_{\Sigma} \text{ is the smallest congruence}.

Proof.
\sim を (f,g) \in \Sigma ならば f \sim g を満たす任意の congruence であるとする。
任意の f,g \in {\bf{C}}_{1} に対して f \sim_{\Sigma} g であるとする。

  • n = 1 のとき

f = g とすると、 \sim は equivalence relation であるから f \sim g が成り立つ。
(f,g) \in \Sigma' とすると、 \exists (f',g') \in \Sigma と \exists x,y が存在して (f,g) = (y \circ f' \circ x, y \circ g' \circ x) と表される。仮定より f' \sim g' が成り立ち、 \sim が congruence であることより f \sim g が成り立つ。
(g,f) \in \Sigma' の場合も (f,g) \in \Sigma' の場合と同様である。

  • n \gt 1 のとき

帰納法の仮定より f \sim x_{n-1} が成り立つ。一方で x_{n-1} = g、 (x_{n-1}, g) \in \Sigma'、 (g, x_{n-1}) \in \Sigma' のそれぞれの場合に対して、 n = 1 の場合と同様の議論により、 x_{n-1} \sim g が成り立つ。よって \sim の transitivity により f \sim g が成り立つ。

\square

参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

  • 作者:Awodey, Steve
  • 発売日: 2008/01/10
  • メディア: ペーパーバック
圏論 原著第2版

圏論 原著第2版

二項関係から生成される同値関係に関する形式的な証明

数学

はじめに

数学の勉強をしていると、関係 \sim を次の等式を含むような最小の同値関係とする、という定義がよく出てきます。
しかし、この定義は関係 \sim の具体的な構成を与えていないので、この同値関係に関する証明をしようとすると途端に行き詰まってしまいます(例えば、商空間を定義域とするような関数が well-defined であることを証明する場合など)。
この記事では、二項関係から生成される同値関係を構成的に定義し、それが本当に最小の同値関係になっていることを証明します。
また同値類を定義し、同値類と同値関係に関して成り立つ基本的な事柄に関して補足します。

二項関係から生成される関係

R を任意の集合 X 上の二項関係であるとします。このとき、新しい X 上の二項関係 R' を次のように定義します。

\begin{align*}
\forall x,y \in X,\, (x,y) \in R' \iff &\exists n,\, \exists x_{0}, \dots , x_{n} \in X, \\
&x = x_{0} \\
&\land y = x_{n} \\
&\land \left( \forall 0 \leq i \leq n - 1,\, x_{i} = x_{i+1} \lor (x_{i}, x_{i+1}) \in R \lor (x_{i+1}, x_{i}) \in R \right)
\end{align*}

この R' が R を含むような最小の同値関係であることを示します。

Lemma
R \subseteq R'

Proof.
任意の x,y \in X に対して、 (x,y) \in R とすると、 n = 1、 x = x_{0}、 y = x_{1} とすると、 (x_{0}, x_{1}) \in R が成り立つので、 (x,y) \in R' が成り立つ。

\square

Lemma
R' \text{ is an equivalence relation}.

Proof.

  • reflexive

任意の x \in X に対して、 n = 1、 x = x_{0}、 x = x_{1} とすれば、 x_{0} = x_{1} が成り立つので、 (x,x) \in R' が成り立つ。

  • symmetric

任意の x,y \in X に対して、 (x,y) \in R' とすると、 \exists n,\ \exists x_{0}, \dots , x_{n} が存在して、 x = x_{0}、 y = x_{n}、 \forall 0 \leq i \leq n-1,\, x_{i} = x_{i+1} \lor (x_{i}, x_{i+1}) \in R \lor (x_{i+1},x_{i}) \in R を満たす。このとき、 x_{0}, \dots , x_{n} の順序を逆にした列 x_{n}, \dots, x_{0} を新たに x'_{0}, \dots x'_{n} とすると、これは y = x'_{0}、 x = x'_{n}、 \forall 0 \leq i \leq n-1,\, x'_{i} = x'_{i+1} \lor (x'_{i}, x'_{i+1}) \in R \lor (x'_{i+1},x'_{i}) \in R を満たす。よって (y,x) \in R' が成り立つ。

  • transitive

任意の x,y,z \in X に対して、 (x,y) \in R'、 (y,z) \in R' とすると、 \exists n,\, \exists x_{0}, \dots ,x_{n} と \exists n',\, \exists x'_{0}, \dots, x'_{n'} が存在して条件を満たす。このとき、列 x_{0}, \dots, x_{n}, x'_{0}, \dots, x'_{n'} を新たに列 x''_{0}, \dots , x''_{n + n' + 1} とすると、これは x = x''_{0}、 z = x''_{n+n'+1}、 \forall 0 \leq i \leq n + n',\, x''_{i} = x''_{i+1} \lor (x''_{i}, x''_{i+1}) \in R \lor (x''_{i+1}, x''_{i}) \in R を満たす。よって (x,z) \in R' が成り立つ。

\square

以上より、 R' が R を含む同値関係であることがわかりました。次に R' が R を含むような同値関係の中で最小であることを示します。

Lemma
R' \text{ is the least equivalence relation containing } R.

Proof.
任意の R'' を R を含む同値関係であるとする。任意の x,y \in X に対して、 (x,y) \in R' とすると \exists n,\, \exists x_{0}, \dots, x_{n} が存在して条件を満たす。このとき、 n に関する帰納法により証明する。

  • n = 1 のとき

x_{0} = x_{1} のときは R'' が同値関係であることより (x,y) \in R'' である。 (x_{0},x_{1}) \in R \lor (x_{1}, x_{0}) \in R のときは、 R'' が R を含むことより (x,y) \in R'' が成り立つ。

  • n \gt 1 のとき

帰納法の仮定より (x_{0}, x_{n-1}) \in R'' が成り立つ。 n = 1 のときと同様の議論により、 (x_{n-1}, x_{n}) \in R'' が成り立つ。よって R'' の transitivity により、 (x,y) \in R'' が成り立つ。

\square

同値類

集合 X 上の任意の同値関係 \sim が与えられているときに、任意の x \in X に対して次にように定義される集合を x の同値類と呼びます。
\begin{equation}
[x] = \left\{ y \in X \ \middle| \ x \sim y \right\}
\end{equation}
このとき、次の事柄が成り立ちます。

Lemma
\forall x,x',y \in X,\, y \in [x \land y \in [x'] \Rightarrow [x] = [x'] ]

Proof.
y \in [x]、 y \in [x'] より x \sim y、 x' \sim y が成り立つ。すると \sim が同値関係であることから、 x \sim x' が成り立つ。
すると任意の z \in X に対して、 z \in [x] \iff x \sim z \iff x' \sim z \iff z \in [x'] が成り立つ。よって [x] = [x'] である。

\square

これは集合 X が互いに素な同値類に分解されることを示しています。

同値類と同値関係の性質

最後に基本的な事柄を確認して終わりにします。これによって、同値関係にない要素は違う同値類に属することがわかります。

Lemma
\forall x,y \in X,\, [x = [y] \iff x \sim y ]

Proof.

  • only if case

y \in [y] であるから仮定より y \in [x] が成り立つ。すると定義より x \sim y が成り立つ。

  • if case

任意の z \in X に対して、仮定と \sim が同値関係であることより、 z \in [x] \iff x \sim z \iff y \sim z \iff z \in [y] が成り立つ。よって [x] = [y] である。

\square