Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 5

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5.2 Pullbacks
- Proposition 5.5
- Exercise 3
5.3 Properties of pullbacks
5.4 Limits
- Proposition 5.14
5.6 Colimits
- Direct limits of groups
参考書籍

5.2 Pullbacks

Proposition 5.5

only if case しか証明されていないので、if case の証明を補っておきます。

$Lemma$
$(E, p_{1}, p_{2}) \text{ is a pullback of } f \text{ and } g \Rightarrow (E, \left< p_{1}, p_{2} \right>) \text{ is an equalizer of } f \circ \pi_{1} \text{ and } g \circ \pi_{2}.$

$Proof.$
任意の $z \colon Z \to A \times B$ に対して、 $f \circ \pi_{1} \circ z = g \circ \pi_{2} \circ z$ が成り立つとする。 $(E, p_{1}, p_{2})$ が pullback であることより、 $\exists !\,u \colon Z \to E$ が存在して $p_{1} \circ u = \pi_{1} \circ z$ かつ $p_{2} \circ u = \pi_{2} \circ z$ を満たす。
このとき、 $i = 1,2$ に対して、 $\pi_{i} \circ \left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u = p_{i} \circ u = \pi_{i} \circ z$ であるから、 $A \times B$ の UMP より $\left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u = z$ が成り立つ。
次に、任意の $u' \colon Z \to E$ に対して、 $\left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u' = z$ が成り立つすると、 $i = 1,2$ に対して $p_{i} \circ u' = \pi_{i} \circ \left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u' = \pi_{i} \circ z = p_{i} \circ u$ が成り立つ。よって pullback の UMP より $u' = u$ が成り立つ。

$\square$

Exercise 3

$Lemma$
$m \text{ is monic} \Rightarrow m' \text{ is monic}.$

$Proof.$
f:id:hitotakuchan:20160502130742p:plain
任意の $z_{1}, z_{2} \colon Z \to M'$ に対して、 $m' \circ z_{1} = m' \circ z_{2}$ が成り立つとする。このとき、 $m \circ f' \circ z_{1} = f \circ m' \circ z_{1} = f \circ m' \circ z_{2} = m \circ f' \circ z_{2}$ が成り立つが、 $m$ が monic であることより $f' \circ z_{1} = f' \circ z_{2}$ が成り立つ。
$M'$ が pullback であることより、 $\exists !\,z \colon Z \to M'$ が存在して、 $m' \circ z = m' \circ z_{1} = m' \circ z_{2}$ かつ $f' \circ z = f' \circ z_{1} = f' \circ z_{2}$ を満たすが、 $z_{1},z_{2}$ も diagram を可換にするので $z_{1} = z = z_{2}$ が成り立つ。よって $m'$ は monic である。

$\square$

5.3 Properties of pullbacks

Two pullbacks lemma

$Lemma$
$\text{If the two squares are pullbacks, so is the outer rectangle}.$

$Proof.$
f:id:hitotakuchan:20160503121002p:plain
任意の $x \colon Z \to A$ と $y \colon Z \to D$ に対して、 $g \circ f \circ x = h \circ y$ が成り立つとする。すると right square が pullback であることより、 $\exists !\, z' \colon Z \to E$ が存在して $g' \circ z' = y$ かつ $h' \circ z' = f \circ x$ を満たす。さらに left square が pullback であることより $\exists !\, z \colon Z \to F$ が存在して $h'' \circ z = x$ かつ $f' \circ z = z'$ を満たす。
次に、任意の $z'' \colon Z \to F$ に対して $h'' \circ z'' = x$ かつ $g' \circ f' \circ z'' = y$ が成り立つとする。 $f' \circ z''$ は $g' \circ (f' \circ z'') = y$ と $h' \circ (f' \circ z'') = f \circ h'' \circ z'' = f \circ x$ が成り立つから、right square の UMP より $f' \circ z'' = z'$ が成り立つ。すると left square の UMP より $z = z''$ が成り立つ。

$\square$

$Lemma$
$\text{If the right square and the outer rectangle are pullbacks, so is the left square}.$

$Proof.$
f:id:hitotakuchan:20160503121025p:plain
任意の $x \colon Z \to A$ と $y \colon Z \to E$ に対して、 $f \circ x = h' \circ y$ とする。 $g \circ f \circ x = g \circ h' \circ y = h \circ g' \circ y$ が成り立ち、outer rectangle が pullback であることより $\exists !\, z \colon Z \to F$ が存在して $h'' \circ z = x$ かつ $g' \circ f' \circ z = g' \circ y$ を満たす。
$h' \circ f' \circ z = f \circ h'' \circ z = f \circ x = h' \circ y$ が成り立つことと、right square が pullback であることより $f' \circ z = y$ が成り立つ。
次に、任意の $z' \colon Z \to F$ に対して $h'' \circ z' = x$ かつ $f' \circ z' = y$ が成り立つとする。すると $g' \circ f' \circ z' = g' \circ y$ が成り立つので、outer rectangle の UMP より $z = z'$ が成り立つ。

$\square$

Proposition 5.10

証明自体は難しくないので詳細は省略します。一般に pullback は up to isomorphism でしか決まりません。よって、この functor $h^{\ast}$ の存在を言うためには選択公理を仮定するか、後で出てくる skeletal という概念を用いて圏 $\bf{C}$ は skeletal であるという条件を付け加えないといけないと思います。

Example 5.13

$Lemma$
${\coprod_{j \in J} A_{\alpha(j)}} \text{ is a pullback}.$

$Proof.$
f:id:hitotakuchan:20160503141325p:plain
$\alpha'(j, a) = (\alpha(j), a)$ で定義する。 $a \in A_{\alpha(j)}$ であるから $\alpha'$ は well-defined である。
任意の $f \colon Z \to J$ と $g \colon Z \to {\coprod_{i \in I} A_{i}}$ に対して、 $\alpha \circ f = p \circ g$ が成り立つとする。このとき、任意の $z \in Z$ に対して $g(z) = (i, a)$ とするとき、 $h \colon Z \to {\coprod_{j \in J} A_{\alpha(j)}}$ を $h(z) = (f(z), a)$ で定義する。これは $\alpha(f(z)) = (\alpha \circ f)(z) = (p \circ g)(z) = i$ が成り立つので $a \in A_{\alpha(f(z))}$ となり well-defined である。また、 $(q \circ h)(z) = f(z)$ かつ $(\alpha' \circ h)(z) = (\alpha(f(z)), a) = (i, a) = g(z)$ が成り立つので、 $h$ は diagram を可換にする。
次に、任意の $h' \colon Z \to {\coprod_{j \in J} A_{\alpha(j)}}$ が $q \circ h' = f$ かつ $\alpha' \circ h' = g$ を満たすとする。任意の $z \in Z$ に対して $h'(z) = (j, b)$ とすると、 $q \circ h' = f$ より $j = f(z)$ が成り立つ。また $g(z) = (i, a)$ とすると、 $(i,a) = g(z) = (\alpha' \circ h')(z) = (\alpha(f(z)), b) = (p(g(z)), b) = (i, b)$ より $a = b$ が成り立つ。よって $h = h'$ が成り立つ。

$\square$

5.4 Limits

Proposition 5.14

上の two-pullback lemma の場合もそうでしたが、証明が easy diagram chase とだけ書かれていて省略されている場合、私の経験上全然 easy じゃないことが多いので補足しておきます。

$Lemma$
$(E,e,h) \text{ is a pullback then } (E,e) \text{ is an equalizer of } f,g.$

$Proof.$
f:id:hitotakuchan:20160506130719p:plain
初めに $\Delta$ が monic であることを示す。
任意の $x,y \colon Z \to B$ に対して、 $\Delta \circ x = \Delta \circ y$ が成り立つとする。すると $x = 1_{B} \circ x = \pi_{1} \circ \Delta \circ x = \pi_{1} \circ \Delta \circ y = 1_{B} \circ y = y$ が成り立つ。よって $\Delta$ は monic である。
次に、 $f \circ e = \pi_{1} \circ \left< f,g \right> \circ e = \pi_{1} \circ \Delta \circ h = h$ と $g \circ e = \pi_{2} \circ \left< f,g \right> \circ e = \pi_{2} \circ \Delta \circ h = h$ が成り立つので、 $f \circ e = g \circ e$ が成り立つ。
最後に、任意の $x \colon Z \to A$ に対して、 $f \circ x = g \circ x$ が成り立つとする。このとき $\pi_{1} \circ \Delta \circ f \circ x = f \circ x = \pi_{1} \circ \left< f,g \right> \circ x$ かつ $\pi_{2} \circ \Delta \circ f \circ x = f \circ x = g \circ x = \pi_{2} \circ \left< f,g \right> \circ x$ が成り立つから $B \times B$ の UMP より $\Delta \circ f \circ x = \left< f,g \right> \circ x$ が成り立つ。すると $Z$ が pullback であることより、 $\exists !\, z \colon Z \to E$ が存在して $e \circ z = x$ かつ $h \circ z = f \circ x$ を満たす。
Exercise 3 より $\Delta$ が monic なら $e$ は monic となるので $e \circ z = x$ を満たす $z$ はただ一つに決まる。よって $(E,e)$ は $f$ と $g$ の equalizer である。