Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ
- 2.1 Epis and monos
- 2.3 Generalized elements
- 2.5 Examples of products
- 2.6 Categories with products
- 参考書籍
2.1 Epis and monos
Example 2.4
poset category において、任意の
間の arrow は
ならばただ一つ存在すると定義されました。
\[ \forall f \colon p \to q,\ f \text{ is both monic and epic.} \]
が monic であること。
任意の に対して、
を示せば良いが、
から
への arrow は定義よりただ一つに決まるので、
が成り立つ。よって
は monic である。
が epic であること。
任意の に対して、
を示せば良いが、
から
への arrow は定義よりただ一つに決まるので、
が成り立つ。よって
は epic である。
a function is epic iff surjective in 
\[ \forall A,B \in Sets_{0},\ \forall f \colon A \to B,\ f \text{ is epic} \Rightarrow f \text{ is surjective.} \]
背理法により示す。 が surjective ではないと仮定すると、
が成り立つ。一方、
であるから、
が存在する。ここで function
を次のように定義する。
\[
g(b) = \begin{cases}
f(a') & b = b' \\
b & b \neq b' \\
\end{cases}
\]
明らかに が成り立つ。任意の
に対して、
より
が成り立つが、
が epic であるから
が成り立つ。これは
と矛盾する。よって
は surjective である。
\[ \forall A,B \in Sets_{0},\ \forall f \colon A \to B,\ f \text{ is surjective} \Rightarrow f \text{ is epic.} \]
任意の と任意の
に対して、
を示せばよい。そのためには、任意の
に対して、
を示せばよい。
が surjective であることより、
が成り立つので、
が成り立つ。よって
は epic である。
any epi into a projective object splits
diagram を描ければいいのですが難しそうなので、証明を読む際は手元で diagram を書きながら読んでください。
以下の証明では、任意の圏 において
を projective object であるとします。
\[ \forall e \colon E \to P,\ e \text{ is epic} \Rightarrow e \text{ splits.} \]
と
に対して、
が projective であることより、
が存在して
が成り立つ。よって
は split epi である。
any retract of a projective object is projective
\[ \forall X' \in {\bf{C}}_{0},\ X' \text{is a restract of } P \Rightarrow X' \text{ is projective.} \]
任意の epic と任意の
に対して、
を示す。
が
の rectact であることより、
が成り立つ。一方、
が projective であることより
と
に対して、
が存在して、
が成り立つ。
を
で定義すると、
が成り立つ。よって
は projective である。
2.3 Generalized elements
ultrafilter
に関する lemma
\[ F \text{ is an ultrafilter} \iff \forall b \in B,\ (b \in F \land \lnot b \notin F) \lor (b \notin F \land \lnot b \in F) \]
- only if case
任意の に対して、
とする。
とすると、
が filter であることより、
が成り立つ。よって
となるが、これは
が ultrafilter であることと矛盾する。
次に とする。このとき、
であることを背理示す。
であるとする。集合
を考え、この集合から filter
を構成する。このとき
が成り立つ。
であるとすると、
が成り立つ。つまり、
が成り立つ。よって
が成り立つが、
が filter であることより
が成り立ち、これは
と矛盾する。よって
が成り立ち、
が成り立つ。これは
が maximal であることと矛盾する。よって
が成り立つ。
- if case
が仮定を満たすような filter であるとき、
を示す。
より、
が存在する。すると
の仮定より、
が成り立つ。
より
であるから、
が成り立つ。
が filter であることより、
である。よって
となるので、
は maximal filter である。
Example 2.12
\[ \forall f,g \colon C \to D,\ f = g \iff \forall x \colon X \to C,\ f \circ x = g \circ x \]
- only if case
より
は明らかに成り立つ。
- if case
仮定が成り立つとすると、 として
を取ると
が成り立つ。
2.5 Examples of products
3
において、任意の圏
の product
が存在することを示します。証明することがたくさんあるので一つずつ確認していきましょう。
が圏であること
\[ {\bf{C}} \times {\bf{D}} \text{ is a category.} \]
、
、
、
で
を定義する。
すると圏 の性質より、
と
が associativity と unit low を満たすことは明らかである。よって
は圏となる。
が functor であること
\[ \pi_{1} \colon {\bf{C} \times \bf{D}} \to {\bf{C}}, \pi_{2} \colon {\bf{C} \times \bf{D}} \to {\bf{D}} \text{ are functors.} \]
を 任意の
と任意の
に対して、
、
で定義する。
すると、 が成り立つので、
は functor の条件 (a) を満たす。
が成り立つので、
は functor の条件 (b) を満たす。
任意の に対して、
が成り立つので、
は functor の条件 (c) を満たす。よって
は functor である。
に関しても同様である。
が product であること
\[ {\bf{C} \times \bf{D}} \text{ is a product of } {\bf{C}} \text{ and } {\bf{D}}. \]
任意の と、任意の
に対して、
を
、
で定義する。
すると、
\[
\begin{align*}
\left< F,G \right>_{1}(f \colon x \to x') &= (F_{1}(f), G_{1}(f) ) \colon (F_{0}(x), G_{0}(x) ) \to (F_{0}(x'), G_{0}(x') ) \\
&= (F_{1}(f), G_{1}(f) ) \colon \left< F,G \right>_{0}(x) \to \left< F,G \right>_{0}(x')
\end{align*}
\]
が成り立つので、 は functor の条件 (a) を満たす。
が成り立つので、
は functor の条件 (b) を満たす。
任意の に対して、
\[
\begin{align*}
\left< F,G \right>_{1}(f' \circ_{\bf{X}} f) &= (F_{1}(f' \circ_{\bf{X}} f), G_{1}(f' \circ_{\bf{X}} f) ) \\
&= (F_{1}(f') \circ_{\bf{C}} F_{1}(f), G_{1}(f') \circ_{\bf{D}} G_{1}(f) ) \\
&= (F_{1}(f'), G_{1}(f') ) \circ_{\bf{C} \times \bf{D}} (F_{1}(f), G_{1}(f) ) \\
&= \left< F,G \right>_{1}(f') \circ_{\bf{C} \times \bf{D}} \left< F,G \right>_{1}(f)
\end{align*}
\]
が成り立つので、 は functor の条件 (c) を満たす。よって
は functor である。
このとき、 と
が成り立つので、diagram は可換となる。
また、任意の に対して、
が diagram を可換とするなら、
、
が成り立つ。よって、
となり diagram を可換とする functor はただ一つに決まる。
以上より、 は
と
の product である。
product of posets constructed in 
の要素である poset それ自体を圏としてみた場合、poset 間の写像が functor であることと、monotone function であることは同一視できるのでした。よってここで確認するべきことは、先の product の定義が poset になるかどうかということです。
任意の poset 、
に対して、
は
、
で定義される。一方、Hom の定義は
と同値です。
このように に順序を入れた時に、
が poset となることは
、
がそれぞれ poset であることより明らかです。
よって、 において構成した product が
において product になることが確認できました。
の場合も同様です。
2.6 Categories with products
is a functor
\[ \times \colon {\bf{C}} \times {\bf{C}} \to {\bf{C}} \text{ is a functor.} \]
任意の product と 任意の
に対して、
を
、
で定義する。
が成り立つので、
は functor の条件 (a) を満たす。
次に、 であるが、これは定義より
、
を満たす。一方で
も
、
を満たす。よって、
の UMP より、
が成り立つので、
は functor の条件 (b) を満たす。
最後に、任意の product と
に対して、
である。これは、定義より
、
を満たす。
一方で、 に対して、
\[
\begin{align*}
r_{1} \circ ((g \times g') \circ (f \times f') ) &= (r_{1} \circ (g \times g') ) \circ (f \times f') \\
&= (g \circ q_{1}) \circ (f \times f') \\
&= g \circ (q_{1} \circ (f \times f') ) \\
&= g \circ f \circ p_{1}
\end{align*}
\]
が成り立ち、同様に が成り立つ。よって
の UMP より
が成り立つ。よって
は functor の条件 (c) を満たす。
product of
-indexed family of object 
と
の組み
が
の product であるとは、任意の
と 任意の
に対して、ただ一つの
が存在して、任意の
に対して、
が成り立つこととして定義されます。
参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)
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