Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 2

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2.1 Epis and monos
2.3 Generalized elements
- ultrafilter に関する lemma
- Example 2.12
2.5 Examples of products
- 3
2.6 Categories with products
- is a functor
- product of -indexed family of object
参考書籍

2.1 Epis and monos

Example 2.4

poset category $P$ において、任意の $p,q \in P_{0}$ 間の arrow は $p \leq q$ ならばただ一つ存在すると定義されました。

$Lemma$
\[ \forall f \colon p \to q,\ f \text{ is both monic and epic.} \] $Proof.$

$f$ が monic であること。

任意の $g,h \colon r \to p$ に対して、 $f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h$ を示せば良いが、 $r$ から $p$ への arrow は定義よりただ一つに決まるので、 $g = h$ が成り立つ。よって $f$ は monic である。

$f$ が epic であること。

任意の $g, h \colon q \to s$ に対して、 $g \circ f = h \circ f \Rightarrow g = h$ を示せば良いが、 $q$ から $s$ への arrow は定義よりただ一つに決まるので、 $g = h$ が成り立つ。よって $f$ は epic である。

$\square$

a function is epic iff surjective in $Sets$

$Lemma$
\[ \forall A,B \in Sets_{0},\ \forall f \colon A \to B,\ f \text{ is epic} \Rightarrow f \text{ is surjective.} \] $Proof.$
背理法により示す。 $f$ が surjective ではないと仮定すると、 $\exists b',\ \forall a \in A, \ f(a) \neq b'$ が成り立つ。一方、 $A \neq \emptyset$ であるから、 $\exists a' \in A$ が存在する。ここで function $g \colon B \to B$ を次のように定義する。
\[
g(b) = \begin{cases}
f(a') & b = b' \\
b & b \neq b' \\
\end{cases}
\]
明らかに $g \neq 1_{B}$ が成り立つ。任意の $a \in A$ に対して、 $(g \circ f)(a) = g(f(a)) = f(a) = (1_{B} \circ f)(a)$ より $g \circ f = 1_{B} \circ f$ が成り立つが、 $f$ が epic であるから $g = 1_{B}$ が成り立つ。これは $g \neq 1_{B}$ と矛盾する。よって $f$ は surjective である。

$\square$

$Lemma$
\[ \forall A,B \in Sets_{0},\ \forall f \colon A \to B,\ f \text{ is surjective} \Rightarrow f \text{ is epic.} \] $Proof.$
任意の $C \in Sets_{0}$ と任意の $g,h \colon B \to C$ に対して、 $g \circ f = h \circ f \Rightarrow g = h$ を示せばよい。そのためには、任意の $b \in B$ に対して、 $g(b) = h(b)$ を示せばよい。 $f$ が surjective であることより、 $\exists a,\ f(a) = b$ が成り立つので、 $g(b) = g(f(a)) = (g \circ f)(a) = (h \circ f)(a) = h(f(a)) = h(b)$ が成り立つ。よって $f$ は epic である。

$\square$

any epi into a projective object splits

diagram を描ければいいのですが難しそうなので、証明を読む際は手元で diagram を書きながら読んでください。
以下の証明では、任意の圏 $\bf{C}$ において $P$ を projective object であるとします。

$Lemma$
\[ \forall e \colon E \to P,\ e \text{ is epic} \Rightarrow e \text{ splits.} \] $Proof.$
$1_{P}$ と $e$ に対して、 $P$ が projective であることより、 $\exists \bar{1_{P}} \colon P \to E$ が存在して $e \circ \bar{1_{P}} = 1_{P}$ が成り立つ。よって $e$ は split epi である。

$\square$

any retract of a projective object is projective

$Lemma$
\[ \forall X' \in {\bf{C}}_{0},\ X' \text{is a restract of } P \Rightarrow X' \text{ is projective.} \] $Proof.$
任意の epic $e \colon E \to X$ と任意の $f \colon X' \to X$ に対して、 $\exists \bar{f} \colon X' \to E,\ e \circ \bar{f} = f$ を示す。 $X'$ が $P$ の rectact であることより、 $\exists s \colon X' \to P,\ r \colon P \to X',\ r \circ s = 1_{X'}$ が成り立つ。一方、 $P$ が projective であることより $(f \circ r) \colon P \to X$ と $e$ に対して、 $\exists \overline{f \circ r}$ が存在して、 $e \circ \overline{f \circ r} = f \circ r$ が成り立つ。 $\bar{f}$ を $\bar{f} = \overline{f \circ r} \circ s$ で定義すると、 $e \circ \overline{f \circ r} \circ s = f \circ r \circ s = f \circ 1_{X'} = f$ が成り立つ。よって $X'$ は projective である。

$\square$

2.3 Generalized elements

ultrafilter $F$ に関する lemma

$Lemma$
\[ F \text{ is an ultrafilter} \iff \forall b \in B,\ (b \in F \land \lnot b \notin F) \lor (b \notin F \land \lnot b \in F) \] $Proof.$

only if case

任意の $b$ に対して、 $b \in F$ とする。 $\lnot b \in F$ とすると、 $F$ が filter であることより、 $0 = b \land \lnot b \in F$ が成り立つ。よって $F = B$ となるが、これは $F$ が ultrafilter であることと矛盾する。
次に $b \notin F$ とする。このとき、 $\lnot b \in F$ であることを背理示す。
$\lnot b \notin F$ であるとする。集合 $F \cup \{b\}$ を考え、この集合から filter $F'$ を構成する。このとき $F \subsetneq F'$ が成り立つ。 $\lnot b \in F'$ であるとすると、 $\exists a \in F,\ a \land b \leq \lnot b$ が成り立つ。つまり、 $a \land b = 0$ が成り立つ。よって $a \leq \lnot b$ が成り立つが、 $F$ が filter であることより $\lnot b \in F$ が成り立ち、これは $\lnot b \notin F$ と矛盾する。よって $\lnot b \notin F'$ が成り立ち、 $F \subsetneq F' \subsetneq B$ が成り立つ。これは $F$ が maximal であることと矛盾する。よって $\lnot b \in F$ が成り立つ。

if case

$F$ が仮定を満たすような filter であるとき、 $\forall F',\ F' \text{ is a filter} \land F \subsetneq F' \Rightarrow F' = B$ を示す。
$F \subsetneq F'$ より、 $\exists b' \in F',\ b' \notin F$ が存在する。すると $F$ の仮定より、 $\lnot b' \in F$ が成り立つ。 $F \subsetneq F'$ より $\lnot b' \in F'$ であるから、 $b' \in F' \land \lnot b' \in F'$ が成り立つ。 $F'$ が filter であることより、 $0 = b' \land \lnot b' \in F'$ である。よって $F' = B$ となるので、 $F$ は maximal filter である。

$\square$

Example 2.12

$Lemma$
\[ \forall f,g \colon C \to D,\ f = g \iff \forall x \colon X \to C,\ f \circ x = g \circ x \] $Proof.$

only if case

$f = g$ より $f \circ x = g \circ x$ は明らかに成り立つ。

if case

仮定が成り立つとすると、 $x$ として $1_{C}$ を取ると $f = f \circ 1_{C} = g \circ 1_{C} = g$ が成り立つ。

$\square$

2.5 Examples of products

3

$\bf{Cat}$ において、任意の圏 $\bf{C}, \bf{D}$ の product $\bf{C} \times \bf{D}$ が存在することを示します。証明することがたくさんあるので一つずつ確認していきましょう。

$\bf{C} \times \bf{D}$ が圏であること

$Lemma$
\[ {\bf{C}} \times {\bf{D}} \text{ is a category.} \] $Proof.$
$({\bf{C}} \times {\bf{D}})_{0} = \left\{ (c,d)\ \middle| \ c \in {\bf{C}}_{0},\,d \in {\bf{D}}_{0} \right\}$ 、 $\text{Hom}_{\bf{C} \times \bf{D}}((c,d),(c',d') ) = \left\{ (f,g)\ \middle| \ f \in \text{Hom}_{\bf{C}}(c,c'),\, g \in \text{Hom}_{\bf{D}}(d,d') \right\}$ 、 $(f', g') \circ_{\bf{C} \times \bf{D}} (f,g) = (f' \circ_{\bf{C}} f, g' \circ_{\bf{D}} g)$ 、 $1_{(c,d)} = (1_{c}, 1_{d})$ で ${\bf{C}} \times {\bf{D}}$ を定義する。
すると圏 $\bf{C}, \bf{D}$ の性質より、 $\circ_{\bf{C} \times \bf{D}}$ と $1_{(c,d)}$ が associativity と unit low を満たすことは明らかである。よって $\bf{C} \times \bf{D}$ は圏となる。

$\square$

$\pi_{1}, \pi_{2}$ が functor であること

$Lemma$
\[ \pi_{1} \colon {\bf{C} \times \bf{D}} \to {\bf{C}}, \pi_{2} \colon {\bf{C} \times \bf{D}} \to {\bf{D}} \text{ are functors.} \] $Proof.$
$\pi_{1}$ を任意の $(c,d) \in ({\bf{C} \times \bf{D}}_{0})$ と任意の $(f,g) \colon (c,d) \to (c',d')$ に対して、 $\pi_{1_{0}}((c,d) ) = c$ 、 $\pi_{1_{1}}((f,g) ) = f$ で定義する。
すると、 $\pi_{1_{1}}((f,g) \colon (c,d) \to (c',d') ) = f \colon c \to c' = f \colon \pi_{1_{0}}(c,d) \to \pi_{1_{0}}(c',d')$ が成り立つので、 $\pi_{1}$ は functor の条件 (a) を満たす。
$\pi_{1_{1}}(1_{(c,d)}) = \pi_{1_{1}}((1_{c},1_{d}) ) = 1_{c} = 1_{\pi_{1_{0}}((c,d) )}$ が成り立つので、 $\pi_{1}$ は functor の条件 (b) を満たす。
任意の $(f',g') \colon (c',d') \to (c'',d'')$ に対して、 $\pi_{1_{1}}((f',g') \circ_{\bf{C} \times \bf{D}} (f,g) ) = \pi_{1_{1}}((f' \circ_{\bf{C}} f, g' \circ_{\bf{D}} g) ) = f' \circ_{\bf{C}} f = \pi_{1_{1}}((f',g') ) \circ_{\bf{C}} \pi_{1_{1}}((f, g) )$ が成り立つので、 $\pi_{1}$ は functor の条件 (c) を満たす。よって $\pi_{1}$ は functor である。
$\pi_{2}$ に関しても同様である。

$\square$

$\bf{C} \times \bf{D}$ が product であること

$Lemma$
\[ {\bf{C} \times \bf{D}} \text{ is a product of } {\bf{C}} \text{ and } {\bf{D}}. \] $Proof.$
任意の $\bf{X}$ と、任意の $F \colon {\bf{X}} \to {\bf{C}},G \colon {\bf{X}} \to {\bf{D}}$ に対して、 $\left< F,G \right> \colon {\bf{X}} \to {\bf{C} \times \bf{D}}$ を $\left< F,G \right>_{0}(x) = (F_{0}(x), G_{0}(x) )$ 、 $\left< F,G \right>_{1}(f) = (F_{1}(f), G_{1}(f) )$ で定義する。
すると、
\[
\begin{align*}
\left< F,G \right>_{1}(f \colon x \to x') &= (F_{1}(f), G_{1}(f) ) \colon (F_{0}(x), G_{0}(x) ) \to (F_{0}(x'), G_{0}(x') ) \\
&= (F_{1}(f), G_{1}(f) ) \colon \left< F,G \right>_{0}(x) \to \left< F,G \right>_{0}(x')
\end{align*}
\]
が成り立つので、 $\left< F,G \right>$ は functor の条件 (a) を満たす。
$\left< F,G \right>_{1}(1_{x}) = (F_{1}(1_{x}), G_{1}(1_{x}) ) = (1_{F_{0}(x)}, 1_{G_{0}(x)}) = 1_{\left< F,G \right>_{0}(x)}$ が成り立つので、 $\left< F,G \right>$ は functor の条件 (b) を満たす。
任意の $f \colon x \to x', f' \colon x' \to x''$ に対して、
\[
\begin{align*}
\left< F,G \right>_{1}(f' \circ_{\bf{X}} f) &= (F_{1}(f' \circ_{\bf{X}} f), G_{1}(f' \circ_{\bf{X}} f) ) \\
&= (F_{1}(f') \circ_{\bf{C}} F_{1}(f), G_{1}(f') \circ_{\bf{D}} G_{1}(f) ) \\
&= (F_{1}(f'), G_{1}(f') ) \circ_{\bf{C} \times \bf{D}} (F_{1}(f), G_{1}(f) ) \\
&= \left< F,G \right>_{1}(f') \circ_{\bf{C} \times \bf{D}} \left< F,G \right>_{1}(f)
\end{align*}
\]
が成り立つので、 $\left< F,G \right>$ は functor の条件 (c) を満たす。よって $\left< F,G \right>$ は functor である。
このとき、 $\pi_{1_{0}} \circ \left< F,G \right>_{0} = F_{0},\ \pi_{1_{1}} \circ \left< F,G \right>_{1} = F_{1}$ と $\pi_{2_{0}} \circ \left< F,G \right>_{0} = G_{0},\ \pi_{2_{1}} \circ \left< F,G \right>_{1} = G_{1}$ が成り立つので、diagram は可換となる。
また、任意の $H \colon X \to {\bf{C} \times \bf{D}}$ に対して、 $H$ が diagram を可換とするなら、 $H_{0}(x) = (F_{0}(x), G_{0}(x) )$ 、 $H_{1}(f) = (F_{1}(f), G_{1}(f) )$ が成り立つ。よって、 $H = \left< F,G \right>$ となり diagram を可換とする functor はただ一つに決まる。
以上より、 $\bf{C} \times \bf{D}$ は $\bf{C}$ と $\bf{D}$ の product である。

$\square$

product of posets constructed in $\bf{Cat}$

$\bf{Pos}$ の要素である poset それ自体を圏としてみた場合、poset 間の写像が functor であることと、monotone function であることは同一視できるのでした。よってここで確認するべきことは、先の product の定義が poset になるかどうかということです。
任意の poset $P$ 、 $Q$ に対して、 $P \times Q$ は $(P \times Q)_{0} = \left\{ (p,q)\ \middle| \ p \in P,\, q \in Q \right\}$ 、 $\text{Hom}_{P \times Q}((p,q), (p',q') ) = \left\{ (f,g)\ \middle| \ f \in \text{Hom}_{P}(p,p'),\, q \in \text{Hom}_{Q}(q,q') \right\}$ で定義される。一方、Hom の定義は $(p,p') \leq (q,q') \iff p \leq p' \land q \leq q'$ と同値です。
このように $P \times Q$ に順序を入れた時に、 $P \times Q$ が poset となることは $P$ 、 $Q$ がそれぞれ poset であることより明らかです。
よって、 $\bf{Cat}$ において構成した product が $\bf{Pos}$ において product になることが確認できました。
$\bf{Mon}$ の場合も同様です。

2.6 Categories with products

$\times \colon \bf{C} \times \bf{C} \to \bf{C}$ is a functor

$Lemma$
\[ \times \colon {\bf{C}} \times {\bf{C}} \to {\bf{C}} \text{ is a functor.} \] $Proof.$
任意の product $(A \times A', p_{1}, p_{2}),\,(B \times B', q_{1}, q_{2})$ と任意の $f \colon A \to B, f' \colon A' \to B'$ に対して、 $\times \colon \bf{C} \times \bf{C} \to \bf{C}$ を $\times_{0}((A,A') ) = A \times A'$ 、 $\times_{1}((f, f') ) = f \times f'$ で定義する。
$\times_{1}((f,f') \colon (A,A') \to (B,B') ) = f \times f' \colon A \times A' \to B \times B' = f \times f' \colon \times_{0}((A,A') ) \to \times_{0}((B,B') )$ が成り立つので、 $\times$ は functor の条件 (a) を満たす。
次に、 $\times_{1}((1_{A},1_{A'}) ) = 1_{A} \times 1_{A'}$ であるが、これは定義より $p_{1} \circ (1_{A} \times 1_{A'}) = 1_{A} \circ p_{1}$ 、 $p_{2} \circ (1_{A} \times 1_{A'}) = 1_{A'} \circ p_{2}$ を満たす。一方で $1_{A \times A'}$ も $p_{1} \circ 1_{A \times A'} = 1_{A} \circ p_{1}$ 、 $p_{2} \circ 1_{A \times A'} = 1_{A'} \circ p_{2}$ を満たす。よって、 $A \times A'$ の UMP より、 $1_{A} \times 1_{A'} = 1_{A \times A'}$ が成り立つので、 $\times$ は functor の条件 (b) を満たす。
最後に、任意の product $(C \times C', r_{1}, r_{2})$ と $g \colon B \to C, g' \colon B' \to C'$ に対して、 $\times_{1}((g,g') \circ (f,f') ) = \times_{1}((g \circ f, g' \circ f') ) = (g \circ f) \times (g' \circ f')$ である。これは、定義より $r_{1} \circ ((g \circ f) \times (g' \circ f') ) = g \circ f \circ p_{1}$ 、 $r_{2} \circ ((g \circ f) \times (g' \circ f') ) = g' \circ f' \circ p_{2}$ を満たす。
一方で、 $(g \times g') \circ (f \times f')$ に対して、
\[
\begin{align*}
r_{1} \circ ((g \times g') \circ (f \times f') ) &= (r_{1} \circ (g \times g') ) \circ (f \times f') \\
&= (g \circ q_{1}) \circ (f \times f') \\
&= g \circ (q_{1} \circ (f \times f') ) \\
&= g \circ f \circ p_{1}
\end{align*}
\]
が成り立ち、同様に $r_{2} \circ ((g \times g') \circ (f \times f') ) = g' \circ f' \circ p_{2}$ が成り立つ。よって $C \times C'$ の UMP より $(g \circ f) \times (g' \circ f') = (g \times g') \circ (f \times f') = \times_{1}((g,g') ) \circ \times_{1}((f,f') )$ が成り立つ。よって $\times$ は functor の条件 (c) を満たす。

$\square$

product of $I$ -indexed family of object $(X_{i})_{i \in I}$

$\prod_{i \in I} X_{i}$ と $(\pi_{i} \colon \prod_{i \in I} X_{i} \to X_{i})_{i \in I}$ の組み $(\prod_{i \in I} X _{i}, (\pi_{i})_{i \in I})$ が $(X_{i})_{i \in I}$ の product であるとは、任意の $Y$ と任意の $(f_{i} \colon Y \to X_{i})_{i \in I}$ に対して、ただ一つの $f \colon Y \to \prod_{i \in I} X_{i}$ が存在して、任意の $i \in I$ に対して、 $\pi_{i} \circ f = f_{i}$ が成り立つこととして定義されます。