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Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 10

Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ

10.2 Monads and adjoints

Example 10.5

Exercise 6 と同様の表記を採用すると、任意の  f \colon X \to Y と任意の  U \in \mathcal{P}(X) に対して  \mathcal{P}(f)(U) = \left\{ f(x) \in Y \,\middle|\, x \in U \right\} と表せる。また任意の  \alpha \in \mathcal{PP}(X) に対して  \bigcup(\alpha) = \left\{ x \in X \,\middle|\, \exists U \in \alpha,\, x \in U \right\} と表せることに注意して以下を証明する。

 Lemma
\[ (\mathcal{P}, \{-\}, \bigcup) \text{ is a monad on } {\bf{Sets}}. \] Proof.

  •  \eta \colon 1 \to \mathcal{P} が natural であること

任意の  f \colon X \to Y に対して以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161102131405p:plain

すると、任意の  x \in X に対して  \left( \mathcal{P}(f) \circ \eta_{X} \right)(x) = \left\{ f(x) \right\} = \left( \eta_{Y} \circ f \right)(x) が成り立つ。よって diagram は可換になる。

  •  \mu \colon \mathcal{PP} \to \mathcal{P} が natural であること

任意の  f \colon X \to Y に対して以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161102132128p:plain

任意の  \alpha \in \mathcal{PP}(X) に対して
\[\begin{align*}
\left( \mathcal{P}(f) \circ \mu_{X} \right)(\alpha) &= \mathcal{P}(f) \left( \left\{ x \in X \,\middle|\, \exists U \in \alpha,\, x \in U \right\} \right) \\
&= \left\{ f(x) \in Y \,\middle|\, \exists U \in \alpha,\, x \in U \right\}
\end{align*}\]
が成り立つ。一方、
\[\begin{align*}
\left( \mu_{Y} \circ \mathcal{PP}(f) \right)(\alpha) &= \mu_{Y} \left( \left\{ \mathcal{P}(f)(U) \,\middle|\, U \in \alpha \right\} \right) \\
&= \left\{ y \in Y \,\middle|\, \exists U' \in \left\{ \mathcal{P}(f)(U) \,\middle|\, U \in \alpha \right\},\, y \in U' \right\} \\
&= \left\{ y \in Y \,\middle|\, \exists U \in \alpha,\, y \in \mathcal{P}(f)(U) \right\} \\
&= \left\{ y \in Y \,\middle|\, \exists U \in \alpha,\, y \in \left\{ f(x) \in Y \,\middle|\, x \in U \right\} \right\} \\
&= \left\{ f(x) \in Y \,\middle|\, \exists U \in \alpha,\, x \in U \right\}
\end{align*}\]
が成り立つ。よって diagram は可換になる。

  • 結合則を満たすこと

任意の  X \in {\bf{Sets}} に対して以下の diagram が可換になることを示せばよい。
f:id:hitotakuchan:20161103072530p:plain

任意の  \beta \in \mathcal{PPP}(X) に対して
\[\begin{align*}
\left( \mu_{X} \circ \mathcal{P}\mu_{X} \right)(\beta) &= \mu_{X} \left( \left\{ \mu_{X}(\alpha) \,\middle|\, \alpha \in \beta \right\} \right) \\
&= \left\{ x \in X \,\middle|\, \exists U \in \left\{ \mu_{X}(\alpha) \,\middle|\, \alpha \in \beta \right\},\, x \in U \right\} \\
&= \left\{ x \in X \,\middle|\, \exists \alpha \in \beta,\, x \in \mu_{X}(\alpha) \right\} \\
&= \left\{ x \in X \,\middle|\, \exists \alpha \in \beta,\, U \in \alpha,\, x \in U \right\}
\end{align*}\]
が成り立つ。一方、
\[\begin{align*}
\left( \mu_{X} \circ \mu_{\mathcal{P}X} \right)(\beta) &= \mu_{X} \left( \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\middle|\, \exists \alpha \in \beta,\, U \in \alpha \right\} \right) \\
&= \left\{ x \in X \,\middle|\, \exists U' \in \left\{ U \in \mathcal{P}(X) \,\middle|\, \exists \alpha \in \beta,\, U \in \alpha \right\},\, x \in U' \right\} \\
&= \left\{ x \in X \,\middle|\, \exists \alpha \in \beta,\, U \in \alpha,\, x \in U \right\}
\end{align*}\]
が成り立つので diagram は可換になる。

  • 単位則を満たすこと

任意の  X \in {\bf{Sets}} に対して以下の diagram が可換になることを示せばよい。
f:id:hitotakuchan:20161103074643p:plain

任意の  U \in \mathcal{P}(X) に対して左の triangle に関して
\[\begin{align*}
\left( \mu_{X} \circ \eta_{\mathcal{P}X} \right)(U) &= \mu_{X} \left( \left\{ U \right\} \right) \\
&= \left\{ x \in X \,\middle|\, \exists U' \in \left\{ U \right\},\, x \in U' \right\} \\
&= U
\end{align*}\]
が成り立つ。次に右の triangle に関して
\[\begin{align*}
\left( \mu_{X} \circ \mathcal{P}\mu_{X} \right)(U) &= \mu_{X} \left( \left\{ \left\{ x \right\} \,\middle|\, x \in U \right\} \right) \\
&= \left\{ x' \in X \,\middle|\, \exists U' \in \left\{ \left\{ x \right\} \,\middle|\, x \in U \right\},\, x' \in U' \right\} \\
&= \left\{ x \in X \,\middle|\, x \in U \right\} \\
&= U
\end{align*}\]
が成り立つので diagram は可換になる。

 \square

10.3 Algebras for a monad

Example 10.7

free monoid adjunction に対する monad を  (T, \eta, \mu) とすると、 {\bf{Mon}} \cong {\bf{Sets}}^{T} が成り立つことを示します。

 Lemma
\[ {\bf{Mon}} \cong {\bf{Sets}}^{T} \] Proof.
はじめに  \Phi \colon {\bf{Mon}} \to {\bf{Sets}}^{T} を定義する。
任意の monoid  (M, u_{M}, \cdot_{M}) に対して  \Phi\left( (M, u_{M}, \cdot_{M}) \right) = (M, \alpha) と定義する。ただし  \alpha \alpha( [ m_{1}, \dots , m_{n}] ) = m_1 \cdot_{M} \dots \cdot_{M} m_{n} を満たす関数とする。このとき書籍にあるように  (M, \alpha) T-algebra となる。
また任意の monoid homomorphism  h \colon (M, u_{M}, \cdot_{M}) \to (N, u_{N}, \cdot_{N}) に対して以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161106133829p:plain

任意の  [m_{1}, \dots, m_{n}] \in TM に対して  (\beta \circ Th)( [m_{1}, \dots, m_{n}] ) = h(m_{1}) \cdot_{N} \dots \cdot_{N} h(m_{n}) が成り立つ。一方、 (h \circ \alpha)([m_{1}, \dots, m_{n}]) = h(m_{1} \cdot_{M} \dots \cdot_{M} m_{n}) が成り立つが  h が monoid homomorphism であることから両者は等しい。
そこで  \Phi(h) = h \colon (M, \alpha) \to (N, \beta) で定義する。すると  \Phi が functor の条件を満たすことは明らかである。

次に  \Psi \colon {\bf{Sets}}^{T} \to {\bf{Mon}} を定義する。
任意の  (A, \alpha) に対して  u_{A} = \alpha([]) \cdot_{A} = \alpha([-,-]) とするとき、 \Psi\left( (A, \alpha) \right) = (A, u_{A}, \cdot_{A}) で定義する。このとき  (A, u_{A}, \cdot_{A}) が monoid となることを示す。
任意の  a,b,c \in A に対して
\[\begin{align*}
a \cdot_{A} (b \cdot_{A} c) &= \alpha \left( \left[ a, \alpha( [b, c] ) \right] \right) \\
&= \alpha \left( \left[ \alpha([a]), \alpha( [ b, c ] ) \right] \right) \\
&= ( \alpha \circ T\alpha) \left( \left[ [ a ], [b, c] \right] \right) \\
&= (\alpha \circ \mu) \left( \left[ [ a ], [b, c] \right] \right) \\
&= \alpha \left( [ a, b, c ] \right)
\end{align*}\]
一方、
\[\begin{align*}
(a \cdot_{A} b) \cdot_{A} c &= \alpha \left( \left[ \alpha( [a, b]), c \right] \right) \\
&= \alpha \left( \left[ \alpha( [a, b]), \alpha([c]) \right] \right) \\
&= (\alpha \circ T\alpha) \left( \left[ [a, b], [c] \right] \right) \\
&= (\alpha \circ \mu) \left( \left[ [a, b], [c] \right] \right) \\
&= \alpha \left([a, b, c] \right)
\end{align*}\]
が成り立つので、 \cdot_{A} は結合則を満たす。また
\[\begin{align*}
u_{A} \cdot_{A} a &= \alpha \left( \left[ \alpha([]), a \right] \right) \\
&= \alpha \left( \left[ \alpha([ ]), \alpha([a]) \right] \right) \\
&= (\alpha \circ T\alpha) \left( \left[ [ ], [a] \right] \right) \\
&= (\alpha \circ \mu) \left( \left[ [ ], [a] \right] \right) \\
&= \alpha ([a]) \\
&= a
\end{align*}\]
が成り立つ。同様に  a \cdot_{A} u_{A} = a が成り立つので  \cdot_{A} は 単位則を満たす。以上より  (A, u_{A}, \cdot_{A}) は monoid となる。
また任意の  h \colon (A, \alpha) \to (B, \beta) と任意の  a, b \in A に対して、
\[\begin{align*}
h(a \cdot_{A} b) &= h \left( \alpha([ a,b]) \right) \\
&= (h \circ \alpha)([a, b]) \\
&= (\beta \circ Th)([a,b]) \\
&= h(a) \cdot_{B} h(b)
\end{align*}\]
が成り立ち、同様に  h(u_{A}) = u_{B} が成り立つので、 h は monoid homomorphism となる。そこで  \Psi(h) = h \colon (A, u_{A}, \cdot_{A}) \to (B, u_{B}, \cdot_{B}) とすれば  \Psi は明らかに functor の条件を満たす。

最後に、 \Psi \circ \Phi = 1_{\bf{Mon}} かつ  \Phi \circ \Psi = 1_{{\bf{Sets}}^{T}} が成り立つので  {\bf{Mon}} \cong {\bf{Sets}}^{T} が成り立つ。

 \square

10.4 Comonads and coalgebras

任意のadjoint pair  F \dashv U に対して unit を  \eta \colon 1_{\bf{C}} \to UF、counit を  \epsilon \colon FU \to 1_{\bf{D}} とするとき、 (G = FU, \epsilon, \delta = F\eta_{U}) が comonad となることを確認します。

 Lemma
\[ (G, \epsilon, \delta) \text{ is a comonad}. \] Proof.
10.2 節と同様に証明する。

  • coassociativity law が成り立つこと

任意の  f \colon X \to Y \in {\bf{C}} に対して  \eta が natural であることより、以下の diagram が可換になる。
f:id:hitotakuchan:20161107125109p:plain

 Y UFX f \eta_{X} で置き換えると、以下の diagram を得る。
f:id:hitotakuchan:20161107125424p:plain

 X UD として、全体に  F を適用すると以下の diagram を得る。
f:id:hitotakuchan:20161107125820p:plain

記号を置き換えると以下の diagram が可換となる。
f:id:hitotakuchan:20161107130311p:plain

  • counit law が成り立つこと

次の diagram が可換になることを示せばよいが、これは triangle identities より明らかである。
f:id:hitotakuchan:20161107131043p:plain

 \square

10.5 Algebras for endofunctors

Lemma 10.10

任意の endofunctor  P \colon \mathcal{S} \to \mathcal{S} に関して次の事柄が成り立つことを証明します。

 Lemma
\[ i \colon P(I) \to I \text{ is an initial } P\text{-algebra} \Rightarrow i \text{ is an isomorphism}. \] Proof.
 i が initial  P-algebra であることより、次の diagram が可換となるような  j \colon I \to P(I) がただ一つ存在する。
f:id:hitotakuchan:20161108142551p:plain

そこで以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161108142956p:plain

明らかに diagram は可換になるので、 i が initial であることより  i \circ j = 1_{I} が成り立つ。
そこでもう一度以下の diagram を考えると
f:id:hitotakuchan:20161108142551p:plain

 j \circ i = P(i) \circ P(j) = P(1_{I}) = 1_{P(I)} が成り立つ。よって  i は isomorphism である。

 \square

Corollary 10.13

任意の polynomial functor  P \colon {\bf{Sets}} \to {\bf{Sets}} \omega-colimit を保存することを証明します。

 Lemma
\[ P \text{ preserves } \omega \text{-colimits}. \] Proof.
index category  \omega に対しては
\[ \varinjlim_{n} \dashv \Delta_{n} \dashv \varprojlim_{n} \]
が成り立つこと、また、任意の集合  J に対しては
\[ \sum_{J} \dashv \Delta_{J} \dashv \prod_{J} \]
が成り立つことに注意する。
polynomial functor  P P(X) = \sum_{i \in I} C_{i} \times X^{B_{i}} で表すと、任意の  D \colon \omega \to \mathcal{S} に対して、証明するべきことは  P \left( \varinjlim_{n} D_{n} \right) = \sum_{I} C_{i} \times \left( \varinjlim_{n} D_{n} \right)^{B_{i}} \cong \varinjlim_{n} \left( \sum_{I} C_{i} \times D_{n}^{B_{i}} \right) = \varinjlim_{n} P(D_{n}) である。
任意の  X \in \mathcal{S} に対して
\[\begin{align*}
\text{Hom}\left( \sum_{I} C_{i} \times \left( \varinjlim_{n} D_{n} \right)^{B_{i}}, X \right) &\cong \text{Hom} \left( C_{i} \times \left(\varinjlim_{n} D_{n} \right)^{B_{i}}, \Delta_{I} X \right) \\
&\cong \text{Hom} \left( \left(\varinjlim_{n} D_{n} \right)^{B_{i}}, \Delta_{I} X^{C_{i}} \right) \\
&= \text{Hom} \left( \Delta_{B_{i}} \varinjlim_{n} D_{n}, \Delta_{I} X^{C_{i}} \right) \\
&\cong \text{Hom} \left( \varinjlim_{n} D_{n}, \prod_{B_{i}} \Delta_{I} X^{C_{i}} \right) \\
&\cong \varprojlim_{n} \text{Hom} \left( D_{n}, \prod_{B_{i}} \Delta_{I} X^{C_{i}} \right) \\
&\cong \varprojlim_{n} \text{Hom} \left( \Delta_{B_{i}} D_{n}, \Delta_{I} X^{C_{i}} \right) \\
&= \varprojlim_{n} \text{Hom} \left( D_{n}^{B_{i}}, \Delta_{I} X^{C_{i}} \right) \\
&\cong \varprojlim_{n} \text{Hom} \left( C_{i} \times D_{n}^{B_{i}}, \Delta_{I} X \right) \\
&\cong \varprojlim_{n} \text{Hom} \left( \sum_{I} C_{i} \times D_{n}^{B_{i}}, X \right) \\
&\cong \text{Hom} \left( \varinjlim_{n} \left( \sum_{I} C_{i} \times D_{n}^{B_{i}} \right), X \right) \\
\end{align*}\]
が成り立つ。これらの同型射は adjoint pair の同型射であるから Chapter8 で証明した内容と合わせると  X に関して natural である。
よって米田の補題より  \sum_{I} C_{i} \times \left( \varinjlim_{n} D_{n} \right)^{B_{i}} \cong \varinjlim_{n} \left( \sum_{I} C_{i} \times D_{n}^{B_{i}} \right) が成り立つ。

 \square

参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

圏論 原著第2版

圏論 原著第2版

Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 9

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9.1 Preliminary definition

Example 9.3

 F \colon {\bf{Pos}} \to \mathcal{C}{\bf{Pos}} F_{0}(P) = \left\{ U \subseteq P \ \middle| \ p' \leq p \in U \text{ implies } p' \in U \right\} で定義した時、 F が forgetful functor  U の left adjoint となることを証明します。はじめに  F_{0} の定義が well-defined であることを証明します。

 Lemma
\[ F_{0} \text{ is well-defined}. \] Proof.
任意の  P \in {\bf{Pos}} に対して  F_{0}(P) が cocomplete poset となることを示せばよい。 F_{0}(P) \subseteq を順序として入れると poset になることは明らかであるから、  F_{0}(P) が cocomplete になることを示す。
任意の index set  I に対して  \bigcup_{i \in I} U_{i} \in F_{0}(P) となることを示せばよい。任意の  a \in \bigcup_{i \in I} U_{i} と任意の  a' \leq a に対して  a \in \bigcup_{i \in I} U_{i} より  \exists i \in I,\ a \in U_{i} が成り立つ。 U_{i} \in F_{0}(P) であるから、 F_{0}(P) の定義より  a' \in U_{i} が成り立つ。よって  a' \in \bigcup_{i \in I} U_{i} が成り立つので  \bigcup_{i \in I} U_{i} \in F_{0}(P) が成り立つ。

 \square

次に、任意の  f \colon P \to Q \in {\bf{Pos}} に対して  F_{1}(f) を定義する必要があります。その前に、任意の  p \in P に対して  p\!\downarrow p\!\downarrow \,= \left\{ p' \in P \ \middle|\ p' \leq p \right\} と定義するとき、次のことが成り立つことを証明します。

 Lemma
\[ U \in F_{0}(P) \Rightarrow U = \bigcup_{p \in U} p\!\downarrow \] Proof.
任意の  a \in U に対して  a \in a\!\downarrow であるから  a \in \bigcup_{p \in U} p\!\downarrow が成り立つ。
逆に  a \in \bigcup_{p \in U} p\!\downarrow とすると  \exists p,\ a \in p\!\downarrow が成り立つので  a \leq p が成り立つ。すると  U \in F_{0}(P) であることから  a \in U が成り立つ。

 \square

上の事実をもとに、任意の  f \colon P \to Q \in {\bf{Pos}} と任意の  U \in F_{0}(P) に対して  F_{1}(f) F_{1}(f)(U) = F_{1}(f)\left( \bigcup_{p \in U} p\!\downarrow \right) = \bigcup_{p \in U} f(p)\!\downarrow で定義します。このとき  F_{1} が well-defined であることを証明します。

 Lemma
\[ F_{1} \text{ is well-defined}. \] Proof.
任意の  f \colon P \to Q と任意の  U \in F_{0}(P) に対して  F_{1}(f)(U) = \bigcup_{p \in U} f(p)\!\downarrow \in F_{0}(Q) となることを示せばよい。
任意の  q \in \bigcup_{p \in U} f(p)\!\downarrow と任意の  q' \leq q に対して、 \exists p \in U,\ q \in f(p)\!\downarrow が成り立つから、 q' \leq q なら  q' \in f(p)\!\downarrow となり  q' \in \bigcup_{p \in U} f(p)\!\downarrow が成り立つ。よって  \bigcup_{p \in U} f(p)\!\downarrow \in F_{0}(Q) である。

 \square

このとき、証明は省略しますが  F \colon {\bf{Pos}} \to \mathcal{C}{\bf{Pos}} は functor の条件 (a), (b), (c) を満たすので functor となります。

次に  F が forgetful functor  U の left adjoint となることを証明します。はじめに、任意の  f \colon P \to U(\mathcal{C}) に対して  \overline{f} \colon F(P) \to \mathcal{C} を任意の  U \in F(P) に対して  \overline{f}(U) = \bigvee_{p \in U} f(p) で定義します。このとき  \overline{f} が monotone かつ cocontinuous であることを証明します。

 Lemma
\[ \overline{f} \text{ is monotone and cocontinuous}. \] Proof.

  • monotone であること

任意の  U' \subseteq U に対して  \bigvee_{p' \in U'} f(p') \leq \bigvee_{p \in U} f(p) を示せばよい。任意の  p' \in U' に対して  p' \in U であるから、 f(p') \leq \bigvee_{p \in U} f(p) が成り立つので colimit の UMP より  \bigvee_{p' \in U'} f(p') \leq \bigvee_{p \in U} f(p) が成り立つ。

  • cocontinuous であること

任意の index set  I に対して  \overline{f}\left( \bigcup_{i \in I} U_{i} \right) = \bigvee_{i \in I} \overline{f}(U_{i}) が成り立つことを示せばよい。定義よりこれは  \bigvee_{a \in \bigcup_{i \in I} U_{i}} f(a) = \bigvee_{i \in I} \bigvee_{a \in U_{i}} f(a) と同値である。
任意の  a \in \bigcup_{i \in I} U_{i} に対して  f(a) \leq \bigvee_{i \in I} \bigvee_{a \in U_{i}} f(a) が成り立つので、colimit の UMP より  \bigvee_{a \in \bigcup_{i \in I} U_{i}} f(a) \leq \bigvee_{i \in I} \bigvee_{a \in U_{i}} f(a) が成り立つ。
一方、任意の  i \in I と任意の  a \in U_{i} に対して  f(a) \leq \bigvee_{a \in \bigcup_{i \in I} U_{i}} f(a) が成り立つので、colimit の UMP より  \bigvee_{i \in I} \bigvee_{a \in U_{i}} f(a) \leq \bigvee_{a \in \bigcup_{i \in I} U_{i}} f(a) が成り立つ。

 \square

次に  \eta \colon 1_{\bf{Pos}} \to U \circ F \eta_{P}(p) = p\!\downarrow で定義します。このとき  \eta が natural transformation になることを証明します。

 Lemma
\[ \eta \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
任意の  f \colon P \to Q に対して以下の diagram が可換になることを示せばよい。
f:id:hitotakuchan:20160902093405p:plain
これは任意の  p \in P に対して  f(p)\!\downarrow\, = \bigcup_{p' \in p\downarrow} f(p')\!\downarrow が成り立つことと同値である。

  • only if case

 q \in f(p)\!\downarrow とすると、 q \leq f(p) が成り立つ。すると  p \in p\!\downarrow であるから  q \in \bigcup_{p' \in p\downarrow} f(p)\!\downarrow となる。

  • if case

 q \in \bigcup_{p \in p\downarrow} f(p)\!\downarrow とすると、ある  p' \in p\!\downarrow が存在して  q \in f(p')\!\downarrow が成り立つ。  f は monotone であるから  q \leq f(p') \leq f(p) が成り立つので、 q \in f(p)\!\downarrow が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ U(\overline{f}) \circ \eta_{P} = f \] Proof.
任意の  p \in P に対して  \bigvee_{p' \in p\downarrow} f(p') = f(p) となることを示せばよい。
 p \in p\!\downarrow より  f(p) \leq \bigvee_{p' \in p\downarrow} f(p') となることは明らかである。逆に、任意の  p' \in p\!\downarrow とすると  p' \leq p であり、 f が monotone であるから  f(p') \leq f(p) が成り立つ。よって colimit の UMP より  \bigvee_{p' \in p\!\downarrow} f(p') \leq f(p) が成り立つ。

 \square

最後に  \overline{f} の唯一性について証明する。

 Lemma
\[ \forall g \colon F(P) \to \mathcal{C},\ U(g) \circ \eta_{P} = f \Rightarrow g = \overline{f} \] Proof.
任意の  U \in F(P) に対して  U = \bigcup_{p \in U} p\!\downarrow が成り立つことと  g が cocontinuous であることに注意すると、
\[\begin{align*}
g(U) &= g\left( \bigcup_{p \in U} p\!\downarrow \right) \\
&= \bigvee_{p \in U} g(p\!\downarrow) \\
&= \bigvee_{p \in U} f(p) \\
&= \overline{f}(U)
\end{align*}\]
が成り立つ。

 \square

9.2 Hom-set definition

 \eta_{C} = \phi(1_{FC}) で定義された  \eta \colon 1_{\bf{C}} \to U \circ F が natural transformation であることを証明します。

 Lemma
\[ \eta \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
任意の  h \colon C' \to C に対して以下の diagram が可換になることを示せばよい。
f:id:hitotakuchan:20160905110844p:plain
 \phi が natural であることから以下の diagram が可換になることに注意すると、
f:id:hitotakuchan:20160905112152p:plain
\[\begin{align*}
UF(h) \circ \eta_{C'} &= UF(h) \circ \phi_{C', FC'}(1_{FC'}) \\
&= \left( UF(h)_{\ast} \circ \phi_{C', FC'} \right)(1_{FC'}) \\
&= \left( \phi_{C', FC} \circ F(h)_{\ast} \right)(1_{FC'}) \\
&= \phi_{C', FC}\left( F(h) \right) \\
&= \phi_{C', FC} \left( 1_{FC} \circ F(h) \right) \\
&= \left( \phi_{C', FC} \circ F(h)^{\ast} \right)(1_{FC}) \\
&= \left( h^{\ast} \circ \phi_{C, FC} \right)(1_{FC}) \\
&= \phi_{C, FC}(1_{FC}) \circ h \\
&= \eta_{C} \circ h
\end{align*}\]
が成り立つ。

 \square

9.4 Order adjoints

この節で出てくる例は、adjoint functor の domain も codomain も Preorder set を圏と見なしたものなので、任意の対象間には高々一つの写像しか存在しません。
よって同型射が natural になることは自明に成り立つのでその証明は省略されています。

Example 9.12

こちらの記事でも言及したのですが、ここの記述は正確ではありません。ただし位相空間に詳しくない方は飛ばして構いません。

書籍にあるように dual image function を  f_{\ast}(U) = \left\{ b \in B \,\middle|\, f^{-1}(b) \subseteq U \right\} と定義した場合、 f_{\ast} \colon \mathcal{P}(A) \to \mathcal{P}(B) は確かに  f^{-1} の right adjoint になります。これは、 f^{-1}(V) \subseteq U \Rightarrow V \subseteq f_{\ast}(U) かつ  V \subseteq f_{\ast}(U) \Rightarrow f^{-1}(V) \subseteq U が成り立つことを確認すればいいです。

問題はその次で、 f^{-1} を開集合に制限して  f^{-1} \colon \mathcal{O}(B) \to \mathcal{O}(A) とした場合にも  f_{\ast} f^{-1} の right adjoint になるという記述です。というのも  U を任意の  A の開集合とした時に  f_{\ast}(U) は必ずしも  B の開集合とはならないからです。よって  f_{\ast} f^{-1} の right adjoint にはなり得ません。

そこで  {\it{Sheaves\ in\ Geometry\ and\ Logic}} という書籍を参照すると、そこでは dual image function を以下のように定義しています。
\[f_{\ast}(U) = \bigcup \left\{ V \in \mathcal{O}(B) \,\middle|\, f^{-1}(V) \subseteq U \right\}\]
この定義を用いると、任意の  A の開集合  U に対して  f_{\ast}(U) B の開集合になり  f^{-1} の right adjoint になることが証明できます。一方で開集合に制限しない  f^{-1}
\colon \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(A) に対しては right adjoint になりません。

以上の二つの定義とその結果が、ここの記述ではごちゃ混ぜになっています。上で述べたことを是非自分で確認してみてください。

9.5 Quantifiers as adjoints

Figure 9.1 の説明がわかりにくいかもしれないので補足しておきます。ちなみに Figure 9.1 にある  \phi \psi の誤りです。
Figure 9.1 の左下を原点として、水平方向を  x 軸、垂直方向を  y 軸とします。また  x 上の任意の領域  R に対して  \pi^{-1}(R) によって生成される長方形をそのまま  \pi^{-1}(R) と書くことにします。さらに斜線で塗られた領域を、領域  \psi と呼ぶことにします。

\[ \frac{\exists y. \psi(x,y) \dashv \phi(x)}{\psi(x,y) \dashv \phi(x)} \]

  • 上から下に読む場合

 \phi(x) を満たす  x 軸上の領域  R \exists y. \psi(x,y) を満たす  x 軸上の領域、つまり Figure 9.1 の  \exists \psi と書かれた領域を含むのであれば、 \pi^{-1}(R) は領域  \psi を含むと読みます。

  • 下から上に読む場合

 \psi(x) を満たす  x 軸上の領域  R に対して  \pi^{-1}(R) が領域  \psi を含むのであれば、 R \exists \psi を含むと読みます。

同様に
\[ \frac{\phi(x) \dashv \psi(x,y)}{\phi(x) \dashv \forall y. \psi(x,y)} \]

  • 上から下に読む場合

 \phi(x) を満たす  x 軸上の領域  R に対して  \pi^{-1}(R) が領域  \psi に含まれるならば、 R \forall \psi に含まれると読みます。

  • 下から上に読む場合

 \phi(x) を満たす  x 軸上の領域  R \forall \psi に含まれるのであれば、 \pi^{-1}(R) は領域  \psi に含まれると読みます。

9.6 RAPL

Proposition 9.16

ここでは  {F_{!}}_{1} の定義と  F_{!} が functor になることの証明、 {F^{\ast}}_{1} の定義と  F^{\ast} が functor になることの証明が省略されています。
さらに natural isomorphism であることを示すところで、isomorphism であることは示されていますが、natural であることの証明が省略されています。 E に関して natural になることは Chapter 8 で確認しましたが  P に関して natural になることは確認していないので、ここで確認しておきます。

 Lemma
\[ F_{!} \text{ is a functor}. \] Proof.

  •  {F_{!}}_{1} の定義

任意の natural transformation  \theta \colon P \to Q に対して次の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20160915131833p:plain
ここで任意の  h \colon (x', C') \to (x, C) \in \int\!P に対して  \phi_{P} \circ i_{h} = i_{(x', C')} \psi_{P} \circ i_{h} = i_{(x, C)} \circ F(h) である。
 i_{\left( \theta_{C}(x), C \right)} F \circ \pi(x,C) \overset{1_{FC}}{\to} F \circ \pi \left( \theta_{C}(x), C \right) \overset{i_{\left( \theta_{C}(x), C \right)}}{\to} \coprod_{\int\!Q} F \circ \pi(z,C) の合成である。
また  \theta が natural であるから  \left( Q(h) \circ \theta_{C} \right)(x) = \left( \theta_{C'} \circ P(h) \right)(x) = \theta_{C'}(x') が成り立つことから  h h \colon \left( \theta_{C'}(x'), C' \right) \to \left( \theta_{C}(x), C \right) \in \int\!Q となることに注意する。すると
\[\begin{align*}
c_{Q} \circ \left[ i_{\left( \theta_{C}(x), C \right)} \right] \circ \phi_{P} \circ i_{h} &= c_{Q} \circ i_{\left( \theta_{C'}(x'), C' \right)} \\
&= c_{Q} \circ \phi_{Q} \circ i_{h} \\
&= c_{Q} \circ \psi_{Q} \circ i_{h} \\
&= c_{Q} \circ i_{\left( \theta_{C}(x), C \right)} \circ F(h) \\
&= c_{Q} \circ \left[ i_{\left( \theta_{C}(x), C \right)} \right] \circ \psi_{P} \circ i_{h}
\end{align*}\]
が成り立つ。よって coproduct の UMP と colimit の UMP より diagram を可換にする写像  {F_{!}}_{1}(\theta) \colon \varinjlim_{\int\!P} F \circ \pi(x,C) \to \varinjlim_{\int\!Q} F \circ \pi(z, C) がただ一つ存在する。これを  {F_{!}}_{1}(\theta) と定義する。

  •  F_{!} が functor であること

 {F_{!}}_{1}(\theta \colon P \to Q) \colon {F_{!}}_{0}(P) \to {F_{!}}_{0}(Q) となるから  F_{!} は functor の条件 (a) を満たす。
 {F_{!}}_{1}(1_{P}) は上の diagram の  \theta 1_{P} で置き換えると、colimit の UMP より  {F_{!}}_{1}(1_{P}) = 1_{{F_{!}}_{0}(P)} が成り立つことがわかる。よって  F_{!} は functor の条件 (b) を満たす。
 {F_{!}}_{1}(\theta' \circ \theta) \left[ i_{\left( \theta'_{C}(z), C \right)} \right] \circ \left[ i_{\left( \theta_{C}(x), C \right)} \right] = \left[ i_{\left( (\theta' \circ \theta)_{C}(x), C \right)} \right] が成り立つので colimit の UMP より  {F_{!}}_{1}(\theta' \circ \theta) = {F_{!}}_{1}(\theta') \circ {F_{!}}_{1}(\theta) が成り立つ。よって  F_{!} は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

次に  F^{\ast} が functor であることを証明します。

 Lemma
\[ F^{\ast} \text{ is a functor}. \] Proof.

  • 任意の  E \in \mathcal{E} に対して  F^{\ast}(E) が functor であること

任意の  h \colon C' \to C に対して  {F^{\ast}(E)}_{1}(h) \colon \text{Hom}(FC, E) \to \text{Hom}(FC', E) {F^{\ast}(E)}_{1}(h) = F(h)^{\ast} で定義する。
 {F^{\ast}(E)}_{1}(h \colon C' \to C) \colon {F^{\ast}(E)}_{0}(C) \to {F^{\ast}(E)}_{0}(C') となるので  F^{\ast}(E) は functor の条件 (a) を満たす。
 {F^{\ast}(E)}_{1}(1_{C}) = F(1_{C})^{\ast} = 1_{F(C)}^{\ast} = 1_{\text{Hom}(FC, E)} = 1_{{F^{\ast}(E)}_{0}(C)} が成り立つので  F^{\ast}(E) は functor の条件 (b) を満たす。
 {F^{\ast}(E)}_{1}(h \circ h') = F(h \circ h')^{\ast} = F(h')^{\ast} \circ F(h)^{\ast} = {F^{\ast}(E)}_{1}(h') \circ {F^{\ast}(E)}_{1}(h) が成り立つ。よって  F^{\ast}(E) は functor の条件 (c) を満たす。

  •  F^{\ast} が functor であること

任意の  f \colon E \to E' に対して  {F^{\ast}}_{1}(f) を任意の  C \in {\bf{C}} に対して  {F^{\ast}}_{1}(f)_{C} = f_{\ast} で定義する。
f:id:hitotakuchan:20160916132529p:plain
任意の  h \colon C' \to C と任意の  g \colon FC \to E に対して  \left( F^{\ast}(E')(h) \circ f_{\ast} \right)(g) = f \circ g \circ F(h) = \left( f_{\ast} \circ F^{\ast}(E)(h) \right)(g) が成り立つので、上の diagram は可換になる。よって  {F^{\ast}}_{1}(f) は natural transformation である。
このとき  {F^{\ast}}_{1}(f \colon E \to E') \colon {F^{\ast}}_{0}(E) \to {F^{\ast}}_{0}(E') が成り立つので  F^{\ast} は functor の条件 (a) を満たす。
 {F^{\ast}}_{1}(1_{E}) = 1_{{F^{\ast}}_{0}(E)} は定義より明らか。よって  F^{\ast} は functor の条件 (b) を満たす。
 {F^{\ast}}_{1}(f' \circ f)_{C} = (f' \circ f)_{\ast} = f'_{\ast} \circ f_{\ast} = {F^{\ast}}_{1}(f')_{C} \circ {F^{\ast}}_{1}(f)_{C} = \left( {F^{\ast}}_{1}(f') \circ {F^{\ast}}_{1}(f) \right)_{C} が成り立つので、 F^{\ast} は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

最後に  \text{Hom}(P, F^{\ast}(E)) \cong \text{Hom}(F_{!}(P), E) P に関して natural であることを証明します。
 \text{Hom}(\varinjlim_{j \in J} yC_{j}, F^{\ast}(E)) \cong \varprojlim_{j \in J} \text{Hom}(yC_{j}, F^{\ast}(E)) の場合は  \text{Hom}(\varinjlim_{j \in J} FC_{j}, E) \cong \varprojlim_{j \in J} \text{Hom}(FC_{j}, E) の場合と同様に示せるので、 \eta \colon \text{Hom}(\varinjlim_{j \in J} FC_{j}, E) \cong \varprojlim_{j \in J} \text{Hom}(FC_{j}, E) が natural であることの証明のみを示します。それ以外の箇所は Chapter 8 で示した証明と同様に証明できるので省略します。 \eta の定義は Chapter8 の 8.7 節の証明を参照してください。

 Lemma
\[ \eta \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
任意の  \theta \colon Q \to P について考える。 \eta が natural であるためには以下の diagram が可換になることを示す必要がある。
f:id:hitotakuchan:20160916140213p:plain
しかし diagram の右の写像がどのような写像なのか明らかではない。そこで以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20160916141840p:plain
ここで  \theta が natural であることから、任意の  h \colon (z', C') \to (z, C) in \int\!Q h \colon \left( \theta_{C'}(z'),C' \right) \to \left( \theta_{C}(z), C \right) となることに注意しておく。すると
\[\begin{align*}
\pi_{h} \circ \phi_{Q} \circ \left< \pi_{\left( \theta_{C}(z), C \right)}(-) \right>_{(z,C) \in \int\!Q} \circ e_{P} &= \pi_{(z',C')} \circ \left< \pi_{\left( \theta_{C}(z), C \right)}(-) \right>_{(z,C) \in \int\!Q} \circ e_{P} \\
&= \pi_{\left( \theta_{C'}(z'), C' \right)} \circ e_{P} \\
&= \pi_{h} \circ \phi_{P} \circ e_{P} \\
&= \pi_{h} \circ \psi_{P} \circ e_{P} \\
&= F(h)^{\ast} \circ \pi_{\left( \theta_{C}(z), C \right)} \circ e_{P} \\
&= F(h)^{\ast} \circ \pi_{(z,C)} \circ \left< \pi_{\left( \theta_{C}(z), C \right)}(-) \right>_{(z,C) \in \int\!Q} \circ e_{P} \\
&= \pi_{h} \circ \psi_{Q} \circ \left< \pi_{\left( \theta_{C}(z), C \right)}(-) \right>_{(z,C) \in \int\!Q} \circ e_{P}
\end{align*}\]
が成り立つので、product の UMP と limit の UMP より diagram を可換とする唯一つの  \overline{\theta} が存在する。

次に  \pi_{(z,C)} \circ e_{Q} \circ \overline{\theta} \circ \eta_{P} = \pi_{(z,C)} \circ e_{Q} \circ \eta_{Q} \circ F_{!}(\theta)^{\ast} を示す。すると product の UMP と  e_{Q} が monic であることから  \overline{\theta} \circ \eta_{P} = \eta_{Q} \circ F_{!}(\theta)^{\ast} が成り立つ。
任意の  f \colon \varinjlim_{(x,C)} F \circ \pi(x,C) \to E に対して
\[\begin{align*}
\left( \pi_{(z,C)} \circ e_{Q} \circ \overline{\theta} \circ \eta_{P} \right)(f) &= \left( \pi_{\left( \theta_{C}(z), C \right)} \circ e_{P} \circ \eta_{P} \right)(f) \\
&= \left( \pi_{\left( \theta_{C}(z), C \right)} \circ \left< - \circ i_{(x,C)} \right>_{(x,C) \in \int\!P} \circ c_{P}^{\ast} \right)(f) \\
&= f \circ c_{P} \circ i_{\left( \theta_{C}(z), C \right)} \\
&= f \circ c_{P} \circ \left[ i_{\left( \theta_{C}(z), C \right)} \right] \circ i_{(z,C)}
\end{align*}\]
が成り立つ。一方、
\[\begin{align*}
\left( \pi_{(z,C)} \circ e_{Q} \circ \eta_{Q} \circ F_{!}(\theta)^{\ast} \right)(f) &= \left( \pi_{(z,C)} \circ \left< - \circ i_{(z,C)} \right>_{(z,C) \in \int\!Q} \circ c_{Q}^{\ast} \circ F_{!}(\theta)^{\ast} \right)(f) \\
&= f \circ F_{!}(\theta) \circ c_{Q} \circ i_{(z,C)}
\end{align*}\]
が成り立つ。これは  F_{!}(\theta) の定義より等しい。よって  \eta は natural isomorphism である。

 \square

最後にこのように定義した  F_{!} に対して  F_{!}(yC) \cong FC が成り立つことを証明します。

 Lemma
\[ F_{!}(yC) \cong FC \] Proof.
 \int\!yC において  (1_{C},C) は terminal object になるので、任意の  (f, C') \in \int\!yC に対して  F(f) \colon F \circ \pi(f, C') \to F \circ \pi(1_{C},C) が存在する。このことに注意すると、任意の natural transformation  \phi \colon F \circ \pi \to \Delta E に対して次の左の diagram は可換となる。
f:id:hitotakuchan:20161005121121p:plain
また任意の  \psi \colon F \circ \pi(1_{C},C) \to E が存在して同様に diagram を可換にするとすると、上の右の diagram が可換になることより  \psi = \phi_{(1_{C}, C)} が成り立つ。
よって colimit の UMP より  F_{!}(yC) = \varinjlim_{(f,C) \in \int\!yC} F \circ \pi(f,C) \cong F \circ \pi(1_{C}, C) = FC が成り立つ。

 \square

9.7 Locally cartesian closed categories

Proposition 9.20

はじめに、任意の  f \colon A \to B に対して  \sum_{f} \dashv f^{\ast} \dashv \prod_{f} が成り立つとき、 \sum_{f} \circ\, f^{\ast} \dashv \prod_{f} \circ\, f^{\ast} が成り立つことを確認してください。
 \sum_{f} \dashv f^{\ast} \dashv \prod_{f} の二つの natural isomorphism を合成すればいいです。

次に  !_{A} \colon A \to \ast に対して  \sum_{!_{A}} \circ\, !_{A}^{\ast} A \times - となることは Proposition 5.14 で確認しました。すると  A \times - の right adjoint は  (-)^{A} に unique up to isomorphism で決まるので、 B^{A} = (\prod_{!_{A}} \circ\, !_{A}^{\ast})(B) で定義すればよいことがわかります。

次に証明なしに出てくる "a slice of a slice is a slice" の確認をしておきます。

 Lemma
\[ \text{a slice of a slice is a slice}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20161021121200p:plain
任意の  X,Y \in \mathcal{E} と任意の  f \colon X \to Y について  \left( \mathcal{E} / Y \right) /\, f \cong \mathcal{E} / X となることを示す。
はじめに functor  \Phi \colon \left( \mathcal{E} / Y \right) /\, f \to \mathcal{E} / X を定義する。
任意の  a' \colon a \to f \in \left( \mathcal{E} / Y \right) /\, f に対して  \Phi_{0}(a') = a' と定義すると、 a' \colon A \to X であるから  a \in \mathcal{E} / X となる。
また任意の  h \colon a' \to b' \in \left( \mathcal{E} / Y \right) /\, f に対して  \Phi_{1}(h) = h と定義すると、 h b' \circ h = a' を満たすので  h \in \mathcal{E} / X となる。
このとき、 \Phi_{1} \left(h \colon (a' \colon a \to f) \to (b' \colon b \to f) \right) = h \colon (a' \colon A \to X) \to (b' \colon B \to X) = h \colon \Phi_{0}(a') \to \Phi_{0}(b') が成り立つので、 \Phi は functor の条件 (a) を満たす。
次に  \Phi_{1}(1_{a'}) = 1_{a'} = 1_{\Phi_{0}(a')} が成り立つので  \Phi は functor の条件 (b) を満たす。
最後に  \Phi_{1}(h' \circ h) = h' \circ h = \Phi_{1}(h') \circ \Phi_{1}(h) が成り立つので  \Phi は functor の条件 (c) を満たす。

次に functor  \Psi \colon \mathcal{E} / X \to \left( \mathcal{E} / Y \right) /\, f を定義する。
任意の  a' \colon A \to X \in \mathcal{E} / X に対して  \Psi_{0} \Psi_{0}(a') = a' \colon (f \circ a') \to f で定義する。明らかに  \Psi_{0}(a') \in \left( \mathcal{E} / Y \right) /\, f である。
また任意の  h \colon a' \to b' \in \mathcal{E} / X に対して  \Psi_{1}(h) = h と定義すると、 h f \circ b' \circ h = f \circ a' を満たすので、 \Psi_{1}(h) = h \colon \Psi_{0}(a') \to \Psi_{0}(b') となり functor の条件 (a) を満たす。
次に  \Psi_{1}(1_{a'}) = 1_{a'} = 1_{\Psi_{0}(a')} が成り立つので  \Psi は functor の条件 (b) を満たす。
最後に  \Psi_{1}(h' \circ h) = h' \circ h = \Psi_{1}(h') \circ \Psi_{1}(h) が成り立つので  \Psi は functor の条件 (c) を満たす。

以上のように定義した  \Phi \Psi に対して  \Psi \circ \Phi = 1 かつ  \Phi \circ \Psi = 1 が成り立つことは明らかであるから、 \left( \mathcal{E} / Y \right) /\, f \cong \mathcal{E} / X が成り立つ。

 \square

任意の  f \colon (a \colon A \to X) \to (b \colon B \to X) \in \mathcal{E}/X に対して composition functor  \sum_{f} \colon (\mathcal{E}/X)/\,a \to (\mathcal{E}/X)/\,b を考えます。
上の同型射を用いると  \sum_{f}' \colon \mathcal{E}/A \to \mathcal{E}/B が構成できます。 \mathcal{E} が locally cartesian category なら、 \sum_{f}' に対して right adjoint  {f^{\ast}}' \prod_{f}' が構成できます。よって再び同型射を用いることで  \sum_{f} に対して right adjoint を構成できるので  \mathcal{E}/X も locally cartesian category になります。

逆の  \text{2} \Rightarrow \text{1} の証明は exponential が突然出てきて難しいですね。 \mathcal{F} を使った置き換えがなぜ必要なのかもよくわかりません。また1対1に対応するとは書かれていますが、それが  Y p に対して natural であることの証明は省略されています。

 Lemma
\[ F^{\ast} \dashv \prod_{F} \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20161021133911p:plain
任意の  F \colon A \to B の composition functor の right adjoint  F^{\ast} は pullback functor である。よって上の図のように任意の  Y \colon C \to B \in \mathcal{E}/B に対して  F^{\ast}(Y) = \pi_{2} \in \mathcal{E}/A となる。 Y F \mathcal{E} における射であるから  Y \times F \mathcal{E} の object のように記述するのはおかしいが、 \mathcal{E}/B においては  F \circ \pi_{2} = Y \circ \pi_{1} は確かに  Y \times F となるのでこのように記述している。このとき  \pi_{1} \pi_{2} は実際に  \mathcal{E}/B において projection function になっている。

以上の注意を元に、任意の  Y \colon C \to B p \colon X \to A に対して  \theta_{Y,p} \colon \text{Hom} \left( F^{\ast}(Y), p \right) \to \text{Hom}\left(Y, \prod_{F}(p) \right) を定義する。
任意の  l \colon F^{\ast}(Y) \to p に対して以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161021135558p:plain
 l l \colon F \circ \pi_{2} \to F \circ p \in \mathcal{E}/B と考えると  l \colon Y \times F \to F \circ p と見なせる。 \mathcal{E}/B は cartesian closed であるので exponential の UMP より  \exists !\, \widetilde{l} \colon Y \to {F \circ p}^{F} が存在する。 p p \colon F \circ p \to F \in \mathcal{E}/B と見なせることに注意して以下の pullback diagram in  \mathcal{E}/B を考える。
f:id:hitotakuchan:20161021141034p:plain
すると、 \epsilon \circ (p^{F} \times 1) \circ (\widetilde{l} \times 1) = p \circ \epsilon \circ (\widetilde{l} \times 1) = p \circ l = \pi_{2} が成り立つ。一方、
 \epsilon \circ ( \widetilde{\pi_{2}} \times 1) \circ (! \times 1) = \pi_{2} \circ (! \times 1) = \pi_{2} が成り立つので exponential の UMP より  p^{F} \circ \widetilde{l} = \widetilde{\pi_{2}} \circ ! が成り立つ。よって pullback の UMP より  \exists !\, m \colon Y \to \prod_{F}(p) が存在する。そこで  \theta_{Y,p}(l) = m で定義する。これは各 UMP により well-defined である。

次に  \theta^{-1}_{Y,p} \colon \text{Hom}\left(Y, \prod_{F}(p) \right) \to \text{Hom} \left( F^{\ast}(Y), p \right) を定義する。
任意の  m \colon Y \to \prod_{F}(p) \in \mathcal{E}/B に対して、上の diagram において  n \circ m を考える。すると exponential の UMP より  \exists !\, \overline{n \circ m} \colon Y \times F \to F \circ p が存在する。この  \overline{n \circ m} \overline{n \circ m} \colon \pi_{2} \to p \in \mathcal{E}/A とみなして、 \theta^{-1}_{Y,p}(m) = \overline{n \circ m} で定義する。
f:id:hitotakuchan:20161021143437p:plain

 \theta^{-1}_{Y,p} \theta_{Y,p} の逆射になるので、 \theta_{Y,p} は isomorphism である。次に natural であることを示す。

  •  \theta_{Y,p} Y に関して natural であること

任意の  h \colon Y' \to Y \in \mathcal{E}/B に対して Two-pullback Lemma より以下の diagram が可換になる。
f:id:hitotakuchan:20161024130748p:plain
すると  h' h' \in \mathcal{E}/A とみなすことができる。そこで次の左の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161024140733p:plain
任意の  l \colon F^{\ast}(Y) \to p に対して、 (h^{\ast} \circ \theta_{Y,p})(l) = \theta_{Y,p}(l) \circ h が成り立つ。一方、 (\theta_{Y',p} \circ h'^{\ast})(l) = \theta_{Y', p}(l \circ h') が成り立つ。
 \theta_{Y,p}(l) \circ h に対して  \theta の定義より、 \epsilon \circ \left( n \circ \theta_{Y,p}(l) \circ h \times 1 \right) = \epsilon \circ \left( n \circ \theta_{Y,p}(l) \times 1 \right) \circ ( h \times 1) = l \circ (h \times 1) が成り立つ。同様に \theta_{Y', p}(l \circ h') に対して  \epsilon \circ n \circ \theta_{Y', p}(l \circ h') = l \circ h' が成り立つ。
Two-pullback Lemma による diagram より上の右の diagram は可換になる。よって  h \times 1 = h' が成り立つので、exponential の UMP と pullback の UMP より  \theta_{Y,p}(l) \circ h = \theta_{Y', p}(l \circ h') が成り立つ。

  •  \theta_{Y,p} p に関して natural であること

任意の  h \colon (p \colon X \to A) \to (p' \colon X' \to A) \in \mathcal{E}/A に対して Two-pullback Lemma より以下の diagram が可換になる。
f:id:hitotakuchan:20161024140052p:plain
そこで次の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161024140723p:plain
任意の  l \colon F^{\ast}(Y) \to p に対して、 ( {h^{F}}'_{\ast} \circ \theta_{Y,p})(l) = {h^{F}}' \circ \theta_{Y,p}(l) が成り立つ。一方、 (\theta_{Y,p'} \circ h_{\ast})(l) = \theta_{Y,p'}(h \circ l) が成り立つ。
上の Two-pullback Lemma による diagram と  \theta の定義より
\[\begin{align*}
\epsilon \circ \left( n' \circ {h^{F}}' \circ \theta_{Y,p}(l) \times 1 \right) &= \epsilon \circ \left( h^{F} \circ n \circ \theta_{Y,p}(l) \times 1 \right) \\
&= h \circ \epsilon \circ \left( n \circ \theta_{Y,p}(l) \times 1 \right) \\
&= h \circ l
\end{align*}\]
が成り立つ。一方、 \epsilon \circ \left( n' \circ \theta_{Y, p'}(h \circ l) \times 1 \right) = h \circ l が成り立つ。よって exponential の UMP と pullback の UMP より  {h^{F}}' \circ \theta_{Y,p}(l) = \theta_{Y,p'}(h \circ l) が成り立つ。

以上より  \theta は natural isomorphism である。

 \square

Lemma 9.23

ここでは  \Psi \colon {\bf{Sets}}^{(y/P)^{\text{op}}} \to {\bf{Sets}}^{{\bf{C}}^{\text{op}}}/P を定義し、 1 \simeq \Psi \circ \Phi かつ  1 \simeq \Phi \circ \Psi を示す必要があります。
はじめに  \Psi を定義するために、任意の  G \in {\bf{Sets}}^{(y/P)^{\text{op}}} に対して functor  \coprod G \colon {\bf{C}}^{\text{op}} \to {\bf{Sets}} を定義します。

 Lemma
\[ \coprod G \text{ is a functor}. \] Proof.
任意の  C \in {\bf{C}} に対して1つ目の成分が  C であるような  \int_{\bf{C}} P の object の集合を  \mathcal{L}_{C} と表す。このとき  (\coprod G)(C) = \coprod_{(C,x) \in \mathcal{L}_{C}} G( (C,x)) で定義する。
次に任意の  f \colon C' \to C に対して、 yf \colon yC' \to yC は任意の  x \colon yC \to P に対して  yf \colon x \circ yf \to x \in \int_{\bf{C}} P となる。すると  G(yf) G(yf) \colon G( (C,x)) \to G( (C', x \circ yf)) となることに注意して、 (\coprod G)(f) = \left[ i \circ G(yf) \right]_{(C,x) \in \mathcal{L}_{C}} \colon \coprod_{(C,x) \in \mathcal{L}_{C}} G( (C,x)) \to \coprod_{(C',x') \in \mathcal{L}_{C'}} G( (C',x')) で定義する。
このとき  \coprod G が functor の条件をみたすことは coproduct の UMP により明らかである。

 \square

本当に  \coprod G が functor の条件を満たすか確認してください。
次にこの  \coprod G を用いて  \Psi(G) \Psi(G) \colon \coprod G \to P で定義する。このとき  \Psi が functor となることを示す。

 Lemma
\[ \Psi \text{ is a functor}. \] Proof.
任意の  (C,x) \in \int_{\bf{C}} P と任意の  l \in G( (C,x)) に対して  (\coprod G)(C) の要素を  ( (C,x), l) で表すとすると、 \Psi(G) (\Psi(G))_{C}( (C,x), l) = x_{C}(1_{C}) で定義する。このとき  \Psi(G) が natural transformation であることを示す。
f:id:hitotakuchan:20161027142513p:plain
任意の  f \colon C' \to C \in {\bf{C}} と任意の  ( (C,x), l) \in (\coprod G)(C) に対して  \left( P(f) \circ \Psi(G)_{C} \right)( (C,x), l) = P(f)(x_{C}(1_{C})) が成り立つ。一方米田の補題より
\[\begin{align*}
\left( \Psi(G)_{C'} \circ (\coprod G)(f) \right)( (C,x), l) &= \Psi(G)_{C'}\left( (C', x \circ yf), G(yf)(l) \right) \\
&= (x \circ yf)_{C}(1_{C}) \\
&= P(f)(x_{C}(1_{C}))
\end{align*}\]
が成り立つので、上の diagram は可換となり  \Psi(G) \in {\bf{Sets}}^{{\bf{C}}^{\text{op}}}/P となる。

次に、任意の  \theta \colon G \to G' に対して  {\Psi(\theta)}_{C} \colon (\coprod G)(C) \to (\coprod G')(C) {\Psi(\theta)}_{C} = \left[ i \circ \theta_{(C,x)} \right]_{(C,x) \in \mathcal{L}_{C}} で定義する。このとき  \Psi(\theta) が natural であることを示す。
f:id:hitotakuchan:20161028105839p:plain
任意の  f \colon C' \to C と任意の  ( (C,x), l) \in (\coprod G)(C) に対して
 \left( (\coprod G')(f) \circ \Psi(\theta)_{C} \right) \left( ( (C,x), l) \right) = (\coprod G')(f)\left( ( (C, x), \theta_{(C,x)}(l)) \right) = \left( (C', x \circ yf),  \left( G'(yf) \circ \theta_{(C,x)} \right)(l) \right)
一方
 \left( \Psi(\theta)_{C'} \circ (\coprod G)(f) \right)\left( ( (C,x), l) \right) = \Psi(\theta)_{C'} \left( ( (C', x \circ yf), G(yf)(l) ) \right) = \left( ( C', x \circ yf), \left( \theta_{(C',x \circ yf)} \circ G(yf) \right)(l) \right)
が成り立つ。これらは  \theta が natural であることより等しい。上の左の diagram は可換であるので  \Psi(\theta) は natural である。

また任意の  ( ( C,x), l) \in (\coprod G)(C) に対して
 \left( \Psi(G')_{C} \circ \Psi(\theta)_{C} \right)\left( ( (C,x), l) \right) = x_{C}(1_{C}) = \Psi(G)_{C} \left( ( (C,x), l) \right)
が成り立つので、 \Psi(\theta) \colon \Psi(G) \to \Psi(G') \in {\bf{Sets}}^{{\bf{C}}^{\text{op}}}/P となる。

 \Psi が functor の条件をみたすことは coproduct の UMP 等により明らかである。

 \square

 Lemma
\[ 1 \simeq \Psi \circ \Phi \] Proof.
natural isomorphism  \phi \colon 1 \to \Psi \circ \Phi を構成すればよい。
任意の  q \colon Q \to P と任意の  C \in {\bf{C}} に対して  (\Psi \circ \Phi)(q)(C) \colon \coprod_{(C,x) \in \mathcal{L}_{C}} \text{Hom}(x,q) \to PC となることに注意して、 {\phi_{q}}_{C} \colon QC \to \coprod_{(C,x) \in \mathcal{L}_{C}} \text{Hom}(x,q) を任意の  l \in QC に対して  {\phi_{q}}_{C}(l) = ( ( C, q \circ \widetilde{l}), \widetilde{l}) で定義する。ただし  \widetilde{l} \colon yC \to Q は米田の補題により一意に定まる  \widetilde{l}_{C}(1_{C}) = l を満たす natural transformation とする。

任意の  ( (C, x), m) \in \coprod_{(C,x) \in \mathcal{L}_{C}} \text{Hom}(x,q) に対して  {\phi_{q}}_{C}^{-1}\left( ( (C,x), m) \right) = m_{C}(1_{C}) {\phi_{q}}_{C}^{-1} を定義すれば、明らかに  {\phi_{q}}_{C} は isomorphism となる。

 \phi_{q} C に関して natural であることを示す。
任意の  f \colon C' \to C に対して以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161028121845p:plain
任意の  l \in QC に対して
 \left( \left( \coprod \Phi(q) \right)(f) \circ {\phi_{q}}_{C} \right)(l) = ( (C', q \circ \widetilde{l} \circ yf), \widetilde{l} \circ yf)
が成り立つ。一方、 \left( {\phi_{q}}_{C'} \circ Q(f) \right)(l) = ( (C', q \circ \widetilde{Q(f)(l)}), \widetilde{Q(f)(l)}) が成り立つ。 (\widetilde{l} \circ yf)_{C}(1_{C}) = Q(f)(l) が成り立つので両者は等しい。よって diagram は可換となる。

この  \phi_{q} に対して以下の diagram が可換になることは明らかなので、
f:id:hitotakuchan:20161028123226p:plain
 \phi_{q} \colon q \to (\Psi \circ \Phi)(q) \in {\bf{Sets}}^{{\bf{C}}^{\text{op}}}/P となる。

最後に任意の  \theta \colon q \to q' に対して以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161028124537p:plain
任意の  l \in QC に対して
 \left( (\Psi \circ \Phi)(\theta)_{C} \circ {\phi_{q}}_{C} \right)(l) = ( \Psi \circ \Phi)(\theta)_{C}( ( (C, q \circ \widetilde{l}), \widetilde{l}) ) = ( ( C, q \circ \widetilde{l}), \theta \circ \widetilde{l})
が成り立つ。一方、 ( {\phi_{q'}}_{C} \circ \theta_{C})(l) = ( (C, q' \circ \widetilde{\theta_{C}(l)}), \widetilde{\theta_{C}(l)}) が成り立つ。
ところが  (\theta \circ \widetilde{l})_{C}(1_{C}) = \theta_{C}(l) が成り立つので、両者は等しい。よって上の diagram は可換となる。

以上より  \phi は natural isomorphism である。

 \square

 Lemma
\[ 1 \simeq \Phi \circ \Psi \] Proof.
natural isomorphism  \psi \colon 1 \to \Phi \circ \Psi を構成すればよい。
任意の  G \in {\bf{Sets}}^{(y/P)^{\text{op}}} と任意の  (C,x) \in y/P に対して  {\psi_{G}}_{(C,x)} \colon G(C,x) \to \text{Hom}\left( x, \Psi(G) \right) を次のように定義する。
任意の  l \in G(C,x) に対して  ( (C,x), l) ( (C,x), l) \in \coprod_{(C,x) \in \mathcal{L}_{C}} G(C,x) つまり  ( (C,x), l) \in (\coprod G)(C) であるから米田の補題より一意に対応した  \widetilde{l} \colon yC \to \coprod G が得られる。

この  \widetilde{l} に対して以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161028144902p:plain
任意の  f \colon C' \to C に対して米田の補題と  \coprod G の定義より、
\[\begin{align*}
\left( \Psi(G)_{C'} \circ \widetilde{l}_{C'} \right)(f) &= \Psi(G)_{C'}( (C', x \circ yf), G(yf)(l)) \\
&= (x \circ yf)_{C'}(1_{C'}) \\
&= P(f) \left( x_{C'}(1_{C'}) \right) \\
&= x_{C'}(f)
\end{align*}\]
が成り立つので、上の diagram は可換になる。よって  \widetilde{l} \colon x \to \Psi(G) となるので  {\psi_{G}}_{(C,x)}(l) = \widetilde{l} と定義する。

次に  \psi_{G} が isomorphism であることを示す。
 {\psi_{G}}_{(C,x)}^{-1} \colon \text{Hom}\left( x, \Psi(G) \right) \to G(C,x) を次のように定義する。
任意の  m \colon x \to \Psi(G) に対して、 m m \colon yC \to \coprod G と見なせるので米田の補題より  ( (C, x'), \overline{m}) が一意に存在して  m_{C}(1_{C}) = ( ( C, x'), \overline{m}) を満たす。このとき  m x = \Psi(G) \circ m をみたすことから  x = x' が成り立つ。よって  \overline{m} \in G(C,x) である。
そこで  {\psi_{G}}_{(C,x)}^{-1}(m) = \overline{m} と定義すると、米田の補題より  {\psi_{G}}_{(C,x)} の逆射となり  {\psi_{G}}_{(C,x)} は isomorphism となる。

次に  \psi_{G} が natural であることを示す。
任意の  yf \colon (C',x') \to (C,x) に対して次の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161028195553p:plain
任意の  l \in G( (C,x)) に対して  (yf^{\ast} \circ {\psi_{G}}_{(C,x)})(l) = \widetilde{l} \circ yf が成り立つ。一方  \left( {\psi_{G}}_{(C',x')} \circ G(yf) \right)(l) = \widetilde{G(yf)(l)} が成り立つ。
今、 (\widetilde{l} \circ yf)_{C'}(1_{C'}) = \widetilde{l}(f) = ( ( C', x \circ yf), G(yf)(l)) \widetilde{G(yf)(l)}_{C'}(1_{C'}) = ( (C', x'), G(yf)(l)) が成り立ち両者は等しいので、米田の補題より diagram は可換となる。よって  \psi_{G} は natural である。

最後に  \psi が natural であることを示す。
任意の  \theta \colon G \to G' と任意の  (C,x) に対して次の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20161028195604p:plain
任意の  l \in G( (C,x)) に対して  \left( (\Phi \circ \Psi)(\theta)_{(C,x)} \circ {\psi_{G}}_{(C,x)} \right)(l) = (\Phi \circ \Psi)(\theta)_{(C,x)}(\widetilde{l}) = \Psi(\theta) \circ \widetilde{l} が成り立つ。一方  \left( {\psi_{G'}}_{(C,x)} \circ \theta_{(C,x)} \right)(l) = \widetilde{\theta_{(C,x)}(l)} が成り立つ。
 \left( \Psi(\theta) \circ \widetilde{l} \right)_{C}(1_{C}) = \Psi(\theta)_{C}( ( (C,x), l)) = ( (C,x), \theta_{(C,x)}(l)) \widetilde{\theta_{(C,x)}(l)}_{C}(1_{C}) = ( (C,x), \theta_{(C,x)}(l)) が成り立つので、米田の補題より上の diagram は可換となる。

以上より  \psi は natural isomorphism である。

 \square

9.8 Adjoint functor theorem

Theorem 9.29

書籍にある Solution set condition が微妙に間違ってます。書籍にある通り論理式で表現すると
 \forall X \in {\bf{X}},\ \exists I,\ \exists (S_{i})_{i \in I},\ \forall C \in {\bf{C}},\ \forall f \colon X \to UC,\ \exists i \in I,\ \exists \phi \colon X \to US_{i},\ \exists \overline{f} \colon S_{i} \to C,\ f = U(\overline{f}) \circ \phi
となりますが、正しくは
 \forall X \in {\bf{X}},\ \exists I,\ \exists (S_{i})_{i \in I},\ \exists (\phi_{i} \colon X \to US_{i})_{i \in I},\ \forall C \in {\bf{C}},\ \forall f \colon X \to UC,\ \exists i \in I,\ \exists \overline{f} \colon S_{i} \to C,\ f = U(\overline{f}) \circ \phi_{i}
となります。

こちらの条件でないと、Theorem 9.29 の証明の中で Lemma 9.30 を使用することができません。

参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

圏論 原著第2版

圏論 原著第2版

Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 8

Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ

8.3 The Yoneda lemma

書籍の lemma 8.2 の証明は contravariant 版の米田の埋め込みに関する証明ですが、covariant 版の米田の埋め込みに対しても同様の lemma が成立します。
つまり  y \colon {\bf{C}}^{\text{op}} \to {\bf{Sets}}^{\bf{C}} を 任意の  C \in {\bf{C}} に対して  yC = \text{Hom}_{\bf{C}}(C, -) \colon {\bf{C}} \to {\bf{Sets}}、任意の  f \colon C \to D に対して  yf = \text{Hom}_{\bf{C}}(f, -) \colon \text{Hom}_{\bf{C}}(D, -) \to \text{Hom}_{\bf{C}}(C, -) で定義します。
このとき lemma 8.2 と同様に、任意の  C \in {\bf{C}} と任意の  F \in {\bf{Sets}}^{\bf{C}} に対して  \text{Hom}(yC, F) \cong FC が成立し、 y は埋め込みになります。
証明自体は書籍にある lemma 8.2 の証明とほとんど同じなので省略します。理解の確認のためにこちらの証明を書籍を見ながらやってみるといいと思います。

8.4 Applications of the Yoneda lemma

 y \left( (A^{B})^{C} \right) \cong y \left( A^{(B \times C)} \right)

 \text{Hom} \left( X, (A^{B})^{C} \right) \cong \text{Hom}(X \times C, A^{B}) \text{Hom}(X \times C, A^{B}) \cong \text{Hom} \left( (X \times C) \times B, A \right) \text{Hom} \left( X \times (B \times C), A \right) \cong \text{Hom} \left( X, A^{(B \times C)} \right) に関しては transpose を取る対応なので、exponential の UMP より同型となります。

 Lemma
\[ \text{Hom} \left( (X \times C) \times B, A \right) \cong \text{Hom} \left( X \times (B \times C), A \right) \] Proof.
同型射として  \left< \left<\pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>^{\ast} \colon \text{Hom} \left( (X \times C) \times B, A \right) \to \text{Hom} \left( X \times (B \times C), A \right) \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right>^{\ast} \colon \text{Hom} \left( X \times (B \times C), A \right) \to \text{Hom} \left( (X \times C) \times B, A \right) を取る。
このとき、任意の  f \colon (X \times C) \times B \to A に対して  \left( \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right>^{\ast} \circ \left< \left<\pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>^{\ast} \right)(f) = f を示せばよい。つまり   \left< \left<\pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right> = 1_{(X \times C) \times B} を示せばよい。
\[
\begin{align*}
& \pi_{X} \circ \pi_{X \times C} \circ \left< \left<\pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right> \\
&= \pi_{X} \circ \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right> \\
&= \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
& \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \circ \left< \left<\pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right> \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right> \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{X \times C}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
& \pi_{B} \circ \left< \left<\pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right> \qquad \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right> \\
&= \pi_{B}
\end{align*}
\]
が成り立つので、product の UMP より   \left< \left<\pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right> = 1_{(X \times C) \times B} が成り立つ。
任意の  g \colon X \times (B \times C) \to A に対して  \left( \left< \left<\pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>^{\ast} \circ \left< \pi_{X} \circ \pi_{X \times C}, \left< \pi_{B}, \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \right> \right>^{\ast} \right)(g) = g の証明も同様である。

 \square

次にそれぞれの同型射に関して、それが natural transformation であることを証明します。

 Lemma
\[ transpose \colon \text{Hom} \left( -, (A^{B})^{C} \right) \to \text{Hom}( - \times C, A^{B}) \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160715153254p:plain
任意の  f \colon X' \to X g \colon X \to (A^{B})^{C} に対して
\[
\begin{align*}
(f \times 1_{C})^{\ast}(\overline{g}) &= \overline{g} \circ (f \times 1_{C}) \\
&= \epsilon \circ (g \times 1_{C}) \circ (f \times 1_{C}) \\
&= \epsilon \circ \left( (g \circ f) \times 1_{C} \right) \\
&= \overline{g \circ f} \\
&= \overline{f^{\ast}(g)}
\end{align*}
\]

 \square

 Lemma
\[ transpose \colon \text{Hom}( - \times C, A^{B}) \to \text{Hom} \left( (- \times C) \times B, A \right) \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160715153305p:plain
任意の  f \colon X' \to X g \colon X \times C \to A^{B} に対して
\[
\begin{align*}
\left( (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right)^{\ast}(\overline{g}) &= \overline{g} \circ \left( (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right) \\
&= \epsilon \circ (g \times 1_{B}) \circ \left( (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right) \\
&= \epsilon \circ \left( (g \circ (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right) \\
&= \overline{g \circ (f \times 1_{C})} \\
&= \overline{(f \times 1_{C})^{\ast}(g)}
\end{align*}
\]

 \square

 Lemma
\[ \left< \left<\pi_{-}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>^{\ast} \colon \text{Hom} \left( (- \times C) \times B, A \right) \to \text{Hom} \left( - \times (B \times C), A \right) \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160715153316p:plain
任意の  f \colon X' \to X g \colon \left( (X \times C) \times B \right) \to A に対して
\[
\begin{align*}
\left( (f \times 1_{B \times C})^{\ast} \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>^{\ast} \right)(g) &= g \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ (f \times 1_{B \times C}) \\
&= g \circ \left( (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right) \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \\
&= \left( \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>^{\ast} \circ \left( (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right)^{\ast} \right)(g)
\end{align*}
\]
が成り立つことを示せばよい。これはつまり
  \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ (f \times 1_{B \times C}) =  \left( (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right) \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>
を示せばよい。
\[
\begin{align*}
\pi_{X} \circ \pi_{X \times C} \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ (f \times 1_{B \times C}) &= \pi_{X} \circ (f \times 1_{B \times C}) \\
&= f \circ \pi_{X}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{X} \circ \pi_{X \times C} \circ \left( (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right) \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> &= \pi_{X} \circ (f \times 1_{C}) \circ \pi_{X \times C} \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \\
&= f \circ \pi_{X} \circ \pi_{X \times C} \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \\
&= f \circ \pi_{X}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ (f \times 1_{B \times C}) &= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ (f \times 1_{B \times C}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \circ \left( (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right) \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> &= \pi_{C} \circ (f \times 1_{C}) \circ \pi_{X \times C} \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{X \times C} \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{B} \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ (f \times 1_{B \times C}) &= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ (f \times 1_{B \times C}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{B} \circ \left( (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right) \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> &= \pi_{B} \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}
\end{align*}
\]
以上が成り立つことと product の UMP より   \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> \circ (f \times 1_{B \times C}) =  \left( (f \times 1_{C}) \times 1_{B} \right) \circ \left< \left< \pi_{X}, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ transpose \colon \text{Hom} \left( - \times (B \times C), A \right) \to \text{Hom}( -, A^{B \times C}) \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160715153323p:plain
任意の  f \colon X' \to X g \colon X \times (B \times C) \to A に対して
\[
\begin{align*}
\overline{f^{\ast}(\widetilde{g})} &= \overline{\widetilde{g} \circ f} \\
&= \epsilon \circ ( \widetilde{g} \circ f \times 1_{B \times C}) \\
&= \epsilon \circ (\widetilde{g} \times 1_{B \times C}) \circ (f \times 1_{B \times C}) \\
&= g \circ (f \times 1_{B \times C}) \\
&= (f \times 1_{B \times C})^{\ast}(g)
\end{align*}
\]
が成り立つので、exponential の UMP より  f^{\ast}(\widetilde{g}) = \widetilde{(f \times 1_{B \times C})^{\ast}(g)} が成り立つ。

 \square

Proposition 8.6

上の証明と同様に証明できるので省略しますが、ここでは covariant 版の米田の埋め込みが使われていることに注意してください。

8.5 Limits in categories of diagrams

Proposition 8.7

ここでは  \varprojlim_{i \in J}{F_{i}} \colon {\bf{C}}^{\text{op}} \to {\bf{Sets}} が functor であること。またそれが  {\bf{Sets}}^{{\bf{C}}^{\text{op}}} において limit となることの証明が省略されています。これらの事柄を確認しておきましょう。証明を考える前に Proposition 5.21 を復習して、任意の small category  J と任意の functor  F \colon J \to  {\bf{Sets}}^{{\bf{C}}^{\text{op}}} に関して  F の limit が具体的にどのように構成されるかを再度確認しておいてください。

 Lemma
\[ \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) \text{ is a functor}. \] Proof.
任意の  C \in {\bf{C}} に対して  \left( \varprojlim_{i \in J}{F_{i}} \right)(C) = \varprojlim_{i \in J} (F_{i}C) で定義する。
次に任意の  f \colon C' \to C に対して次の diagram を考える。ただし  \phi,\psi などは Proposition 5.21 と同様に定義されているとする。
f:id:hitotakuchan:20160722162832p:plain
このとき任意の  \alpha \colon i \to j に対して  F(\alpha) が natural transformation であるから以下の diagram が可換となる。
f:id:hitotakuchan:20160722163817p:plain
このことに注意すると
\[\begin{align*}
\pi_{\alpha} \circ \psi \circ \left< F_{i}(f) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ e_{C} &= F(\alpha)_{C'} \circ \pi_{i} \circ \left< F_{i}(f) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ e_{C} \\
&= F(\alpha)_{C'} \circ F_{i}(f) \circ \pi_{i} \circ e_{C} \\
&= F_{j}(f) \circ F(\alpha)_{C} \circ \pi_{i} \circ e_{C} \\
&= F_{j}(f) \circ \pi_{\alpha} \circ \psi \circ e_{C} \\
&= F_{j}(f) \circ \pi_{\alpha} \circ \phi \circ e_{C} \\
&= F_{j}(f) \circ \pi_{j} \circ e_{C} \\
&= \pi_{\alpha} \circ \phi \circ \left< F_{i}(f) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ e_{C}
\end{align*}\]
が成り立つので、product の UMP より  \psi \circ \left< F_{i}(f) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ e_{C} = \phi \circ \left< F_{i}(f) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ e_{C} が成り立つ。よって equalizer の UMP より diagram を可換とするような  f' \colon \varprojlim_{i \in J} F_{i}C \to \varprojlim_{i \in J} F_{i}C' がただ一つ存在する。
そこで   \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(f) = f' と定義する。


 \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(f) \colon \varprojlim_{i \in J} F_{i}C \to \varprojlim_{i \in J} F_{i}C' = \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(C) \to \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(C') より  \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) は functor の条件 (a) を満たす。
次に equalizer の UMP より  \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(1_{C}) = 1_{\left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(C)} が成り立つので、 \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) は functor の条件 (b) を満たす。
最後に任意の  f \colon C' \to C g \colon C'' \to C' に対して、
\[\begin{align*}
\pi_{i} \circ e_{C''} \circ \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(f \circ g) &= \pi_{i} \circ \left< F(f \circ g) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ e_{C} \\
&= F(g) \circ F(f) \circ \pi_{i} \circ e_{C} \\
&= \pi_{i} \circ \left< F(g) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ \left< F(f) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ e_{C} \\
&= \pi_{i} \circ e_{C''} \circ \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(g) \circ \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(f)
\end{align*}\]
が成り立つので、product の UMP と equalizer の UMP より  \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(f \circ g) = \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(g) \circ \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(f) が成り立つ。よって  \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

次に  \theta_{i} \colon \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) \to F_{i} を任意の  C \in {\bf{C}} に対して  {\theta_{i}}_{C} = \pi_{i} \circ e_{C} で定義します。ここで  e_{C} は上で  \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) を定義する際に出てきたものとします。このとき  \left( \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right), (\theta_{i})_{i \in J} \right) F の limit となることを証明します。

 Lemma
\[ \left( \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right), (\theta_{i})_{i \in J} \right) \text{ is a cone of diagram } F. \] Proof.
はじめに  \theta_{i} が natural transformation となることを示す。
任意の  f \colon C' \to C に対して以下の diagram が可換になることを示せばよい。
f:id:hitotakuchan:20160722180440p:plain
\[\begin{align*}
{\theta_{i}}_{C'} \circ \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(f) &= \pi_{i} \circ e_{C'} \circ \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(f) \\
&= \pi_{i} \circ \left< F_{i}(f) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ e_{C} \\
&= F_{i}(f) \circ \pi_{i} \circ e_{C} \\
&= F_{i}(f) \circ {\theta_{i}}_{C}
\end{align*}\]
よって  \theta_{i} は natural transformation である。

次に任意の  \alpha \colon i \to j に対して
\[\begin{align*}
F(\alpha)(C) \circ {\theta_{i}}_{C} &= F(\alpha)(C) \circ \pi_{i} \circ e_{C} \\
&= \pi_{\alpha} \circ \psi \circ e_{C} \\
&= \pi_{\alpha} \circ \phi \circ e_{C} \\
&= \pi_{j} \circ e_{C} \\
&= {\theta_{j}}_{C}
\end{align*}\]
が成り立つので  \left( \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right), (\theta_{i})_{i \in J} \right) は diagram  F の cone である。

 \square

最後に  \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) が limit であることを証明する。

 Lemma
\[ \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) \text{ is a limit of diagram } F. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160723133652p:plain
 \left( G, (\eta_{i})_{i \in J} \right) を diagram  F の任意の cone とする。このとき Proposition 5.21 の議論にあるように、任意の  C \in {\bf{C}} に対して  \phi \circ \left< {\eta_{i}}_{C} \right>_{i \in J} = \psi \circ \left< {\eta_{i}}_{C} \right>_{i \in J} が成り立つので、 e_{C} \circ \mu_{C} = \left< {\eta_{i}}_{C} \right>_{i \in J} を満たす  \mu_{C} \colon G(C) \to \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(C) がただ一つ存在する。このとき  \mu \colon G \to \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) が natural transformation となることを示す。
f:id:hitotakuchan:20160723133707p:plain
任意の  f \colon C' \to C と任意の  i \in J に対して
\[\begin{align*}
\pi_{i} \circ e_{C'} \circ \mu_{C'} \circ G(f) &= \pi_{i} \circ \left< {\eta_{i}}_{C'} \right>_{i \in J} \circ G(f) \\
&= {\eta_{i}}_{C'} \circ G(f) \\
&\underset{\eta_{i} \text{ is natural}}{=} F_{i}(f) \circ {\eta_{i}}_{C} \\
&= \pi_{i} \circ \left< F_{i}(f) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ e_{C} \circ \mu_{C} \\
&= \pi_{i} \circ e_{C'} \circ \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(f) \circ \mu_{C}
\end{align*}\]
が成り立つので、product の UMP と equalizer の UMP より  \mu_{C'} \circ G(f) = \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right)(f) \circ \mu_{C} が成り立つ。

次に任意の  \nu \colon G \to \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) が cone  \left( G, (\eta_{i})_{i \in J} \right) から cone  \left( \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right), (\theta)_{i \in J} \right) への写像とすると任意の  C \in {\bf{C}} と任意の  i \in J に対して  \pi_{i} \circ e_{C} \circ \mu_{C} = {\theta_{i}}_{C} \circ \mu_{C} = {\eta_{i}}_{C} が成り立つので、product の UMP と equalizer の UMP より  \nu_{C} = \mu_{C} が成り立つ。よって  \left( \varprojlim_{i \in J} F_{i} \right) は diagram  F の limit である。

 \square

8.6 Colimits in categories of diagrams

Proposition 8.10

証明が省略されている箇所がいくつかあるので補っておきます。
任意の  x \in P(C) に対して米田の補題によって対応する natural transformation をここでは  \theta_{x} と書くことにします。米田の補題の証明を見返して  \theta_{x} の定義を再確認してください。
はじめに任意の  h \colon (x', C') \to (x, C) に対して  \theta_{x} \circ yh = \theta_{x'} が成り立つことを証明します。

 Lemma
\[ \theta_{x} \circ yh = \theta_{x'} \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160728135800p:plain
任意の  C'' \in {\bf{C}} と任意の  f \colon C'' \to C' に対して
\[\begin{align*}
\left( (\theta_{x})_{C''} \circ yh \right)(f) &= P(h \circ f)(x) \\
&= \left( P(f) \circ P(h) \right)(x) \\
&= P(f)(x') \\
&= (\theta_{x'})_{C''}(f)
\end{align*}\]

 \square

次に  \theta \colon P \to Q \theta_{C}(x) = (\theta_{(x,C)})_{C}(1_{C}) で定義するとき、 \theta \circ \theta_{x} = \theta_{(x,C)} が成り立つことを証明します。

 Lemma
\[ \theta \circ \theta_{x} = \theta_{(x,C)} \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160729171552p:plain
任意の  g \colon C'' \to C に対して、 Q が cocone であることより上の右の diagram が可換になることに注意すると
\[\begin{align*}
\left( \theta_{C''} \circ (\theta_{x})_{C''} \right)(g) &= \theta_{C''} \left( P(g)(x) \right) \\
&= \left( \theta_{\left( P(g)(x), C'' \right)} \right)_{C''}(1_{C''}) \\
&= \left( (\theta_{(x, C)})_{C''} \circ \text{Hom}(-, g) \right)(1_{C''}) \\
&= (\theta_{(x, C)})_{C''}(g)
\end{align*}\]
が成り立つ。

 \square

次に  \theta が natural transformation であることを証明します。

 Lemma
\[ \theta \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160909101920p:plain
任意の  f \colon C' \to C と任意の  x \in PC に対して、 \theta_{(x, C)} が natural transformation であるから上の右の diagram が可換になることに注意すると
\[\begin{align*}
\left( Q(f) \circ \theta_{C} \right)(x) &= \left( Q(f) \circ ( \theta_{(x, C)})_{C} \right)(1_{C}) \\
&= \left( (\theta_{(x,C)})_{C'} \circ \text{Hom}(f, -) \right)(1_{C}) \\
&= (\theta_{(x,C)})_{C'}(f)
\end{align*}\]
が成り立つ。一方先程の証明と同様に  \theta_{\left( P(f)(x), C' \right)} = \theta_{(x, C)} \circ yf が成り立つことに注意すると
\[\begin{align*}
\left( \theta_{C'} \circ P(f) \right)(x) &= (\theta_{\left( P(f)(x), C' \right)})_{C'}(1_{C'}) \\
&= \left( (\theta_{(x, C)})_{C'} \circ \text{Hom}(-, f) \right)(1_{C'}) \\
&= (\theta_{(x, C)})_{C'}(f)
\end{align*}\]
が成り立つ。

 \square

最後に  \theta が unique に決まることを証明します。

 Lemma
\[ \forall \varphi \colon P \to Q,\ \forall C,\ \forall x \in PC,\ \varphi \circ \theta_{x} = \theta_{(x, C)} \Rightarrow \varphi = \theta \] Proof.
任意の  x \in PC に対して
\[\begin{align*}
\varphi_{C}(x) &= \left( \varphi_{C} \circ (\theta_{x})_{C} \right)(1_{C}) \\
&= (\varphi \circ \theta_{x})_{C}(1_{C}) \\
&= (\theta_{(x,C)})_{C}(1_{C}) \\
&= \theta_{C}(x)
\end{align*}\]
が成り立つので  \varphi = \theta である。

 \square

8.7 Exponentials in categories of diagrams

ここでは  \theta_{j} \times B が cocone となることの証明が省略されていますが、これは簡単なので確認しておいてください。
次の  \theta_{C} が isomorphism であることを証明する箇所で  A_{j},B が集合であるとみなしてよいという点がわかりにくいかもしれません。
Propostiion 8.7 や 8.8 の議論から functor category においては limit や colimit は pointwise に定義されるのでした。そこで  \theta_{C} \colon \left( \varinjlim_{j}(A_{j} \times B) \right) (C) \to \left( (\varinjlim_{j} A_{j}) \times B \right)(C) の domain と codomain を展開すると  \theta_{C} \colon \varinjlim_{j} \left( A_{j}(C) \times B(C) \right) \to \left( \varinjlim_{j} A_{j}(C) \right) \times B(C) となります。 A_{j}(C) B(C) は集合です。そこで、 (C) の部分を書くのを省略して(記号を乱用して)  A_{j}, B を初めから集合とみなして考えましょうということです。

書籍では covariant 版の米田の補題を用いて  \varinjlim_{j}(A_{j} \times B) \cong (\varinjlim_{j} A_{j}) \times B を証明するという方針がとられています。証明では同型射であることは示されていますが、 X に関して natural であることの証明が省略されているので、これを補っておきます。

 \text{Hom} \left( \varinjlim_{j}(A_{j} \times B), X \right) \cong \varprojlim_{j} \text{Hom} (A_{j} \times B, X)

まず、任意の  X に対して  \text{Hom} \left( \varinjlim_{j}(A_{j} \times B), X \right) \cong \varprojlim_{j} \text{Hom} (A_{j} \times B, X) を証明します。

 Lemma
\[ \text{Hom} \left( \varinjlim_{j}(A_{j} \times B), X \right) \cong \varprojlim_{j} \text{Hom} (A_{j} \times B, X) \] Proof.
Proposition 5.21 の議論から colimit は以下の diagram によって具体的に構成される。
f:id:hitotakuchan:20160804114324p:plain
Corollary 5.27 より contravariant representable functor によって全ての colimit は limit に移されることに注意して以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20160804121117p:plain
ここで  (- \times B) \circ A A \times B と表すとすると、 \phi',\ \psi' はそれぞれ  \pi_{\alpha} \circ \phi' = \pi_{i},\ \pi_{\alpha} \circ \psi' = (A \times B)(\alpha)^{\ast} \circ \pi_{j} を満たす。

  •  \theta_{X} の定義

任意の  f \colon \varinjlim_{i} (A_{i} \times B) \to X に対して、 (\phi^{\ast} \circ e^{\ast})(f) = f \circ e \circ \phi = f \circ e \circ \psi = (\psi^{\ast} \circ e^{\ast})(f) が成り立つ。よって  f \circ e \circ i_{i} = f \circ e \circ \phi \circ i_{\alpha} = f \circ e \circ \psi \circ i_{\alpha} = f \circ e \circ i_{j} \circ (A \times B)(\alpha) が成り立つことに注意すると、
\[\begin{align*}
(\pi_{\alpha} \circ \phi' \circ \left< - \circ i_{i} \right>_{i \in J} \circ e^{\ast})(f) &= \pi_{i} \circ \left< f \circ e \circ i_{i} \right>_{i \in J} \\
&= f \circ e \circ i_{i} \\
&= f \circ e \circ i_{j} \circ (A \times B)(\alpha) \\
&= (A \times B)(\alpha)^{\ast} \circ \pi_{j} \circ \left< f \circ e \circ i_{i} \right>_{i \in J} \\
&= (\pi_{\alpha} \circ \psi' \circ \left< - \circ i_{i} \right>_{i \in J} \circ e^{\ast})(f)
\end{align*}\]
が成り立つ。よって product の UMP と equalizer の UMP より  e' \circ \theta_{X} = \left< - \circ i_{i} \right>_{i \in J} \circ e^{\ast} を満たすただ一つの  \theta_{X} が存在する。

  •  \theta_{X}^{-1} の定義

任意の  g \in \varprojlim_{i} \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), X \right) に対して、 \left( \phi^{\ast} \circ \left[ \pi_{i}(-) \right]_{i \in J} \circ e' \right)(g) = \left[ \pi_{i} \left( e'(g) \right) \right]_{i \in J} \circ \phi であることに注意すると、
\[\begin{align*}
\left[ \pi_{i} \left( e'(g) \right) \right]_{i \in J} \circ \phi \circ i_{\alpha} &= \left[ \pi_{i} \left( e'(g) \right) \right]_{i \in J} \circ i_{i} \\
&= \pi_{i} \left( e' (g) \right) \\
&= (\pi_{\alpha} \circ \phi' \circ e')(g)
\end{align*}\]
同様に、
\[\begin{align*}
\left[ \pi_{i} \left( e'(g) \right) \right]_{i \in J} \circ \psi \circ i_{\alpha} &= \left[ \pi_{i} \left( e'(g) \right) \right]_{i \in J} \circ i_{j} \circ (A \times B)(\alpha) \\
&= \pi_{j} \left( e'(g) \right) \circ (A \times B)(\alpha) \\
&= (\pi_{\alpha} \circ \psi' \circ e')(g)
\end{align*}\]
が成り立つ。よって  \phi' \circ e' = \psi' \circ e' であるから、coproduct の UMP と equalizer の UMP より  e^{\ast} \circ \theta_{X}^{-1} = [ \pi_{i}(-) ]_{i \in J} \circ e' を満たすただ一つの  \theta_{X}^{-1} が存在する。

  •  \theta_{X} が isomorphism であること

 \left< - \circ i_{i} \right>_{i \in J} \circ \left[ \pi_{i}(-) \right]_{i \in J} = 1_{\prod_{i} \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), X \right)} \left[ \pi_{i}(-) \right]_{i \in J} \circ \left< - \circ i_{i} \right>_{i \in J} = 1_{\text{Hom} \left( \coprod_{i}(A_{i} \times B), X \right)} が成り立つことは product の UMP、coproduct の UMP より容易に証明できる。
よって equalizer の UMP より  \theta_{X}^{-1} \circ \theta_{X} = 1_{\text{Hom} \left( \varinjlim_{i} (A_{i} \times B), X \right)} かつ  \theta_{X} \circ \theta_{X}^{-1} = 1_{\varprojlim_{i} \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), X \right)} が成り立つので、 \theta_{X} は isomorphism である。

 \square

次に  \theta_{X} \colon \text{Hom} \left( \varinjlim_{j}(A_{j} \times B), X \right) \to \varprojlim_{j} \text{Hom} \left( (A_{j} \times B), X \right) が natural in X であることを証明します。任意の  h \colon X \to Y に対して  \varprojlim_{i} \text{Hom}\left( (A_{i} \times B), h \right) がどのように定義されるかは Proposition 8.7 の証明を参照してください。

 Lemma
\[ \theta \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160804141626p:plain
任意の  h \colon X \to Y と任意の  f \colon \varinjlim_{i} (A_{i} \times B) \to X に対して、
\[\begin{align*}
\left( \pi_{i} \circ e'_{Y} \circ \varprojlim_{i} \text{Hom} \left((A_{i} \times B), h \right) \circ \theta_{X} \right)(f) &= \left( \pi_{i} \circ \left< \text{Hom}\left( (A_{i} \times B), h \right) \circ \pi_{i} \right>_{i \in J} \circ e'_{X} \circ \theta_{X} \right)(f) \\
&= \left( \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), h \right) \circ \pi_{i} \circ \left< - \circ i_{i} \right>_{i \in J} \circ e^{\ast} \right)(f) \\
&= h \circ f \circ e \circ i_{i}
\end{align*}\]
一方で
\[\begin{align*}
(\pi_{i} \circ e'_{Y} \circ \theta_{Y} \circ h_{\ast})(f) &= \left( \pi_{i} \circ \left< - \circ i_{i} \right>_{i \in J} \circ e^{\ast} \circ h_{\ast} \right) (f) \\
&= h \circ f \circ e \circ i_{i}
\end{align*}\]
が成り立つ。よって product の UMP と  e'_{Y} が monic であることより  \theta は natural transformation となる。

 \square

 \varprojlim_{j} \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), X \right) \cong \varprojlim_{j} \text{Hom} (A_{i}, X^{B})

任意の  i \in J に対して  \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), X \right) \cong \text{Hom}(A_{i}, X^{B}) は exponential の UMP より成り立ちます。このとき、 \varprojlim_{j} \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), X \right) \cong \varprojlim_{j} \text{Hom} (A_{i}, X^{B}) が成り立つことは自明でしょうか?
証明は上の証明とほとんど同じなので概略だけ示しておきます。

 Lemma
\[ \varprojlim_{j} \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), X \right) \cong \varprojlim_{j} \text{Hom} (A_{i}, X^{B}) \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160805111721p:plain
上の証明と同様に diagram を可換とするような  \theta_{X} \theta_{X}^{-1} が equalizer の UMP よりただ一つ存在する。
 \left< \widetilde{\pi_{i}(-)} \right>_{i \in J} \left< \overline{\pi_{i}(-)} \right>_{i \in J} は明らかに逆射となるので equalizer の UMP により  \theta_{X} は isomorphism である。

 \square

次に  \theta が natural transformation となることを証明します。任意の  h \colon X \to Y に対して  h^{B} \colon X^{B} \to Y^{B} がどのように定義されるのか Proposition 6.7 の証明をみて再確認してください。

 Lemma
\[ \theta \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160805114221p:plain
任意の  f \in \varprojlim_{i} \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), X \right) に対して、
\[\begin{align*}
\left( \pi_{i} \circ e'_{Y} \circ \varprojlim_{i} \text{Hom} (A_{i}, h^{B}) \circ \theta_{X} \right)(f) &= \left( \pi_{i} \circ \left< \text{Hom}(A_{i}, h^{B}) \circ \pi_{i}(-) \right>_{i \in J} \circ e'_{X} \circ \theta_{X} \right)(f) \\
&= \left( \text{Hom}(A_{i}, h^{B}) \circ \pi_{i} \circ \left< \widetilde{\pi_{i}(-)} \right>_{i \in J} \circ e_{X} \right)(f) \\
&= h^{B} \circ \widetilde{\pi_{i} \left( e_{X}(f) \right)}
\end{align*}\]
が成り立つ。また、
\[\begin{align*}
\left( \pi_{i} \circ e'_{Y} \circ \theta_{Y} \circ \varprojlim_{i} \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), h \right) \right)(f) &= \left( \pi_{i} \circ \left< \widetilde{ \pi_{i}(-) } \right>_{i \in J} \circ e_{Y} \circ \varprojlim_{i} \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), h \right) \right)(f) \\
&= \left( \widetilde{ \pi_{i}(-) } \circ \left< \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), h \right) \circ \pi_{i}(-) \right>_{i \in J} \circ e_{X} \right)(f) \\
&= \widetilde{h \circ \pi_{i} \left( e_{X}(f) \right)}
\end{align*}\]
が成り立つ。一方
\[\begin{align*}
eval_{Y} \circ \left( h^{B} \circ \widetilde{\pi_{i} \left( e_{X}(f) \right)} \times 1_{B} \right) &= eval_{Y} \circ ( h^{B} \times 1_{B}) \circ \left( \widetilde{ \pi_{i} \left( e_{X}(f) \right)} \times 1_{B} \right) \\
&= h \circ eval_{X} \circ \left( \widetilde{ \pi_{i} \left( e_{X}(f) \right)} \times 1_{B} \right) \\
&= h \circ \pi_{i} \left( e_{X}(f) \right)
\end{align*}\]
が成り立つので、exponential の UMP と product の UMP より  \varprojlim_{i} \text{Hom} (A_{i}, h^{B}) \circ \theta_{X} = \theta_{Y} \circ \varprojlim_{i} \text{Hom} \left( (A_{i} \times B), h \right) が成り立つ。

 \square


上の証明でわかるように natural transformation になることの証明が非常に面倒です。より簡単な証明はないのでしょうか?
今考えている圏が  {\bf{Sets}} であることを利用すると、もっと直接的に  \varinjlim_{j}(A_{j} \times B) \cong (\varinjlim_{j} A_{j}) \times B を示すことができます。

 Lemma
\[ \varinjlim_{j}(A_{j} \times B) \cong (\varinjlim_{j} A_{j}) \times B \] Proof.
ここでは  \coprod_{i} (A_{i} \times B) の要素を  \left( i, (a_{i}, b) \right) と表します。 u \colon \coprod_{i} (A_{i} \times B) \to \left( \coprod_{i} A_{i} \right) \times B u\left( \left( i, (a_{i}, b) \right) \right) = \left( (i, a_{i}), b \right) で定義する。すると  u が isomorphism となることは明らかである。このとき以下の diagram を考える。
f:id:hitotakuchan:20160808100525p:plain
任意の  \left( \alpha, (a_{i}, b) \right) \in \coprod_{\alpha \colon i \to j} (A_{i} \times B) に対して  (e' \circ u \circ \phi) \left( \alpha, (a_{i}, b) \right) = (e' \circ \phi') \left( (\alpha, a_{i}), b \right) = (e' \circ \psi') \left( (\alpha, a_{i}), b \right) = (e' \circ u \circ \psi) \left( \alpha, (a_{i}, b) \right) が成り立つので coequalizer の UMP より diagram を可換とする  \theta がただ一つ存在する。同様に  \theta^{-1} がただ一つ存在して、 u が isomorphism であるから coequalizer の UMP より  \theta は isomorphism となる。

 \square

Theorem 8.14

証明するべきことは  y(A \times B) \cong yA \times yB y(A^{B}) \cong yA^{yB} です。

 Lemma
\[ y(A \times B) \cong yA \times yB \] Proof.
natural isomorphism  \theta \colon y(A \times B) \to yA \times yB を構成すればよい。任意の  C \in {\bf{C}} に対して  \theta_{C} \colon \text{Hom}(C, A \times B) \to \text{Hom}(C,A) \times \text{Hom}(C, B) を任意の  h \colon C \to A \times B に対して  \theta_{C}(h) = (\pi_{A} \circ h, \pi_{B} \circ h) で定義する。すると product の UMP より  \theta_{C} は isomorphism となる。
次にこの  \theta C に関して natural であることを示す。
f:id:hitotakuchan:20160809104348p:plain
任意の  f \colon C' \to C と任意の  h \colon C \to A \times B に対して、 \left( (f^{\ast} \times f^{\ast}) \circ \theta_{C} \right)(h) = (\pi_{A} \circ h \circ f, \pi_{B} \circ h \circ f) = (\theta_{C'} \circ f^{\ast})(h) が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ y(A^{B}) \cong yA^{yB} \] Proof.
任意の  C \in {\bf{C}} に対して
\[\begin{align*}
y(A^{B})(C) = \text{Hom}(C, A^{B}) &\cong \text{Hom}(C \times B, A) \\
&= yA(C \times B) \\
&\cong \text{Hom} \left( y(C \times B), yA \right) \\
&\cong \text{Hom} ( yC \times yB, yA ) = yA^{yB}(C)
\end{align*}\]
が成り立つので、この isomorphism を  \theta_{C} とする。このとき  \theta C に関して natural であることを示せばよい。
その証明は今までの証明と同様なので省略する。

 \square

Theorem 8.14 は contravariant 版の米田の埋め込みに対しての定理ですが、covariant 版の米田の埋め込みに関してはどのようなことが成り立つでしょうか?考えて、証明してみてください。

8.8 Topoi

Proposition 8.18

書籍で  u_{C} の定義が与えられていますが、この表記はわかりにくいです。より正確には、 \theta \colon U \rightarrowtail E とすると任意の  e \in E(C) に対して  u_{C}(e) = \left\{ f \colon D \to C \ \middle|\ \exists y \in U(D),\ E(f)(e) = \theta_{D}(y) \right\} と定義されます。
このとき、 u_{C}(e) が sieve となること、つまり precomposition に対して閉じていることを確認する必要があります。さらに pullback condition に関しても証明する必要があります。

 Lemma
\[ u_{C}(e) \text{ is a sieve}. \] Proof.
任意の  g \colon F \to D と任意の  f \in u_{C}(e) に対して、 \exists y' \in U(F) が存在して  E(f \circ g)(e) = \theta_{F}(y') となることを示せばよい。
 f \in u_{C}(e) より、 \exists y \in U(D) が存在して  E(f)(e) = \theta_{D}(y) が成り立つ。 一方で  \theta が natural transformation であることより  E(g) \circ \theta_{D} = \theta_{F} \circ U(g) が成り立つことに注意すると、 E(f \circ g)(e) = \left( E(g) \circ E(f) \right)(e) = \left( E(g) \circ \theta_{D} \right)(y) = \left( \theta_{F} \circ U(g) \right)(y) = \theta_{F} \left( U(g)(y) \right) が成り立つ。
よって  y' = U(g)(y) とすれば、 f \circ g \in u_{C}(e) となるので  u_{C}(e) は sieve である。

 \square

 Lemma
\[ t \colon 1 \to \Omega \text{ is a subobject classifier}. \] Proof.
任意の  (X, \phi, \psi) u \circ \phi = t \circ \psi を満たすとする。このとき natural transformation  \exists \alpha \colon X \to U がただ一つ存在して  \phi = \theta \circ \alpha を満たすことを示せばよい。
任意の  C \in {\bf{C}} と任意の  x \in X(C) に対して  t_{C} が total sieve であることより、 1_{C} \colon C \to C \in u_{C} \left( \phi(x) \right) が成り立つ。言い換えると  \exists y \in U(C) が存在して  E(1_{C}) \left( \phi(x) \right) = \phi(x) = \theta_{C}(y) が成り立つ。そこで  \alpha_{C}(x) = y と定義する。このとき  \phi_{C}(x) = (\theta_{C} \circ \alpha_{C})(x) が成り立つ。

次に、任意の  f \colon C' \to C に対して
\[\begin{align*}
\theta_{C'} \circ U(f) \circ \alpha_{C} &= E(f) \circ \theta_{C} \circ \alpha_{C} \\
&= E(f) \circ \phi_{C} \\
&= \phi_{C'} \circ X(f) \\
&= \theta_{C'} \circ \alpha_{C'} \circ X(f)
\end{align*}\]
が成り立つ。 \theta_{C'} は monic であるから、 U(f) \circ \alpha_{C} = \alpha_{C'} \circ X(f) が成り立つ。よって  \alpha は natural transformation である。

最後に  \beta \colon X \to U を diagram を可換とするような natural transformation であるとする。
すると任意の  x \in X(C) に対して  \theta_{C} \left( \beta_{C}(x) \right) = \phi_{C}(x) = \theta_{C} \left( \alpha_{C}(x) \right) が成り立つが、 \theta_{C} は monic であるから、 \beta_{C}(x) = \alpha_{C}(x) となる。よって  \beta = \alpha となる。

 \square

参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

圏論 原著第2版

圏論 原著第2版

圏論の入門書籍・入門資料まとめ

はじめに

圏論が数学のみならず幅広い自然科学の分野で利用されるに従って、これから専門的に圏論を学習したいという人がますます増えてくると予想されます。
また Haskell 等の関数型言語を勉強する中で、圏論について専門的に勉強するまではいかないけどどのような学問なのか知っておきたい、という人もいるでしょう。
以前は圏論について知ろうと思うと初見殺しとして有名な 圏論の基礎 や英語の専門書しか利用できなかったのですが、最近では圏論について日本語で読める書籍が揃ってきました。
また、教科書的なものに限らず読み物的な書籍も幾つか出版されています。

現状でも圏論について書かれた書籍はたくさんあると思います。また、ネット上にもたくさんの圏論に関する解説ブログや資料があります。それらを全て読んで紹介することは不可能なので、ここでは以下のような基準 (必ずしも厳密ではない) を設けた上で、私の独断で入門書・入門資料として適切と思われるものを選択してみました。

  • 圏論への入門を意図して書かれたものであること
  • 内容にある程度以上の信頼性があること
  • ロジックやトポロジー等の数学の専門分野の知識を前提とせず、圏論そのものを主題としているもの

初めはリストアップするだけになりますが、ここで紹介している書籍や資料に関しては詳しく読んだ上で書評を随時アップデートしていきます。

このまとめが、これから圏論に入門しようとしている人のよい道標になれば幸いです。

読み物

圏論の歩き方

圏論の歩き方

今読んでいます。読み次第書評を書きます。

数学教室 πの焼き方: 日常生活の数学的思考

数学教室 πの焼き方: 日常生活の数学的思考

専門書籍

[asin:B00AKE1VFE:detail]
この本は本当に数学の素養が一切ない人向けに書かれた圏論の入門書です。数学の素養がなくても理解できる例を導入することから始まり、圏論の基本的な概念の導入まで書かれています。
ただし後半にいくほどに出てくる圏論の概念自体が難しくなっていくので、学習曲線が急になり次第に理解できなくなっていくと思います。Part Ⅳ あたりまで読んだら次の Awodey 本などに移行してもっと厳密な数学の証明スタイルに馴染んでいく必要があると思います。
一方で数学の素養がある人にとっては、ほとんど自明な話が延々と続いてやっと面白いと思う事柄が出てきたら終了するという感じになって物足りなさを感じると思います。流し読みするくらいの感じでいいと思います。


Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

圏論 原著第2版

圏論 原著第2版

入門書の中では日本語で読める唯一の書籍です。
2017 年 1 月 29 日に下の ベーシック圏論 普遍性からの速習コース が発売されました。
数学の素養を持たない人でも読めるようにと書かれていますが、集合論や位相論の知識は前提としていると思われます。ラムダ計算やロジックの例がたくさん出てくることから、計算機科学や論理学の知識があるとより読みやすいでしょう。
内容は定義、例、定理、証明という数学の専門書のスタイルで書かれています。証明は厳密で埋めないといけない行間はあまりないです。ですが、数学の素養がないとやはり証明を理解するのも難しいと思うので、私のこちらの記事などを参照して自分がこの本を読む準備ができているか確認してみてください。

ベーシック圏論 普遍性からの速習コース

ベーシック圏論 普遍性からの速習コース

Basic Category Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)

Basic Category Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)

すでに数学の素養があるのであれば、Awodey 本よりこちらの方がおすすめだという人もいます。私は詳しく読んでいないので、読んだら感想を追記します。


Category Theory for Computing Science (Prentice-Hall International Series in Computer Science)

Category Theory for Computing Science (Prentice-Hall International Series in Computer Science)

こちらも入門書としての評価は高いです。Fibration や Topos に章が割かれておりここまで紹介した書籍の中では一番専門的な内容になっていると思います。
目次の内容からはそこまで計算機科学に特化しているようには見えません。
PDF が以下で配布されています。
http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf


Category Theory for the Sciences (MIT Press)

Category Theory for the Sciences (MIT Press)

最近話題の関手データモデルの考案者 David Spivak による圏論の入門書です。Chapter 5 で関手データモデルも紹介されています。
関手データモデルについては詳しく勉強したいのですが、圏論の入門書としては少し物足りない感じがします。
この書籍は無料で PDF 版が以下で配布されています。
http://math.mit.edu/~dspivak/teaching/sp13/CT4S.pdf

より専門的な内容のもの

圏論の勉強をしていて分からないことがあったら一番最初に参照するサイトです。
ただし現在の圏論の最先端の知識を用いて極めて一般的、抽象的に定義などが書かれているため、検索でたどり着いたもののこれじゃない感を感じることがよくあります。
このサイトの記述、内容が理解できるようになったらその時点でかなりの圏論マスターじゃないかと思います。私はほとんど理解できません。


Category Theory in Context (Aurora: Dover Modern Math Originals)

Category Theory in Context (Aurora: Dover Modern Math Originals)

Chapter 6 のタイトルが All Concepts are Kan Extensions とあるので圏論の基礎と同程度の内容かと思います。ページ数が少なめで簡潔な記述になっています。すでに数学の素養のある人向けだと思います。
PDF が以下で配布されています。
http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf


Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics)

Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics)

圏論の基礎

圏論の基礎

Awodey 本を読んだ後、あるいはホモロジー代数などを勉強したあとなら普通に読めるようです。私はまだ読んでませんが、読める気がします。
私が数学を勉強する前にこの本を読んだ時の絶望感は半端じゃありませんでした。数学の素養がない状態では間違ってもこの本で圏論に入門しようなどとは思わない方がいいと思います。
ですがこれから圏論を専門的に研究したり、利用していこうと思うのであれば、Awodey 本の内容では物足りなくて、この本を読んでやっと圏論の基礎を身につけたという段階のようです。
頑張って読みましょう。私も読みます。


Toposes, Triples and Theories (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)

Toposes, Triples and Theories (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)

上で紹介した Category Theory for Computing Science (Prentice-Hall International Series in Computer Science) の著者らによる書籍です。タイトルにある Triples というのはモナドのことです。
PDF が以下で配布されています。
http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf


Handbook of Categorical Algebra: Volume 1, Basic Category Theory: 001 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

Handbook of Categorical Algebra: Volume 1, Basic Category Theory: 001 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

Handbook of Categorical Algebra: Volume 3, Sheaf Theory: 003 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

Handbook of Categorical Algebra: Volume 3, Sheaf Theory: 003 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)

twitter 上で圏論初心者を圏論上級者が殴る際に使われる武器。
Topos の話題が多いので数理論理学の人向けでしょうか。

終わりに

現在数学の素養が全くない状態でこれから圏論を専門的に勉強していきたいと考えている人が、いきなり圏論の勉強を始めても全く理解できないと思います。
そのような人が数学の何から勉強すればいいのか、どのような順序で勉強をすれば最短で圏論が理解できるようになるのかは以下の記事が参考になると思います。
www.orecoli.com

そんなに1から勉強している余裕はなくてとにかく圏論の書籍を読み始めたいという人には以下の記事が参考になると思います。
上で紹介した Awodey 本の副読本的な内容で書籍で省略されている証明や練習問題を中心に詳細な証明をしています。
www.orecoli.com


ここに挙げたものが全てではないですし、もっといいと思うものがあればコメント欄で教えて頂けると嬉しいです。

Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 7

Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ

7.5 Examples of natural transformations

Exercise 9

任意の  U \subseteq B に対して  f^{\ast} \colon \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(A) f^{\ast}(U) = \left\{ a \in A \ \middle| \ f(a) \in U \right\} と表すことができます。
同様に任意の  V \subseteq \mathcal{P}(A) に対して  f^{\ast\ast} \colon \mathcal{PP}(A) \to \mathcal{PP}(B) f^{\ast\ast}(V) = \left\{ U \in \mathcal{P}(B) \ \middle|\ f^{\ast}(U) \in V \right\} と表されます。

 Lemma
\[ \eta \colon 1_{\bf{Sets}} \to \ast\ast \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
任意の集合  A, B と任意の  f \colon A \to B に対して  f^{\ast\ast} \circ \eta_{A} = \eta_{B} \circ f が成り立つことを示せばよい。
任意の  a \in A に対して
\[
\begin{align*}
(f^{\ast\ast} \circ \eta_{A})(a) &= f^{\ast\ast} \left( \left\{ U \subseteq A \ \middle| \ a \in U \right\} \right) \\
&= \left\{ V \in \mathcal{P}(B) \ \middle| \ f^{\ast}(V) \in \left\{ U \subseteq A \ \middle| \ a \in U \right\} \right\} \\
&= \left\{ V \subseteq B \ \middle| \ a \in f^{-1}(V) \right\} \\
&= \left\{ V \subseteq B \ \middle| \ f(a) \in V \right\} \\
&= (\eta_{B} \circ f)(a)
\end{align*}
\]
が成り立つので、 \eta は natural transformation である。

 \square

7.6 Exponentials of categories

Proposition 7.13

書籍では、写像に対して片方の引数を固定した bifunctor を適用するとき  F(A, \beta) のように記述されていますが、これは厳密には  F_{1}(1_{A}, \beta) の意味であるということを確認しておきましょう。

 Lemma
\[ \epsilon \colon \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}}) \times {\bf{C}} \to {\bf{D}} \text { is functorial}. \] Proof.
 \epsilon_{0} を任意の  F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0} と任意の  C \in {\bf{C}}_{0} に対して  \epsilon_{0}(F,C) = F(C) で定義する。また  \epsilon_{1} を任意の  \theta \colon F \to G \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1} と任意の  f \colon C \to C' \in {\bf{C}}_{1} に対して  \epsilon_{1}(\theta, f) = G(f) \circ \theta_{C} で定義する。このとき bifunctor lemma より  \epsilon が functor となることを示す。

初めに  F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0} を固定すると、任意の  C \in {\bf{C}}_{0} と任意の  f \colon C \to C' \in {\bf{C}}_{1} に対して  \epsilon_{0}(F,C) = F(C) \epsilon_{1}(1_{F}, f) = F(f) \circ 1_{F(C)} = F(f) が成り立つ。よって  F が functor であることより  \epsilon(F, -) は functor である。

次に  C \in {\bf{C}}_{0} を固定すると、任意の  F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0} と任意の  \theta \colon F \to G \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1} に対して  \epsilon(-, C)_{1}(\theta) = \epsilon_{1}(\theta, 1_{C}) = \theta_{C} \colon F(C) \to G(C) = \theta_{C} \colon \epsilon(-, C)_{0}(F) \to \epsilon(-,C)_{0}(G) が成り立つ。よって  \epsilon(-,C) は functor の条件 (a) を満たす。
また  \epsilon(-,C)_{1}(1_{F}) = \epsilon(1_{F}, 1_{C}) = 1_{FC} = 1_{\epsilon(-,C)_{0}(F)} が成り立つので  \epsilon(-,C) は functor の条件 (b) を満たす。
任意の  \theta' \colon G \to H \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1} に対して  \epsilon(-,C)_{1}(\theta' \circ \theta) = H(1_{C}) \circ \theta'_{C} \circ \theta_{C} = \epsilon(-,C)_{1}(\theta') \circ \epsilon(-,C)_{1}(\theta) が成り立つので  \epsilon(-,C) は functor の条件 (c) を満たす。

 \epsilon が interchage law を満たすことは下の等しい diagram が可換になることと同値であるが、これは  \theta が natural transformation であることから自明である。

f:id:hitotakuchan:20160602133842p:plain

 \square

 Lemma
\[ \forall F \colon {\bf{X}} \times {\bf{C}} \to {\bf{D}},\, \exists \tilde{F} \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}}, {\bf{D}}),\, \epsilon \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}}) = F \] Proof.
 \tilde{F} \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}} を任意の  X \in {\bf{X}}_{0} と任意の  f \colon X \to X' \in {\bf{X}}_{1} に対して \tilde{F}_{0}(X) = F(X,-) \tilde{F}_{1}(f) = \left( F(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} で定義する。
このとき  \tilde{F}(f) が natural transformation になることは、任意の  C, C' \in {\bf{C}}_{0} と任意の  g \colon C \to C' に対して以下の diagram が可換になることと同値であるが、これは  F が functor であることより成り立つ。

f:id:hitotakuchan:20160603120017p:plain

次に  \tilde{F} が functor になることを示す。
上の議論より  \tilde{F}_{1}(f \colon X \to X') \colon \tilde{F}_{0}(X) \to \tilde{F}_{0}(X') となるので  \tilde{F} は functor の条件 (a) を満たす。
次に  \tilde{F}_{1}(1_{X}) = \left( F(1_{X}, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = 1_{\tilde{F}_{0}(X)} であるから  \tilde{F} は functor の条件 (b) を満たす。
最後に  \tilde{F}_{1}(f' \circ f) = \left( F(f' \circ f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( F(f', 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} \circ \left( F(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \tilde{F}_{1}(f') \circ \tilde{F}_{1}(f) が成り立つので  \tilde{F} は functor の条件 (c) を満たす。

最後に  \epsilon_{0} \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}})_{0}(X, C) = \epsilon_{0}(F(X, -), C) = F_{0}(X,C) \epsilon_{1} \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}})_{1}(f, g) = \epsilon_{1}(\tilde{F}(f), g) = F(1_{X'}, g) \circ F(f, 1_{C}) = F_{1}(f, g) が成り立つので  \epsilon \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}}) = F が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ \forall G \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}}, {\bf{D}}),\, \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)} = G \] Proof.
任意の  X \in {\bf{X}}_{0} と任意の  C \in {\bf{C}}_{0} に対して  \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{0}(X)(C) = \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}})(X, C) = G(X)(C) が成り立つ。
また任意の  g \in {\bf{C}}_{1} に対して  \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{0}(X)(g) = \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}})(1_{X}, g) = G(X)(g) \circ G(1_{X})_{C} = G(X)(g) が成り立つ。
次に任意の  f \colon X \to X' \in {\bf{X}}_{1} に対して   \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{1}(f) = \left( \left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( \epsilon \circ \left( G(f), 1_{C} \right) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( G(f)_{C} \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = G(f) が成り立つ。
以上より  \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)} = G が成り立つ。

 \square

7.8 Monoidal categories

Exercise 18

 \bf{C} が finite product を持つとき  ({\bf{C}}, \times, {\bf{1}}) が monoidal category になることを証明します。
初めに  \alpha \alpha = \left( \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right> \right)_{(A,B,C) \in {\bf{C}} \times {\bf{C}} \times {\bf{C}}} で定義します。また  \lambda \lambda = \left( \pi_{A} \colon {\bf{1}} \times A \to A \right)_{A \in {\bf{C}}} で定義し、同様に  \rho を定義します。
このとき  \alpha \lambda \rho が natural isomorphism となることを証明します。

 Lemma
\[ \alpha \text{ is a natural isomorphism}. \] Proof.

  • 任意の  A,B,C に対して  \alpha_{ABC} が isomorphism であること

 \alpha_{ABC}^{-1} \alpha_{ABC}^{-1} = \left< \pi_{A} \circ \pi_{A \times B}, \left< \pi_{B} \circ \pi_{A \times B}, \pi_{C} \right> \right> で定義する。
 \pi_{A} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = \pi_{A}
 \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}
 \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}
が成り立つので product の UMP より  \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = 1_{A \times (B \times C)} が成り立つ。
同様に
 \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{A} \circ \pi_{A \times B}
 \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{B} \circ \pi_{A \times B}
 \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{C}
が成り立つので product の UMP より  \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = 1_{(A \times B) \times C} が成り立つ。
よって  \alpha_{ABC} は isomorphism である。

  •  \alpha が natural transformation であること

任意の  f \colon A \to A', g \colon B \to B', h \colon C \to C' に対して以下の diagram が可換になればよい。
f:id:hitotakuchan:20160608145327p:plain

 \pi_{A'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A'} \circ (f \times g) \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = f \circ \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = f \circ \pi_{A}
 \pi_{A'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left(f \times (g \times h) \right) = \pi_{A'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = f \circ \pi_{A}

 \pi_{B'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B'} \circ (f \times g) \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = g \circ \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = g \circ \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}
 \pi_{B'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{B'} \circ \pi_{B' \times C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{B'} \circ (g \times h) \circ \pi_{B \times C} = g \circ \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}

 \pi_{C'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = h \circ \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} = h \circ \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}
 \pi_{C'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{C'} \circ \pi_{B' \times C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{C'} \circ (g \times h) \circ \pi_{B \times C} = h \circ \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}

が成り立つので product の UMP より  \left((f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ \lambda \text{ is a natural isomorphism}. \] Proof.

  • 任意の  A に対して  \lambda_{A} が isomorphism であること

terminal object  \bf{1} への写像を  \bf{1} で表すとすると以下の diagram より  \pi_{A} \circ \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> = 1_{A} が成り立つ。
f:id:hitotakuchan:20160608151255p:plain

一方、 \pi_{A} \circ \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> \circ \pi_{A} = \pi_{A} が成り立つので、以下の diagram は可換になる。
f:id:hitotakuchan:20160608151412p:plain

よって product の UMP より  \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> \circ \pi_{A} = 1_{A} が成り立つ。以上より  \lambda_{A} = \pi_{A} は isomorphism である。

  •  \lambda が natural transformation であること

任意の  f \colon A \to A' に対して  \pi_{A'} \circ (1_{\bf{1}} \times f) = f \circ \pi_{A} が成り立つので、 \pi_{A} は natural transformation である。

 \square

 \rho の場合も同様に証明できます。
次に2つの diagram が可換になることを証明します。3つ目の diagram は初めの2つの diagram の可換性から証明できるので省略します。
diagram に現れる  \alpha_{ABC \times D}, \alpha_{A \times BCD}, \alpha_{AB \times CD} に関して  \alpha の定義より以下のことが成り立つことを確認しておきます。
 \alpha_{ABC \times D} = \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right>, \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right>
 \alpha_{A \times BCD} = \left< \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right>, \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \right>
 \alpha_{AB \times CD} = \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right>, \pi_{D} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right>

 Lemma
\[ \forall A,B,C,D,\ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} = (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \] Proof.
\[
\begin{align*}
\pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{A} \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right> \\
&= \pi_{A}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1 \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A} \circ (1 \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right> \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{C} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{C} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{C} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{D} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{D} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{D} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{D} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]
以上と product の UMP より  \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} = (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ \forall A,\ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = 1_{A} \times \lambda_{A} \] Proof.
 A \times A から  A への projection を  \pi_{1}, \pi_{2} で表すと、
 \pi_{1} \circ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{1} \circ \pi_{A \times {\bf{1}}} \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A}
 \pi_{1} \circ (1_{A} \times \lambda_{A}) = \pi_{A}

 \pi_{2} \circ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A} \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A} \circ \pi_{{\bf{1}} \times A}
 \pi_{2} \circ (1_{A} \times \lambda_{A}) = \pi_{A} \circ \pi_{{\bf{1}} \times A}

が成り立つので product の UMP より  (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = 1_{A} \times \lambda_{A} が成り立つ。

 \square

7.9 Equivalence of categories

Proposition 7.26

(2 implies 1) の証明の中で  E \colon {\bf{D}} \to {\bf{C}} を定義するために、任意の  D \in {\bf{D}}_{0} に対して  E(D) \in {\bf{C}}_{0} を選ぶ箇所で選択公理を仮定しています。

7.10 Examples of equivalence

Proposition 7.28

arrow  f \colon A \rightharpoondown B (U_{f} \subseteq A, f) と表すことにします。すると  {\bf{Par}} における写像の結合は  (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) = (f^{-1}(U_{g}), g \circ f) と表せます。

 Lemma
\[ {\bf{Par}} \text{ is a category}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160613142238p:plain
任意の  (U_{f}, f),(U_{g}, g), (U_{h}, h) に対して  (U_{h}, h) \circ \left( (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) \right) = (U_{h}, h) \circ \left( f^{-1}(U_{g}), g \circ f \right) = \left( (g \circ f)^{-1}(U_{h}), h \circ (g \circ f) \right) \left( (U_{h}, h) \circ (U_{g}, g) \right) \circ (U_{f}, f) = \left( g^{-1}(U_{h}), h \circ g \right) \circ (U_{f}, f) = \left( f^{-1} \left( g^{-1}(U_{h}) \right), (h \circ g) \circ f \right) が成り立つ。
 (g \circ f)^{-1}(U_{h}) = (f^{-1} \circ g^{-1})(U_{h}) h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f が成り立つので、 (U_{h}, h) \circ \left( (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) \right) = \left( (U_{h}, h) \circ (U_{g}, g) \right) \circ (U_{f}, f) が成り立つ。

f:id:hitotakuchan:20160613142252p:plain
また  (B, 1_{B}) \circ (U_{f}, f) = \left( f^{-1}(B), 1_{B} \circ f \right) = (U_{f}, f) (U_{f}, f) \circ (A, 1_{A}) = \left( 1_{A}^{-1}(U_{f}), f \circ 1_{A} \right) = (U_{f}, f) が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ F \colon {\bf{Par}} \to {\bf{Sets}}_{\ast} \text{ is a funcotr}. \] Proof.
書籍のように  F を定義すると、任意の  f \colon A \rightharpoondown B に対して  F(f) \colon F(A) \to F(B) となるので、 F は functor の条件 (a) を満たす。
次に  1_{A} \colon A \rightharpoondown A = (A, 1_{A}) であることに注意して、
\[
F(1_{A})(x) = F \left( (A, 1_{A}) \right)(x) =
\begin{cases}
x & \text{if } x \in A \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
これは  1_{A_{\ast}} = 1_{F(A)} と等しい。よって  F は functor の条件 (b) を満たす。
最後に任意の  (U_{f}, f) \colon A \rightharpoondown B (U_{g}, g) \colon B \rightharpoondown C に対して
\[
F\left( (U_{g},g) \circ (U_{f}, f) \right)(x) =
\begin{cases}
(g \circ f)(x) & x \in f^{-1}(U_{g}) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
である。一方
\[
\begin{align*}
\left( F\left( (U_{g}, g) \right) \circ F \left( (U_{f}, f) \right) \right)(x) &= F \left( (U_{g}, g) \right) \circ
\begin{cases}
f(x) & x \in U_{f} \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases} \\
&=
\begin{cases}
g \left( f(x) \right) & f(x) \in U_{g} = x \in f^{-1}(U_{g}) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{align*}
\]
よって  F\left( (U_{g},g) \circ (U_{f}, f) \right) = F\left( (U_{g}, g) \right) \circ F \left( (U_{f}, f) \right) が成り立つので  F は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

 Lemma
\[ G \colon {\bf{Sets}}_{\ast} \to {\bf{Par}} \text{ is a functor}. \] Proof.
書籍のように  G を定義すると、任意の  f \colon (A, a) \to (B, b) に対して  G(f) \colon G\left( (A, a) \right) \to G \left( (B, b) \right) となるので  G は functor の条件 (a) を満たす。
次に  G(1_{(A,a)}) = \left( A - 1_{A}^{-1}(a), 1_{A} \middle|_{A - 1_{A}^{-1}(a)} \right) = (A - \{ a \}, 1_{A - \{a \}}) = 1_{G\left( (A, a) \right)} が成り立つので  G は functor の条件 (b) を満たす。
最後に任意の  f \colon (A,a) \to (B, b) g \colon (B, b) \to (C, c) に対して
 G(g \circ f) = \left( A - (g \circ f)^{-1}(c), (g \circ f) \middle|_{A - (g \circ f)^{-1}(c)} \right)
 G(g) \circ G(f) = \left( B - g^{-1}(c), g \middle|_{B - g^{-1}(c)} \right) \circ \left( A - f^{-1}(b), f \middle|_{A - f^{-1}(b)} \right) = \left( f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right), (g \circ f) \middle|_{f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right)} \right)
が成り立つ。一方で
\[
\begin{align*}
x \in A - (g \circ f)^{-1}(c) &\iff x \in A \land g\left( f(x) \right) \neq c \\
&\iff x \in A \land f(x) \in B - g^{-1}(c) \\
&\iff x \in f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right)
\end{align*}
\]
が成り立つので、 G(g \circ f) = G(g) \circ G(f) となり  G は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

 Lemma
\[ G \circ F = 1_{\bf{Par}} \] Proof.
 (G \circ F)_{0}(A) = G( A \cup \{\ast\}) = (A \cup \{\ast\}) - \{\ast\} = {1_{\bf{Par}}}_{0}(A) が成り立つ。
一方  (G \circ F)_{1}(U_{f}, f) = G(f_{\ast}) = (U_{G(f_{\ast})}, f_{\ast}) となるが、 U_{G(f_{\ast})} = (A \cup \{\ast\}) - f_{\ast}^{-1}(\ast) = U_{f} が成り立つので、 (U_{G(f_{\ast})}, f_{\ast}) = (U_{f}, f) となる。よって  (G \circ F)_{1} = {1_{\bf{Par}}}_{1} が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ F \circ G \simeq 1_{{\bf{Sets}}_{\ast}} \] Proof.
任意の  (A, a) に対して  \theta_{(A,a)} \colon (A,a) \to \left((A - a) \cup \{\ast\}, \ast \right) を以下のように定義する。
\[
\theta_{(A,a)}(x) =
\begin{cases}
x & x \neq a \\
\ast & x = a
\end{cases}
\]

  •  \theta_{(A,a)} が isomorphism であること

 \theta_{(A,a)} が surjective であることは明らかである。
任意の  x, y \in A に対して  \theta_{(A,a)}(x) = \theta_{(A,a)}(y) とする。まず  \theta_{(A,a)}(x) = x とする。このとき  \theta_{(A,a)}(y) = \ast とすると  \ast \in A となり  \ast \notin A と矛盾する。 \theta_{(A,a)}(y) = y とすると  x = y となり  \theta_{(A,a)} は injective である。
次に  \theta_{(A,a)}(x) = \ast とする。このとき  \theta_{(A,a)}(y) = \ast とすると  x = a = y となり  \theta_{(A,a)} は injective である。 \theta_{(A,a)}(y) = y とすると  \ast \in A となり  \ast \notin A と矛盾する。以上より  \theta_{(A,a)} は injective である。

  •  \theta が natural であること

f:id:hitotakuchan:20160618141711p:plain
任意の  f \colon (A,a) \to (B,b) に対して
\[
(F \circ G)(f) =
\begin{cases}
f(x) & x \in A - f^{-1}(b) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
と表せる。
初めに  \left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(a) = \ast = (\theta_{(B,b)} \circ f)(a) が成り立つ。
次に任意の  x \neq a \in f^{-1}(b) に対して  \left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(x) = \ast (\theta_{(B,b)} \circ f)(x) = \theta_{(B, b)}(b) = \ast が成り立つ。
最後に任意の  x \in A - f^{-1}(b) に対して  \left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(x) = f(x) = (\theta_{(B,b)} \circ f)(x) が成り立つ。
以上より  \theta は natural isomorphism である。

 \square

Example 7.29

 Lemma
\[ \Phi \text{ is a functor}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160621150317p:plain
書籍のように  \Phi \left( (A_{i})_{i \in I} \right) = \pi_{(A_{i})} \colon \coprod_{i \in I} A_{i} \to I で定義する。このとき、任意の  i \in I に対して任意の  a_{i} \in A_{i} i に対応させる constant map を  c_{i} \colon A_{i} \to I とすると、 \pi_{(A_{i})} \circ i_{A_{i}} = c_{i} が成り立つ。
次に任意の  (f_{i} \colon A_{i} \to B_{i})_{i \in I} に対して  \Phi \left( (f_{i}) \right) を次のように定義する。任意の  i \in I に対して  \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = i_{B_{i}} \circ f_{i} を満たす  \widetilde{f} \colon \coprod_{i \in I} A_{i} \to \coprod_{i \in I} B_{i} が coproduct の UMP よりただ一つ存在する。この  \widetilde{f} と任意の  i \in I に対して  \pi_{(B_{i})} \circ \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = \pi_{(B_{i})} \circ i_{B_{i}} \circ f_{i} = c_{i} \circ f_{i} = c_{i} が成り立つ。一方  \pi_{(A_{i})} \circ i_{A_{i}} = c_{i} であるから coproduct の UMP より  \pi_{(B_{i})} \circ \widetilde{f} = \pi_{(A_{i})} が成り立つ。そこで  \Phi \left( (f_{i}) \right) = \widetilde{f} と定義する。

初めに、 \Phi \left( (f_{i}) \colon (A_{i}) \to (B_{i}) \right) = \widetilde{f} \colon \Phi \left( (A_{i}) \right) \to \Phi \left( (B_{i}) \right) となるので  \Phi は functor の条件 (a) を満たす。
次に  \Phi (1_{(A_{i})}) = 1_{\coprod_{i \in I}(A_{i})} = 1_{\Phi \left( (A_{i}) \right)} となるので  \Phi は functor の条件 (b) を満たす。
最後に  \widetilde{g \circ f} の定義より  \widetilde{g \circ f} \circ i_{A_{i}} = i_{C_{i}} \circ g_{i} \circ f_{i} が成り立つ。一方で  \widetilde{g} \circ \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = \widetilde{g} \circ i_{B_{i}} \circ f_{i} = i_{C_{i}} \circ g_{i} \circ f_{i} が成り立つ。よって coproduct の UMP より  \Phi(g \circ f) = \Phi(g) \circ \Phi(f) が成り立ち、  \Phi は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

 Lemma
\[ \Psi \text{ is a functor}. \] Proof.
任意の  \alpha \colon A \to I に対して  \Psi(\alpha) = \left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I} で定義する。また任意の  f \colon \alpha \to \beta と任意の  i \in I に対して  f_{i} = f\vert_{\alpha^{-1}(i)} とする。すると  \alpha = \beta \circ f より  \alpha^{-1}(i) = (f^{-1} \circ \beta^{-1})(i) \iff f \left( \alpha^{-1}(i) \right) = \beta^{-1}(i) が成り立つので、 f_{i} \colon \alpha^{-1}(i) \to \beta^{-1}(i) となる。そこで  \Psi(f) \Psi(f) = (f_{i})_{i \in I} で定義する。

 \Psi(f \colon \alpha \to \beta) = (f_{i})_{i \in I} \colon \left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I} \to \left( \beta^{-1}(i) \right)_{i \in I} = (f_{i})_{i \in I} \colon \Psi(\alpha) \to \Psi(\beta) が成り立つので  \Psi は functor の条件 (a) を満たす。
次に  \Psi(1 \colon \alpha \to \alpha) = \left( 1 \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = 1_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I}} = 1_{\Psi(\alpha)} が成り立つので  \Psi は functor の条件 (b) を満たす。
最後に  \Psi( g \circ f \colon \alpha \to \gamma ) = \left( g \circ f \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = \left( g \middle|_{\beta^{-1}(i)} \right)_{i \in I} \circ \left( f \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = \Psi(g) \circ \Psi(f) が成り立つので  \Psi は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

 Lemma
\[ 1_{{\bf{Sets}}^{I}} \overset{\sim}{\to} \Psi \circ \Phi \] Proof.
任意の  (A_{i})_{i \in I} に対して  (\Psi \circ \Phi) \left( (A_{i})_{i \in I} \right) = \left( \left\{ (i, a) \, \middle| \,  a \in A_{i} \right\} \right)_{i \in I} であることに注意する。
 \theta_{(A_{i})} \colon (A_{i})_{i \in I} \to \left( \left\{ (i, a) \, \middle| \, a \in A_{i} \right\} \right)_{i \in I} を任意の  a \in A_{i} に対して  (\theta_{(A_{i})})_{i}(a) = (i,a) で定義する。
f:id:hitotakuchan:20160623155650p:plain

任意の  (f_{i}) \colon (A_{i})_{i \in I} \to (B_{i})_{i \in I} と任意の  i \in I a \in A_{i} に対して  \left( \Psi \circ \Phi \left( (f_{i}) \right) \circ \theta_{(A_{i})} \right)_{i}(a) = \left( i, f(a) \right) \left( \theta_{(B_{i})} \circ (f_{i}) \right)_{i}(a) = \left( i, f(a) \right) が成り立つ。 \theta_{(A_{i})} は明らかに isomorphism であるから、 \theta \colon 1_{{\bf{Sets}}^{I}} \to \Psi \circ \Phi は natural isomorphism である。

 \square

 Lemma
\[ 1_{{\bf{Sets}}/I} \overset{\sim}{\to} \Phi \circ \Psi \] Proof.
任意の  \alpha \colon A \to I に対して  (\Phi \circ \Psi)(\alpha) = \pi_{\left(\alpha^{-1}(i) \right)} \colon \coprod_{i \in I} \alpha^{-1}(i) \to I であることに注意する。
 \eta_{\alpha} \colon \alpha \to (\Phi \circ \Psi)(\alpha) を任意の  a \in A に対して  \eta_{\alpha}(a) = \left( \alpha(a),  a \right) で定義する。このとき  \alpha(a) = (\pi_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)} \circ \eta_{\alpha})(a) が成り立つのでこれは well-defined である。
次に  \eta_{\alpha}^{-1} \colon (\Phi \circ \Psi)(\alpha) \to \alpha を任意の  i \in I に対して  \eta_{\alpha}^{-1} \left( i, a \in \alpha^{-1}(i) \right) = a で定義すると、 \pi_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)} = \alpha \circ \eta_{\alpha}^{-1} が成り立つのでこれは well-defined である。
このとき明らかに  \eta_{\alpha}^{-1} \circ \eta_{\alpha} = 1_{\alpha} かつ  \eta_{\alpha} \circ \eta_{\alpha}^{-1} = 1_{(\Phi \circ \Psi)(\alpha)} が成り立つので  \eta_{\alpha} は isomorphism である。
f:id:hitotakuchan:20160623163037p:plain

任意の  f \colon \alpha \to \beta と任意の  a \in A に対して  \left( (\Phi \circ \Psi)(f) \circ \eta_{\alpha} \right)(a) = \left( (\Phi \circ \Psi)(f) \right) \left( \alpha(a), a \right) = \left( \alpha(a), f(a) \right) (\eta_{\beta} \circ f)(a) = \left( (\beta \circ f)(a), f(a) \right) = \left( \alpha(a), f(a) \right) が成り立つ。よって  \eta \colon 1_{{\bf{Sets}}/I} \to \Phi \circ \Psi は natural isomorphism である。

 \square

Lemma 7.33

lemma 7.33 は証明したかったのですが、私に Boolean Algebra に関する素養がないため証明できませんでした。
わかりやすい証明をご存知の方はコメント欄なので教えてください。

参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

圏論 原著第2版

圏論 原著第2版

Errata list for An Introduction to Algebraic Topology 4th edition.

はじめに

私は数年前に Joseph J Rotman著 『An Introduction to Algebraic Topology』を読んで、代数的トポロジーの勉強をしました。当時日本語で書かれた代数的トポロジーの書籍を何冊か探したのですが、定義や証明が十分に形式的に記述されているものはありませんでした。この本は、非常に定義、証明共に厳密で自習するには最適だったのですが、とにかく誤植が多い印象を受けました。
私が見つけた誤植を全て tex ファイルにして著者に送付したのですが何の response も得られませんでした。そこで、放置するのももったい無いので私のブログで公開しておきます。
これからこの書籍を使って勉強する人の役に少しでも立てばと思います。(詳細はすっかり忘れているので、質問には答えられないと思います)

Errata list

page 53 line 5

 \pi_{1}(R^{1},1) to  \pi_{1}(S^{1},1)

page 74 line -3

 \displaystyle \sum{m_{i}\partial(b.\sigma_{i})} = \sum{m_{i}(b-x_{i})} = (\sum{m_{i}})b-\gamma
to
 \displaystyle \sum{m_{i}\partial(b.\sigma_{i})} = \sum{m_{i}(x_{i}-b)} = \gamma-(\sum{m_{i}})b

 \sum{m_{i}\partial(b.\sigma_{i})} equals to  \sum{m_{i}( (b.\sigma_{i})(e_{1}) - (b.\sigma_{i})(e_{0}))}, and
applying  e_{1}(or  e_{0}) to  b.\sigma means that applying  t=0(or  t=1) to the equation  (b.\sigma)(t) = tb + (1-t)x.

page 77 line -7

 (\lambda^{X}_{1} - \lambda^{X}_{0} - P^{X}_{n-1}\partial_{n})(\sigma)
to
 ({\lambda^{X}_{1}}_{\#} - {\lambda^{X}_{0}}_{\#} - P^{X}_{n-1}\partial_{n})(\sigma)

page 114 line 6

I think that the sentence "It is easy to see that both definitions of  \text{Sd}_{n}(\sigma) agree when X is convex."
should be deleted or be changed to
"It is easy to see that both definitions of  \text{Sd}_{n}(\sigma) agree when X is convex and  \sigma is affine."
(when  \sigma is called  \textit{affine} will be defined in latter page!)

According to the definition of barycentric subdivision when X is a convex set,
\[\text{Sd}_{n}(\sigma) = \sigma(b_{n}).\text{Sd}_{n-1}(\partial\sigma) =
\begin{cases}
\sigma(b_{n}) & \text{if}\ t_{0} = 1 \\
t_{0}\sigma(b_{n}) + (1 - t_{0})\text{Sd}_{n-1}(\partial\sigma) \left( \frac{t_{1}}{1-t_{0}}, \dots ,\frac{t_{n+1}}{1-t_{0}} \right) & \text{if}\ t_{0} \neq 1
\end{cases} \].

On the other hand, according to the definition of barycentric subdivision when X is any space,
\[\text{Sd}_{n}(\sigma) = \sigma_{\#}\text{Sd}_{n}(\delta^{n}) =
\begin{cases}
\sigma(b_{n}) & \text{if}\ t_{0} = 1 \\
\sigma \left( t_{0}b_{n} + (1 - t_{0})\text{Sd}_{n-1}(\partial\delta^{n}) \left( \frac{t_{1}}{1-t_{0}}, \dots ,\frac{t_{n+1}}{1-t_{0}} \right) \right) & \text{if}\ t_{0} \neq 1
\end{cases}\].
These two do not coincide if  \sigma is not  \textit{affine}.

page 118 line -4

 D = d h_{\#}^{-1} q_{\#}
to
 D = d h_{*}^{-1} q_{*}

page 157 line 14

"the first is 18  \times 27 and the second is 27  \times 9"
to
"the first is 27  \times 18 and the second is 9  \times 27"

page 159 line -12

 z - z' \in B_{q}
to
 z - z' \in B_{q+1}

page 183 line 6

 ki = - ki = j
to
 ki = -ik = j

page 189 line -6

 \{\nu(\beta)\} \times \bar{W} \subset \bar{U}
to
 \{\nu(\beta)\} \times \bar{W} \subset U'

page 191 line -6

left top corner of 2nd diagram  U - \{0\}
to
 U' - \{0\}

page 213 line -13

 i\colon (X^{k-1},\emptyset) \hookrightarrow (X^{k},X^{k-1})
to
 i\colon (X^{k-1},\emptyset) \hookrightarrow (X^{k-1},X^{k-2})

page 266 line -18

"Since  \Delta^{p} \times \Delta^{p} is convex, we see that the model  (\Delta^{p},\Delta^{p}) is F-acyclic."
to
"Since  \Delta^{p} \times \Delta^{q} is convex, we see that the model  (\Delta^{p},\Delta^{q}) is F-acyclic."

page 276 line 14

 vw^{-1} = k^{-1}h
to
 vw^{-1} = h^{-1}k

page 277 last line

"Consider the diagram of continuous maps"
to
"Consider the  \textbf{commutative} diagram of continuous maps"

page 288 line 15

"there exits a  \textbf{unique} continuous  h\colon \tilde{X} \to \tilde{Y} making the following diagram commute"
to
"there exits a continuous  h\colon \tilde{X} \to \tilde{Y} making the following diagram commute"

Without specifying base points, there are many continuous maps making the diagram commute.

page 291 line 19

 \theta\colon H \to G//H
to
 \theta\colon X \to G//H

page 297 line 11

 f_{t} = f_{t_{0}} * \lambda
to
 f_{t} \sim f_{t_{0}} * \lambda

page 300 line -8

The sentence "Replacing  V by  V \cap U if necessary, we may assume that  V \subset U." is verbose.
Since,  F(V \times I) \subset U implies  V = F(V \times \{0\}) \subset U.

page 302 line 12

"It is easy to see that  \tilde{X}_{G} is a group with identity  \tilde{e} and with  [\bar{f}] the inverse of  [f]"
to
"It is easy to see that  \tilde{X}_{G} is a group with identity  \tilde{e} and with  {\langle \bar{f} \rangle}_{G} the inverse of  {\langle f \rangle}_{G}"

page 308 line -4

"if  U is open in  X"
to
"if  U is open in  \tilde{X}/H"

page 313 line -12

 x \in U \subset \bar{U} \subset W
to
 y \in U \subset \bar{U} \subset W

page 318 line 10

Right parenthesis for  (Hint\colon is missing.

page 323 line -15

"there are no cogroups in  \textbf{hTop}"
to
"there are no non-trivial cogroups in  \textbf{hTop}"

The empty set  \emptyset is the trivial cogroup object in  \textbf{hTop}.

page 324 line -3

In Lemma 11.6(i),  Z is used to represent a space, but  X is used in the proof.

page 331

I think the proof of the Theorem 11.12 is too concise or rather imprecise.

Suppose  F\colon \Sigma X \to Y is a continuous map.
If we define  \bar{F}\colon X \times I \to Y by  \bar{F} = F \circ \nu where  \nu\colon X \times I \to \Sigma X is a natural map,
then we can define  \tau_{XY} by  [F \to [\bar{F}^{\#}]].

In addition, if  H\colon \Sigma X \times I \to Y is a (pointed) homotopy from  F_{0} to  F_{1}, association of  H
is not a (pointed) homotopy from  F_{0}^{\#} to  F_{1}^{\#}.

So, first, we define  \bar{H} by  H \circ (\nu \times I) \circ u\colon X \times I \times I \to Y where
 \nu is a natural map and u is a same map as in Theorem 11.8.
Then we can show that  \bar{H}^{\#} is a (pointed) homotopy from  \bar{F}_{0}^{\#} to  \bar{F}_{1}^{\#}.

Similary, suppose  G\colon X \to \Omega Y is a continuous map,
If we define  \tilde{G^{\flat}}\colon \Sigma X \to Y by  \tilde{G^{\flat}} = G^{\flat} \circ \nu^{-1},
then we can define  {\tau_{XY}}^{-1} by  [G] to  [\tilde{G^{\flat}}].

If  H\colon X \times I \to \Omega Y is a (pointed) homotopy from  G_{0} to  G_{1},
then we can show  H^{\flat} \circ u \circ (\nu \times 1)^{-1} is a (pointed) homotopy from  \tilde{G_{0}^{\flat}} to  \tilde{G_{1}^{\flat}}.


I guess that it is hard to read this contents from the proof.

page 332 line 5

for all  \omega, \omega' \in \Omega X
to
for all  \omega, \omega' \in \Omega Y

page 334 line 9

 \Sigma S^{n} = S^{n} \wedge S^{1} = (\textbf{R}^{n})^{\infty} \wedge \textbf{R}^{\infty} = (\textbf{R}^{n} \times \textbf{R})^{\infty} = (\textbf{R}^{n+1})^{\infty} = S^{n+1}
to
 \Sigma S^{n} \approx S^{n} \wedge S^{1} \approx (\textbf{R}^{n})^{\infty} \wedge \textbf{R}^{\infty} \approx (\textbf{R}^{n} \times \textbf{R})^{\infty} = (\textbf{R}^{n+1})^{\infty} \approx S^{n+1}

page 336 line -4

"Recall the identities  \dot{\textbf{I}}^{n} = (\dot{\textbf{I}}^{n-1} \times \textbf{I}) \cup (\textbf{I}^{n-1} \times \dot{\textbf{I}})
and  (\textbf{I}^{n-1} \times \textbf{I})/(\dot{\textbf{I}}^{n-1}  \times \textbf{I}) = (\textbf{I}^{n-1}/\dot{\textbf{I}}^{n-1}) \times \textbf{I}"

I guess the second identity does not hold.
When  n = 2,  (\textbf{I} \times \textbf{I})/(\dot{\textbf{I}} \times \textbf{I}) means that
for all  s,  (0,s) and  (1,s) are identified to a single point.
On the other hand,  (\textbf{I}/\dot{\textbf{I}}) \times \textbf{I} means that for each  s,  (0,s) and  (1,s) is identified to a point,
but, for distinct  s, s',  [0,s] and  [0,s'] are still distinct.

page 339 line -13

" \textit{Let}  \alpha, \beta \in \mathcal{Q}(X,x_{0})."

In Lemma 11.23(i)  \beta \in \mathcal{Q}(X,x_{0}), but, in Lemma 11,23(ii),  \beta \in \mathcal{Q}(X,x_{1}).

page 347 line 17

 (x_{0}, \omega_{0}, \beta)
to
 (x_{0}, \omega_{0}, \beta^{-1})

page 348 line 7

 \omega_{0} \simeq f
to
 c \simeq f, where  c is the constant map at  y_{0}.

page 338 line -10

 F\colon fg \simeq c rel  x_{0}, where  c is the constant map at  x_{0}.
to
 F\colon c \simeq fg rel  z_{0}, where  z_{0} is the base point of  Z and  c is the constant map at  y_{0}.

The order of the homolopy  F is sensitive, since it is used to define  \phi\colon Z \to M(fg).

page 353 line -7

"Let  \beta\colon (D^{n+1},S^{n}) \to (X, A) be a pointed map, and assume further that  \beta(0) = x_{0}"

For  \tilde{\beta} to be a pointed map,  \tilde{\beta}(s_{n}) = (x_{0}, \omega_{s_{n}}) must be a base point of  Mi,
namely,  \omega_{s_{n}} must be a constant map at  x_{0}.
So, the condition  \beta(0) = x_{0} is not enough.
We need that for all  t \in \textbf{I},  \omega_{s_{n}}(t) = \beta(ts_{n}) = x_{0}.

If  \gamma(D^{n+1},S^{n}) \to (X,A) is any pointed map, there is a pointed pair homotopy  \gamma \simeq \gamma \xi,
and  \gamma \xi(ts_{n}) = x_{0}, since explicit formula of Lemma 11.41 is  F(z,s) = z + (1 - |z|)ss_{n}, and  F(ts_{n},1) = s_{n}.

This further condition does hold.

page 363 line 2

"Note that  h is well defined (i.e.,  h(u,0) = x_{0} for all  u \in S^{n-1})"

Why does this hold?
From the definition of  h on  D^{n} \times \{0\}, forall  u \in S^{n-1},  h(u, 0) = f(u) \in F, and
generally  f(u) \neq x_{0}.

I guess it works fine if we define  h only on  D^{n} \times \{0\}.

page 365 line 4

 G(\{u\} \times [0, b_{1}])
to
 G(\{u\} \times [0, t_{1}])

page 365 line 7

 \tilde{h}_{0}\colon L^{(0)} \times [0,t] \to E
to
 \tilde{h}_{0}\colon L^{(0)} \times [0,t_{1}] \to E

page 365 line 14

 \tilde{\nu}_{\sigma}|\sigma \times \{0\} = \tilde{f}i|\sigma \times \{0\}
to
 \tilde{\nu}_{\sigma}|\sigma \times \{0\} = \tilde{f}i^{-1}|\sigma \times \{0\}

page 365 line -8

 h\sigma(u, t)
to
 h^{\sigma}(u,t)

page 380 line 4

 P = \{P_{n}\colon S_{n}(X) \to S_{n+1}(Y)\}
to
 P = \{P_{n}\colon S_{n}(X) \to S_{n+1}(X \times \textbf{I})\}

page 382 line -6

"(Hint \colon If the projection  \sum A_{\lambda} \to A_{\lambda} is denoted by  p_{\lambda} and
if  f \colon \sum A_{\lambda} \to G, then  f \mapsto (p_{\lambda}f) is an isomorphism.)"
to
"(Hint \colon If the injection  A_{\lambda} \to \sum A_{\lambda} is denoted by  j_{\lambda} and
if  f \colon \sum A_{\lambda} \to G, then  f \mapsto (fj_{\lambda}) is an isomorphism.)"

page 387 line -8

 F_{n}/F'_{n-1}
to
 F_{n}/F'_{n}

page 387 line -3

 \alpha' \in F'_{n}
to
 \alpha' \in F'_{n-1}

page 403 line 4

"It can be shown that  R \otimes S is the coproduct of  R and  S in the category of rings(or the category of graded ring)"
to
"It can be shown that  R \otimes S is the coproduct of  R and  S in the category of  \textbf{commutative} rings
(or the category of  \textbf{commutative} graded ring)"

参考文献

An Introduction to Algebraic Topology (Graduate Texts in Mathematics)

An Introduction to Algebraic Topology (Graduate Texts in Mathematics)

Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 6

Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ

6.2 Cartesian closed categories

Example 6.5

 \omegaCPO はプログラミング言語の Denotational Semantics で使用される重要な代数構造なのでここでは詳しく証明しておきます。

 Q^{P} is an  \omegaCPO

任意の  f_{0} \leq f_{1} \leq \cdots に対して、 \varinjlim_{i} f_{i} を任意の  p \in P に対して  \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right)(p) = \varinjlim_{i} f_{i}(p) で定義します。この  \varinjlim_{i} f_{i} が monotone かつ  \omega-continuous であることを証明します。

 Lemma
\[ \varinjlim_{i} f_{i} \text{ is monotone}. \] Proof.
任意の  p, p' \in P と任意の  i \in N に対して、 f_{i} が monotone であることより、 f_{i}(p) \leq f_{i}(p') \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p') が成り立つ。よって colimit の UMP より  \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right)(p) = \varinjlim_{i} f_{i}(p) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p') = \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right)(p') が成り立つ。

 \square

次に  \varinjlim_{i} f_{i} \omega-continuous であることを証明するのですが、その前に準備として任意の  f_{0} \leq f_{1} \leq \cdots と任意の  p_{0} \leq p_{1} \leq \cdots に関して次の事柄を証明しておきます。

 Lemma
\[ \exists \varinjlim_{j} f_{0}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} f_{1}(p_{j}) \leq \cdots ,\, \exists \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) ,\, \forall i,\, \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) \] Proof.
任意の  i に対して  \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} f_{i+1}(p_{j}) を示せば、 \varinjlim_{j} f_{0}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} f_{1}(p_{j}) \leq \cdots \omega chain となる。すると  Q \omegaCPO であることから残りの性質は明らかである。
 f_{i}, f_{i+1} \omega-continuous であることから、 f_{i}(\varinjlim_{j} p_{j}) \leq f_{i+1}(\varinjlim_{j} p_{j}) を示せばよいが、  f_{i} \leq f_{i+1} であるからこれは成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ \exists \varinjlim_{i} f_{i}(p_{0}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{1}) \leq \cdots ,\, \exists \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) ,\, \forall j,\, \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) \] Proof.
任意の  j に対して  \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j+1}) を示せば、 \varinjlim_{i} f_{i}(p_{0}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{1}) \leq \cdots \omega chain となる。すると  Q \omegaCPO であることから残りの性質は明らかである。
 \varinjlim_{i} f_{i} が monotone であることより  \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) = \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right) (p_{j}) \leq \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right) (p_{j+1}) = \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j+1}) が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) = \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) \] Proof.

  •  \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) \leq \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right)

任意の  i と任意の  j に対して  f_{i} \leq \varinjlim_{i} f_{i} と上で示したことより  f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。
すると  \omega chain  f_{i}(p_{0}) \leq f_{i}(p_{1}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より  \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。
さらに上で示した  \omega chain  \varinjlim_{j} f_{0}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} f_{1}(p_{j}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より  \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) \leq \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。

  •  \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) \leq \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right)

任意の  j と任意の  i に対して  f_{i} が monotone であることと上で示したことより  f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。
すると  \omega chain  f_{0}(p_{j}) \leq f_{1}(p_{j}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より  \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。
さらに上で示した  \omega chain  \varinjlim_{i} f_{i}(p_{0}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{1}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より  \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) \leq \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) が成り立つ。

 \square

以上の準備を元に  \varinjlim_{i} f_{i} \omega-continuous であることを証明します。

 Lemma
\[ \varinjlim_{i} f_{i} \text{ is } \omega \text{-continuous}. \] Proof.
\[
\begin{align*}
\left( \varinjlim_{i} f_{i} \right) (\varinjlim_{j} p_{j}) &\underset{\text{def}}{=} \varinjlim_{i} f_{i} \left( \varinjlim_{j} p_{j} \right) \\
&\underset{f_{i} \text{ is continuous}}{=} \varinjlim_{i} \left( \varinjlim_{j} f_{i}(p_{j}) \right) \\
&= \varinjlim_{j} \left( \varinjlim_{i} f_{i}(p_{j}) \right) \\
&\underset{\text{def}}{=} \varinjlim_{j} \left( \left( \varinjlim_{i} f_{i} \right) (p_{j}) \right)
\end{align*}
\]

 \square

 \epsilon is  \omega-continuous

まず任意の  \omega chain  (f_{0}, p_{0}) \leq (f_{1}, p_{1}) \leq \cdots に関して以下の事柄を証明します。

 Lemma
\[ \varinjlim_{i} (f_{i}, p_{i}) = \left( \varinjlim_{j} f_{j}, \varinjlim_{k} p_{k} \right) \] Proof.
任意の  i に対して  f_{i} \leq \varinjlim_{j} f_{j} かつ  p_{i} \leq \varinjlim_{k} p_{k} が成り立つ。よって  (f_{i}, p_{i}) \leq \left( \varinjlim_{j} f_{j}, \varinjlim_{k} p_{k} \right) が成り立つ。
任意の  (x,y) と任意の  i に対して  (f_{i}, p_{i}) \leq (x, y) が成り立つとする。すると  \omega chain  f_{0} \leq f_{1} \leq \cdots に対する colimit の UMP より  \varinjlim_{j} f_{j} \leq x が成り立つ。同様に  \varinjlim_{k} p_{k} \leq y が成り立つ。よって  \left( \varinjlim_{j} f_{j}, \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq (x, y) が成り立つので、 \varinjlim_{i} (f_{i}, p_{i}) = \left( \varinjlim_{j} f_{j}, \varinjlim_{k} p_{k} \right) である。

 \square

 Lemma
\[ \epsilon \left( \varinjlim_{i} (f_{i}, p_{i}) \right) = \varinjlim_{i} \epsilon( f_{i}, p_{i}) \] Proof.
上で証明したことと  \epsilon の定義より、証明するべきことは  \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) = \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) である。

  •  \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) \leq \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right)

任意の  i に対して、
\[
\begin{align*}
f_{i}(p_{i}) &\underset{f_{i} \text{ is monotone}}{\leq} f_{i} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \\
&\leq \varinjlim_{j} \left( f_{j} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \right) \\
&\underset{\text{def}}{=} \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right)
\end{align*}
\]
 \omega chain  f_{0}(p_{0}) \leq f_{1}(p_{1}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より  \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) \leq \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) が成り立つ。

  •  \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i})

任意の  j と任意の  k に対して、 f_{j} (p_{k}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) を示す。
 j \leq k のとき、
 f_{j}(p_{k}) \leq f_{k}(p_{k}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) が成り立つ。
 k \leq j のとき、
 f_{j}(p_{k}) \leq f_{j}(p_{j}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) が成り立つ。
よって  \omega chain  f_{j}(p_{0}) \leq f_{j}(p_{1}) \leq \cdots に対する colimit の UMP より  \varinjlim_{k} f_{j}(p_{k}) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) が成り立つ。これは  f_{j} が continuous であることより  f_{j} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) と同値である。
すると  \omega chain  f_{0} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq f_{1} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq \cdots に対する colimit の UMP より  \varinjlim_{j} f_{j} \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) が成り立つ。定義より  \left( \varinjlim_{j} f_{j} \right) \left( \varinjlim_{k} p_{k} \right) \leq \varinjlim_{i} f_{i}(p_{i}) である。

 \square

 \tilde{f} is  \omega-continuous if  f is so

任意の  \omega chain  x_{0} \leq x_{1} \leq \cdots に対して、以下の事柄を証明します。

 Lemma
\[ \tilde{f} \left( \varinjlim_{i} x_{i} \right) = \varinjlim_{i} \tilde{f}(x_{i}) \] Proof.
任意の  p \in P に対して  \tilde{f} \left( \varinjlim_{i} x_{i} \right)(p) = \left( \varinjlim_{i} \tilde{f}(x_{i}) \right)(p) を示せばよいが、これは  \tilde{f} の定義より  f \left( \varinjlim_{i} x_{i}, p \right) = \varinjlim_{i} f(x_{i}, p) と同値である。
 \omega chain  (x_{0},p) \leq (x_{1}, p) \leq \cdots に対して、上で証明したことより  \varinjlim_{i} (x_{i}, p) = \left( \varinjlim_{i} x_{i}, p \right) が成り立つ。
よって  f \omega-continuous であることより  f \left( \varinjlim_{i} x_{i}, p \right) = f \left( \varinjlim_{i} (x_{i}, p) \right) = \varinjlim_{i} f(x_{i}, p) が成り立つ。

 \square

Example 6.6

初めにテキストの通りに定義された  \epsilon が graph homomorphism であることを証明します。

 Lemma
\[ \epsilon \colon H^{G} \times G \to H \text{ is a graph homomorphism}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160516120426p:plain
上の diagram が可換になることを示せばよい。
任意の  \theta \colon \phi \to \psi \in {H^{G}}_{e} と任意の  e \in G_{e} に対して、 (s \circ \epsilon_{e})(\theta, e) = s(\theta(e)) = \phi(s(e)) が成り立つ。さらに、 (\epsilon_{v} \circ s)(\theta, e) = \epsilon_{v}(s(\theta), s(e)) = \epsilon_{v}(\phi, s(e)) = \phi(s(e)) が成り立つ。よって  s \circ \epsilon_{e} = \epsilon_{v} \circ s が成り立つ。
同様に  t \circ \epsilon_{e} = \epsilon_{v} \circ t が成り立つ。

 \square

次に  H^{G} が exponential object in  \bf{Graphs} であることを証明します。

 Lemma
\[ H^{G} \text{ is an exponential object in } \bf{Graphs}. \] Proof.
初めに、任意の  f \colon F \times G \to H に対してテキストの通りに定義される  \tilde{f} \colon F \to H^{G} が graph homomorphism となることを証明する。それには次の diagram が可換となることを示せばよい。
f:id:hitotakuchan:20160516122209p:plain
これは任意の  c \colon a \to b \in F_{e} に対して、 \tilde{f}_{e}(c) \colon \tilde{f}_{v}(a) \to \tilde{f}_{v}(b) \colon \in H^{G}_{e} となることと同値であり、さらに  H^{G} の定義より以下の diagram が可換になることと同値である。
f:id:hitotakuchan:20160516123743p:plain
任意の  e \in G_{e} に対して、 \left( s \circ \tilde{f}_{e}(c) \right)(e) = s(f_{e}(c,e)) = f_{v}(s(c,e)) = f_{v}(a,s(e)) = \left( \tilde{f}_{v}(a) \right)(s(e)) = \left( \tilde{f}_{v}(a) \circ s \right)(e) が成り立つ。同様に  \left( t \circ \tilde{f}_{e}(c) \right)(e) = \left( \tilde{f}_{v}(b) \circ t \right)(e) が成り立つ。よって  \tilde{f} は graph homomorphism である。
この  \tilde{f} に対して  \epsilon \circ \left( \tilde{f} \times 1 \right) = f が成り立つことは明らかである。
次に任意の  f' \colon F \to H^{G} \epsilon \circ (f' \times 1) = f を満たすとする。
任意の  a \in F_{v} と任意の  u \in G_{v} に対して  f'_{v}(a)(u) = (\epsilon \circ (f' \times 1))(a, u) = f_{v}(a, u) = \tilde{f}_{v}(a)(u) が成り立つ。
また、任意の  c \in F_{e} と任意の  e \in G_{e} に対して  f'_{e}(c)(e) = (\epsilon \circ (f' \times 1))(c, e) = f_{e}(c, e) = \tilde{f}_{e}(c)(e) が成り立つ。よって  f' = \tilde{f} が成り立つ。

 \square

6.3 Heyting Algebras

Definition 6.10

lattice に関しては complete であることと cocomplete であることが同値であることを証明します。
さらっと書かれていますが、その前の poset  P がすべての set-indexed meets を持てば、圏論的な意味で complete となるということの証明はできますか?
set-indexed meets を持つというのは、任意の集合  I を離散圏とみなした場合に任意の diagram  D \colon I \to P が limit を持つことと言い換えられます。一方で、圏論的な意味で complete になるためには任意の diagram に対して limit を持たないといけません。
poset を圏とみなした場合、任意の対象間にはただ一つしか arrow が存在しないということから証明できます。

 Lemma
\[ \text{A lattice } (L, \leq) \text{ is complete} \Rightarrow (L, \leq) \text{ is cocomplete}. \] Proof.
任意の  I-index 集合  \left\{ a_{i} \in L \right\} に対して、集合  I' I' = \left\{ b \in L \, \middle| \, \forall i \in I,\, a_{i} \leq b \right\} で定義する。すると、 L が complete であることから、 I' の limit  \bigwedge_{b \in I'} b が存在する。これが  \left\{ a_{i} \right\} の colimit  \bigvee_{i \in I} a_{i} であることを示す。
任意の  i \in I と任意の  b \in I' に対して  I' の定義より  a_{i} \leq b が成り立つ。すると、 \bigwedge_{b \in I'} b I' の limit であるから limit の UMP より  a_{i} \leq \bigwedge_{b \in I'} b が成り立つ。
次に、任意の  x \in L が任意の  i \in I に対して  a_{i} \leq x を満たすとする。すると  I' の定義より  x \in I' が成り立つ。よって limit の定義より  \bigwedge_{b \in I'} b \leq x が成り立つ。
poset の anti-symmetricity より  \bigvee_{i \in I} a_{i} = \bigwedge_{b \in I'} b である。

 \square

6.7 Variable sets

6.7.1 において証明が省略されている事柄は exercise 15 としてまとめられているので、そちらの証明をしておきます。

Exercise 15(a)

 Lemma
\[ {\bf{2}}^{I} \text{ is a Heyting algebra}. \] Proof.

  •  {\bf{2}}^{I} has a terminal object  1

 1 を任意の  i \in I に対して  1(i) = \top で定義すると、任意の  f \in {\bf{2}}^{I} と任意の  i \in I に対して、 f(i) \leq 1(i) が成り立つので  f \leq 1 が成り立つ。

  •  {\bf{2}}^{I} has products

任意の  f,g \in {\bf{2}}^{I} に対して  f \land g を任意の  i \in I に対して  (f \land g)(i) = f(i) \land g(i) で定義する。すると  f \land g \leq f かつ  f \land g \leq g が成り立つ。このとき  f \land g が product となることを示す。
任意の  h \in {\bf{2}}^{I} に対して  h \leq f かつ  h \leq g が成り立つとすると、任意の  i \in I に対して  h(i) \leq f(i) \land g(i) が成り立つので、 h \leq f \land g が成り立つ。 {\bf{2}}^{I} が poset であることより、これはただ一つに決まる。

  •  {\bf{2}}^{I} has an initial object  0

 0 を任意の  i \in I に対して  0(i) = \bot で定義すれば、任意の  f \in {\bf{2}}^{I} に対して  0 \leq f が成り立つ。

  •  {\bf{2}}^{I} has coproducts

任意の  f,g \in {\bf{2}}^{I} に対して  f \lor g を任意の  i \in I に対して  (f \lor g)(i) = f(i) \lor g(i) で定義する。すると product の場合と同様に  f \lor g は coproduct となる。

  •  {\bf{2}}^{I} has exponentials

任意の  f, g \in {\bf{2}}^{I} に対して  f \Rightarrow g を任意の  i \in I に対して  (f \Rightarrow g)(i) = \top \iff \forall j \leq i,\, f(j) \leq g(j) で定義する。

 f \land g \leq h ならば  f \leq g \Rightarrow h が成り立つこと。
任意の  i \in I に対して  f(i) \leq (g \Rightarrow h)(i) を示せばよい。 f(i) = \bot ならば  f(i) \leq (g \Rightarrow h)(i) は明らかである。 f(i) = \top とすると、任意の  j \geq i に対して  g(j) \leq h(j) を示せばよいが、仮定より  f(j) \land g(j) \leq h(j) が成り立つ。また  f が monotone であることより  f(j) = \top が成り立つ。よって  g(j) \leq h(j) が成り立つ。

 f \leq g \Rightarrow h ならば  f \land g \leq h が成り立つこと。
任意の  i \in I に対して  f(i) \land g(i) \leq h(i) を示せばよい。 f(i) = \bot ならば  f(i) \land g(i) \leq h(i) は明らかである。 f(i) = \top とすると  g(i) \leq h(i) が成り立つことを示せばよい。仮定より  f(i) \leq g(i) \Rightarrow h(i) が成り立つが、 f(i) = \top より  g(i) \Rightarrow h(i) = \top である。よって exponential の定義より  g(i) \leq h(i) が成り立つ。

 \square

Exercise 15(b)

 Lemma
\[ y(a) \text{ is monotone}. \] Proof.
任意の  x \leq y \in A^{op} に対して  y(a)(x) \leq y(a)(y) \in {\bf{2}} を示せばよい。 y(a)(x) = \top の場合を考えれば十分である。このとき  x \leq a \in A が成り立つ。また  x \leq y \in A^{op} ならば  y \leq x \in A が成り立つので  y \leq a \in A が成り立つ。よって  y(a)(y) = \top となるので  y(a)(x) \leq y(a)(y) が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ y \text{ is monotone}. \] Proof.
任意の  a \leq b \in A に対して  y(a) \leq y(b) \in {\bf{2}}^{I} を示す。任意の  x \in A^{op} に対して  y(a)(x) = \top とすると  x \leq a \in A が成り立つ。 a \leq b \in A より  x \leq b \in A が成り立つので  y(b)(x) = \top となる。よって  y(a) \leq y(b) \in {\bf{2}}^{I} が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ y \text{ is injective}. \] Proof.
任意の  a,b \in A に対して  y(a) = y(b) が成り立つとする。このとき任意の  x \in A^{op} に対して  y(a)(x) = y(b)(x) が成り立つ。 x = a とすると  y(a)(a) = \top より  y(b)(a) = \top が成り立ち  a \leq b \in A が成り立つ。同様に  x = b とすると  b \leq a \in A が成り立つので  a = b となる。

 \square

 Lemma
\[ y \text{ preserves CCC structure}. \] Proof.

  • preserves terminal object  1

任意の  x \in A^{op} に対して  y(1)(x) = \top が成り立つので  y(1) = 1 \in {\bf{2}}^{I} である。

  • preserves products

任意の  a,b \in A と任意の  x \in A^{op} に対して  y(a \land b)(x) = \left( y(a) \land y(b) \right)(x) を示せばよい。つまり  x \leq a \land b \iff x \leq a \land x \leq b \in A を示せばよいが、これは  a \land b が product であることより明らかである。

  • preserves exponentials

任意の  a,b \in A と任意の  x \in A^{op} に対して  y(a \Rightarrow b)(x) = \left( y(a) \Rightarrow y(b) \right)(x) を示せばよい。つまり  x \leq a \Rightarrow b \iff \forall y \geq x \in A^{op},\, y(a)(y) \leq y(b)(y) を示せばよい。

only if case
 y \leq a \in A とすると  x \leq y \in A^{op} より  y \leq x \in A であるから、 y \leq x \land a が成り立つ。一方、仮定より  x  \leq a \Rightarrow b であるから  x \land a \leq b が成り立つ。よって  y \leq b \in A となるので  y(a)(y) \leq y(b)(y) が成り立つ。

if case
 x \land a \leq x \in A が成り立つことから  x \leq x \land a \in A^{op} が成り立つ。すると仮定より  y(a)(x \land a) \leq y(b)(x \land a) が成り立つ。 x \land a \leq a \in A は常に成り立つので、 y(a)(x \land a) = \top となるから  y(b)(x \land a) = \top つまり  x \land a \leq b \in A が成り立つ。よって  x \leq a \Rightarrow b が成り立つ。

 \square

参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

圏論 原著第2版

圏論 原著第2版