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Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 7

Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ

7.5 Examples of natural transformations

Exercise 9

任意の  U \subseteq B に対して  f^{\ast} \colon \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(A) f^{\ast}(U) = \left\{ a \in A \ \middle| \ f(a) \in U \right\} と表すことができます。
同様に任意の  V \subseteq \mathcal{P}(A) に対して  f^{\ast\ast} \colon \mathcal{PP}(A) \to \mathcal{PP}(B) f^{\ast\ast}(V) = \left\{ U \in \mathcal{P}(B) \ \middle|\ f^{\ast}(U) \in V \right\} と表されます。

 Lemma
\[ \eta \colon 1_{\bf{Sets}} \to \ast\ast \text{ is a natural transformation}. \] Proof.
任意の集合  A, B と任意の  f \colon A \to B に対して  f^{\ast\ast} \circ \eta_{A} = \eta_{B} \circ f が成り立つことを示せばよい。
任意の  a \in A に対して
\[
\begin{align*}
(f^{\ast\ast} \circ \eta_{A})(a) &= f^{\ast\ast} \left( \left\{ U \subseteq A \ \middle| \ a \in U \right\} \right) \\
&= \left\{ V \in \mathcal{P}(B) \ \middle| \ f^{\ast}(V) \in \left\{ U \subseteq A \ \middle| \ a \in U \right\} \right\} \\
&= \left\{ V \subseteq B \ \middle| \ a \in f^{-1}(V) \right\} \\
&= \left\{ V \subseteq B \ \middle| \ f(a) \in V \right\} \\
&= (\eta_{B} \circ f)(a)
\end{align*}
\]
が成り立つので、 \eta は natural transformation である。

 \square

7.6 Exponentials of categories

Proposition 7.13

書籍では、写像に対して片方の引数を固定した bifunctor を適用するとき  F(A, \beta) のように記述されていますが、これは厳密には  F_{1}(1_{A}, \beta) の意味であるということを確認しておきましょう。

 Lemma
\[ \epsilon \colon \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}}) \times {\bf{C}} \to {\bf{D}} \text { is functorial}. \] Proof.
 \epsilon_{0} を任意の  F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0} と任意の  C \in {\bf{C}}_{0} に対して  \epsilon_{0}(F,C) = F(C) で定義する。また  \epsilon_{1} を任意の  \theta \colon F \to G \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1} と任意の  f \colon C \to C' \in {\bf{C}}_{1} に対して  \epsilon_{1}(\theta, f) = G(f) \circ \theta_{C} で定義する。このとき bifunctor lemma より  \epsilon が functor となることを示す。

初めに  F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0} を固定すると、任意の  C \in {\bf{C}}_{0} と任意の  f \colon C \to C' \in {\bf{C}}_{1} に対して  \epsilon_{0}(F,C) = F(C) \epsilon_{1}(1_{F}, f) = F(f) \circ 1_{F(C)} = F(f) が成り立つ。よって  F が functor であることより  \epsilon(F, -) は functor である。

次に  C \in {\bf{C}}_{0} を固定すると、任意の  F \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{0} と任意の  \theta \colon F \to G \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1} に対して  \epsilon(-, C)_{1}(\theta) = \epsilon_{1}(\theta, 1_{C}) = \theta_{C} \colon F(C) \to G(C) = \theta_{C} \colon \epsilon(-, C)_{0}(F) \to \epsilon(-,C)_{0}(G) が成り立つ。よって  \epsilon(-,C) は functor の条件 (a) を満たす。
また  \epsilon(-,C)_{1}(1_{F}) = \epsilon(1_{F}, 1_{C}) = 1_{FC} = 1_{\epsilon(-,C)_{0}(F)} が成り立つので  \epsilon(-,C) は functor の条件 (b) を満たす。
任意の  \theta' \colon G \to H \in \text{Fun}({\bf{C}},{\bf{D}})_{1} に対して  \epsilon(-,C)_{1}(\theta' \circ \theta) = H(1_{C}) \circ \theta'_{C} \circ \theta_{C} = \epsilon(-,C)_{1}(\theta') \circ \epsilon(-,C)_{1}(\theta) が成り立つので  \epsilon(-,C) は functor の条件 (c) を満たす。

 \epsilon が interchage law を満たすことは下の等しい diagram が可換になることと同値であるが、これは  \theta が natural transformation であることから自明である。

f:id:hitotakuchan:20160602133842p:plain

 \square

 Lemma
\[ \forall F \colon {\bf{X}} \times {\bf{C}} \to {\bf{D}},\, \exists \tilde{F} \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}}, {\bf{D}}),\, \epsilon \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}}) = F \] Proof.
 \tilde{F} \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}} を任意の  X \in {\bf{X}}_{0} と任意の  f \colon X \to X' \in {\bf{X}}_{1} に対して \tilde{F}_{0}(X) = F(X,-) \tilde{F}_{1}(f) = \left( F(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} で定義する。
このとき  \tilde{F}(f) が natural transformation になることは、任意の  C, C' \in {\bf{C}}_{0} と任意の  g \colon C \to C' に対して以下の diagram が可換になることと同値であるが、これは  F が functor であることより成り立つ。

f:id:hitotakuchan:20160603120017p:plain

次に  \tilde{F} が functor になることを示す。
上の議論より  \tilde{F}_{1}(f \colon X \to X') \colon \tilde{F}_{0}(X) \to \tilde{F}_{0}(X') となるので  \tilde{F} は functor の条件 (a) を満たす。
次に  \tilde{F}_{1}(1_{X}) = \left( F(1_{X}, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = 1_{\tilde{F}_{0}(X)} であるから  \tilde{F} は functor の条件 (b) を満たす。
最後に  \tilde{F}_{1}(f' \circ f) = \left( F(f' \circ f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( F(f', 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} \circ \left( F(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \tilde{F}_{1}(f') \circ \tilde{F}_{1}(f) が成り立つので  \tilde{F} は functor の条件 (c) を満たす。

最後に  \epsilon_{0} \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}})_{0}(X, C) = \epsilon_{0}(F(X, -), C) = F_{0}(X,C) \epsilon_{1} \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}})_{1}(f, g) = \epsilon_{1}(\tilde{F}(f), g) = F(1_{X'}, g) \circ F(f, 1_{C}) = F_{1}(f, g) が成り立つので  \epsilon \circ (\tilde{F} \times 1_{\bf{C}}) = F が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ \forall G \colon {\bf{X}} \to \text{Fun}({\bf{C}}, {\bf{D}}),\, \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)} = G \] Proof.
任意の  X \in {\bf{X}}_{0} と任意の  C \in {\bf{C}}_{0} に対して  \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{0}(X)(C) = \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}})(X, C) = G(X)(C) が成り立つ。
また任意の  g \in {\bf{C}}_{1} に対して  \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{0}(X)(g) = \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}})(1_{X}, g) = G(X)(g) \circ G(1_{X})_{C} = G(X)(g) が成り立つ。
次に任意の  f \colon X \to X' \in {\bf{X}}_{1} に対して   \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)}_{1}(f) = \left( \left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)(f, 1_{C}) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( \epsilon \circ \left( G(f), 1_{C} \right) \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = \left( G(f)_{C} \right)_{C \in {\bf{C}}_{0}} = G(f) が成り立つ。
以上より  \widetilde{\left( \epsilon \circ (G \times 1_{\bf{C}}) \right)} = G が成り立つ。

 \square

7.8 Monoidal categories

Exercise 18

 \bf{C} が finite product を持つとき  ({\bf{C}}, \times, {\bf{1}}) が monoidal category になることを証明します。
初めに  \alpha \alpha = \left( \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right>, \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \right> \right)_{(A,B,C) \in {\bf{C}} \times {\bf{C}} \times {\bf{C}}} で定義します。また  \lambda \lambda = \left( \pi_{A} \colon {\bf{1}} \times A \to A \right)_{A \in {\bf{C}}} で定義し、同様に  \rho を定義します。
このとき  \alpha \lambda \rho が natural isomorphism となることを証明します。

 Lemma
\[ \alpha \text{ is a natural isomorphism}. \] Proof.

  • 任意の  A,B,C に対して  \alpha_{ABC} が isomorphism であること

 \alpha_{ABC}^{-1} \alpha_{ABC}^{-1} = \left< \pi_{A} \circ \pi_{A \times B}, \left< \pi_{B} \circ \pi_{A \times B}, \pi_{C} \right> \right> で定義する。
 \pi_{A} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = \pi_{A}
 \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}
 \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} = \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}
が成り立つので product の UMP より  \alpha_{ABC}^{-1} \circ \alpha_{ABC} = 1_{A \times (B \times C)} が成り立つ。
同様に
 \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{A} \circ \pi_{A \times B}
 \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{B} \circ \pi_{A \times B}
 \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = \pi_{C}
が成り立つので product の UMP より  \alpha_{ABC} \circ \alpha_{ABC}^{-1} = 1_{(A \times B) \times C} が成り立つ。
よって  \alpha_{ABC} は isomorphism である。

  •  \alpha が natural transformation であること

任意の  f \colon A \to A', g \colon B \to B', h \colon C \to C' に対して以下の diagram が可換になればよい。
f:id:hitotakuchan:20160608145327p:plain

 \pi_{A'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \pi_{A'} \circ (f \times g) \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = f \circ \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = f \circ \pi_{A}
 \pi_{A'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left(f \times (g \times h) \right) = \pi_{A'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = f \circ \pi_{A}

 \pi_{B'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \pi_{B'} \circ (f \times g) \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} = g \circ \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \right> = g \circ \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}
 \pi_{B'} \circ \pi_{A' \times B'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{B'} \circ \pi_{B' \times C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{B'} \circ (g \times h) \circ \pi_{B \times C} = g \circ \pi_{B} \circ \pi_{B \times C}

 \pi_{C'} \circ \left( (f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = h \circ \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} = h \circ \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}
 \pi_{C'} \circ \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{C'} \circ \pi_{B' \times C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) = \pi_{C'} \circ (g \times h) \circ \pi_{B \times C} = h \circ \pi_{C} \circ \pi_{B \times C}

が成り立つので product の UMP より  \left((f \times g) \times h \right) \circ \alpha_{ABC} = \alpha_{A'B'C'} \circ \left( f \times (g \times h) \right) が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ \lambda \text{ is a natural isomorphism}. \] Proof.

  • 任意の  A に対して  \lambda_{A} が isomorphism であること

terminal object  \bf{1} への写像を  \bf{1} で表すとすると以下の diagram より  \pi_{A} \circ \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> = 1_{A} が成り立つ。
f:id:hitotakuchan:20160608151255p:plain

一方、 \pi_{A} \circ \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> \circ \pi_{A} = \pi_{A} が成り立つので、以下の diagram は可換になる。
f:id:hitotakuchan:20160608151412p:plain

よって product の UMP より  \left< {\bf{1}}, 1_{A} \right> \circ \pi_{A} = 1_{A} が成り立つ。以上より  \lambda_{A} = \pi_{A} は isomorphism である。

  •  \lambda が natural transformation であること

任意の  f \colon A \to A' に対して  \pi_{A'} \circ (1_{\bf{1}} \times f) = f \circ \pi_{A} が成り立つので、 \pi_{A} は natural transformation である。

 \square

 \rho の場合も同様に証明できます。
次に2つの diagram が可換になることを証明します。3つ目の diagram は初めの2つの diagram の可換性から証明できるので省略します。
diagram に現れる  \alpha_{ABC \times D}, \alpha_{A \times BCD}, \alpha_{AB \times CD} に関して  \alpha の定義より以下のことが成り立つことを確認しておきます。
 \alpha_{ABC \times D} = \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right>, \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right>
 \alpha_{A \times BCD} = \left< \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right>, \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \right>
 \alpha_{AB \times CD} = \left< \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right>, \pi_{D} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right>

 Lemma
\[ \forall A,B,C,D,\ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} = (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \] Proof.
\[
\begin{align*}
\pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{A} \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right> \\
&= \pi_{A}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{A} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1 \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A} \circ (1 \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{A}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{B} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \right> \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{B} \circ \pi_{A \times B} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{B} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{C} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{C} \circ \left< \pi_{A \times B}, \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \right> \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{C} \circ \pi_{(A \times B) \times C} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{C} \circ \alpha_{ABC} \circ \pi_{A \times (B \times C)} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \left< \pi_{A}, \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \right> \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{B \times C} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{C} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\pi_{D} \circ \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} &= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \alpha_{ABC \times D} \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]\[
\begin{align*}
\pi_{D} \circ (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) &= \pi_{D} \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{(B \times C) \times D} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) \\
&= \pi_{D} \circ \alpha_{BCD} \circ \pi_{B \times (C \times D)} \\
&= \pi_{D} \circ \pi_{C \times D} \circ \pi_{B \times (C \times D)}
\end{align*}
\]
以上と product の UMP より  \alpha_{A \times BCD} \circ \alpha_{ABC \times D} = (\alpha_{ABC} \times 1_{D}) \circ \alpha_{AB \times CD} \circ (1_{A} \times \alpha_{BCD}) が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ \forall A,\ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = 1_{A} \times \lambda_{A} \] Proof.
 A \times A から  A への projection を  \pi_{1}, \pi_{2} で表すと、
 \pi_{1} \circ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{1} \circ \pi_{A \times {\bf{1}}} \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A}
 \pi_{1} \circ (1_{A} \times \lambda_{A}) = \pi_{A}

 \pi_{2} \circ (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A} \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = \pi_{A} \circ \pi_{{\bf{1}} \times A}
 \pi_{2} \circ (1_{A} \times \lambda_{A}) = \pi_{A} \circ \pi_{{\bf{1}} \times A}

が成り立つので product の UMP より  (\rho_{A} \times 1_{A}) \circ \alpha_{A{\bf{1}}A} = 1_{A} \times \lambda_{A} が成り立つ。

 \square

7.9 Equivalence of categories

Proposition 7.26

(2 implies 1) の証明の中で  E \colon {\bf{D}} \to {\bf{C}} を定義するために、任意の  D \in {\bf{D}}_{0} に対して  E(D) \in {\bf{C}}_{0} を選ぶ箇所で選択公理を仮定しています。

7.10 Examples of equivalence

Proposition 7.28

arrow  f \colon A \rightharpoondown B (U_{f} \subseteq A, f) と表すことにします。すると  {\bf{Par}} における写像の結合は  (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) = (f^{-1}(U_{g}), g \circ f) と表せます。

 Lemma
\[ {\bf{Par}} \text{ is a category}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160613142238p:plain
任意の  (U_{f}, f),(U_{g}, g), (U_{h}, h) に対して  (U_{h}, h) \circ \left( (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) \right) = (U_{h}, h) \circ \left( f^{-1}(U_{g}), g \circ f \right) = \left( (g \circ f)^{-1}(U_{h}), h \circ (g \circ f) \right) \left( (U_{h}, h) \circ (U_{g}, g) \right) \circ (U_{f}, f) = \left( g^{-1}(U_{h}), h \circ g \right) \circ (U_{f}, f) = \left( f^{-1} \left( g^{-1}(U_{h}) \right), (h \circ g) \circ f \right) が成り立つ。
 (g \circ f)^{-1}(U_{h}) = (f^{-1} \circ g^{-1})(U_{h}) h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f が成り立つので、 (U_{h}, h) \circ \left( (U_{g}, g) \circ (U_{f}, f) \right) = \left( (U_{h}, h) \circ (U_{g}, g) \right) \circ (U_{f}, f) が成り立つ。

f:id:hitotakuchan:20160613142252p:plain
また  (B, 1_{B}) \circ (U_{f}, f) = \left( f^{-1}(B), 1_{B} \circ f \right) = (U_{f}, f) (U_{f}, f) \circ (A, 1_{A}) = \left( 1_{A}^{-1}(U_{f}), f \circ 1_{A} \right) = (U_{f}, f) が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ F \colon {\bf{Par}} \to {\bf{Sets}}_{\ast} \text{ is a funcotr}. \] Proof.
書籍のように  F を定義すると、任意の  f \colon A \rightharpoondown B に対して  F(f) \colon F(A) \to F(B) となるので、 F は functor の条件 (a) を満たす。
次に  1_{A} \colon A \rightharpoondown A = (A, 1_{A}) であることに注意して、
\[
F(1_{A})(x) = F \left( (A, 1_{A}) \right)(x) =
\begin{cases}
x & \text{if } x \in A \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
これは  1_{A_{\ast}} = 1_{F(A)} と等しい。よって  F は functor の条件 (b) を満たす。
最後に任意の  (U_{f}, f) \colon A \rightharpoondown B (U_{g}, g) \colon B \rightharpoondown C に対して
\[
F\left( (U_{g},g) \circ (U_{f}, f) \right)(x) =
\begin{cases}
(g \circ f)(x) & x \in f^{-1}(U_{g}) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
である。一方
\[
\begin{align*}
\left( F\left( (U_{g}, g) \right) \circ F \left( (U_{f}, f) \right) \right)(x) &= F \left( (U_{g}, g) \right) \circ
\begin{cases}
f(x) & x \in U_{f} \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases} \\
&=
\begin{cases}
g \left( f(x) \right) & f(x) \in U_{g} = x \in f^{-1}(U_{g}) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{align*}
\]
よって  F\left( (U_{g},g) \circ (U_{f}, f) \right) = F\left( (U_{g}, g) \right) \circ F \left( (U_{f}, f) \right) が成り立つので  F は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

 Lemma
\[ G \colon {\bf{Sets}}_{\ast} \to {\bf{Par}} \text{ is a functor}. \] Proof.
書籍のように  G を定義すると、任意の  f \colon (A, a) \to (B, b) に対して  G(f) \colon G\left( (A, a) \right) \to G \left( (B, b) \right) となるので  G は functor の条件 (a) を満たす。
次に  G(1_{(A,a)}) = \left( A - 1_{A}^{-1}(a), 1_{A} \middle|_{A - 1_{A}^{-1}(a)} \right) = (A - \{ a \}, 1_{A - \{a \}}) = 1_{G\left( (A, a) \right)} が成り立つので  G は functor の条件 (b) を満たす。
最後に任意の  f \colon (A,a) \to (B, b) g \colon (B, b) \to (C, c) に対して
 G(g \circ f) = \left( A - (g \circ f)^{-1}(c), (g \circ f) \middle|_{A - (g \circ f)^{-1}(c)} \right)
 G(g) \circ G(f) = \left( B - g^{-1}(c), g \middle|_{B - g^{-1}(c)} \right) \circ \left( A - f^{-1}(b), f \middle|_{A - f^{-1}(b)} \right) = \left( f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right), (g \circ f) \middle|_{f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right)} \right)
が成り立つ。一方で
\[
\begin{align*}
x \in A - (g \circ f)^{-1}(c) &\iff x \in A \land g\left( f(x) \right) \neq c \\
&\iff x \in A \land f(x) \in B - g^{-1}(c) \\
&\iff x \in f^{-1} \left( B - g^{-1}(c) \right)
\end{align*}
\]
が成り立つので、 G(g \circ f) = G(g) \circ G(f) となり  G は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

 Lemma
\[ G \circ F = 1_{\bf{Par}} \] Proof.
 (G \circ F)_{0}(A) = G( A \cup \{\ast\}) = (A \cup \{\ast\}) - \{\ast\} = {1_{\bf{Par}}}_{0}(A) が成り立つ。
一方  (G \circ F)_{1}(U_{f}, f) = G(f_{\ast}) = (U_{G(f_{\ast})}, f_{\ast}) となるが、 U_{G(f_{\ast})} = (A \cup \{\ast\}) - f_{\ast}^{-1}(\ast) = U_{f} が成り立つので、 (U_{G(f_{\ast})}, f_{\ast}) = (U_{f}, f) となる。よって  (G \circ F)_{1} = {1_{\bf{Par}}}_{1} が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ F \circ G \simeq 1_{{\bf{Sets}}_{\ast}} \] Proof.
任意の  (A, a) に対して  \theta_{(A,a)} \colon (A,a) \to \left((A - a) \cup \{\ast\}, \ast \right) を以下のように定義する。
\[
\theta_{(A,a)}(x) =
\begin{cases}
x & x \neq a \\
\ast & x = a
\end{cases}
\]

  •  \theta_{(A,a)} が isomorphism であること

 \theta_{(A,a)} が surjective であることは明らかである。
任意の  x, y \in A に対して  \theta_{(A,a)}(x) = \theta_{(A,a)}(y) とする。まず  \theta_{(A,a)}(x) = x とする。このとき  \theta_{(A,a)}(y) = \ast とすると  \ast \in A となり  \ast \notin A と矛盾する。 \theta_{(A,a)}(y) = y とすると  x = y となり  \theta_{(A,a)} は injective である。
次に  \theta_{(A,a)}(x) = \ast とする。このとき  \theta_{(A,a)}(y) = \ast とすると  x = a = y となり  \theta_{(A,a)} は injective である。 \theta_{(A,a)}(y) = y とすると  \ast \in A となり  \ast \notin A と矛盾する。以上より  \theta_{(A,a)} は injective である。

  •  \theta が natural であること

f:id:hitotakuchan:20160618141711p:plain
任意の  f \colon (A,a) \to (B,b) に対して
\[
(F \circ G)(f) =
\begin{cases}
f(x) & x \in A - f^{-1}(b) \\
\ast & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
と表せる。
初めに  \left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(a) = \ast = (\theta_{(B,b)} \circ f)(a) が成り立つ。
次に任意の  x \neq a \in f^{-1}(b) に対して  \left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(x) = \ast (\theta_{(B,b)} \circ f)(x) = \theta_{(B, b)}(b) = \ast が成り立つ。
最後に任意の  x \in A - f^{-1}(b) に対して  \left( (F \circ G)(f) \circ \theta_{(A,a)} \right)(x) = f(x) = (\theta_{(B,b)} \circ f)(x) が成り立つ。
以上より  \theta は natural isomorphism である。

 \square

Example 7.29

 Lemma
\[ \Phi \text{ is a functor}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160621150317p:plain
書籍のように  \Phi \left( (A_{i})_{i \in I} \right) = \pi_{(A_{i})} \colon \coprod_{i \in I} A_{i} \to I で定義する。このとき、任意の  i \in I に対して任意の  a_{i} \in A_{i} i に対応させる constant map を  c_{i} \colon A_{i} \to I とすると、 \pi_{(A_{i})} \circ i_{A_{i}} = c_{i} が成り立つ。
次に任意の  (f_{i} \colon A_{i} \to B_{i})_{i \in I} に対して  \Phi \left( (f_{i}) \right) を次のように定義する。任意の  i \in I に対して  \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = i_{B_{i}} \circ f_{i} を満たす  \widetilde{f} \colon \coprod_{i \in I} A_{i} \to \coprod_{i \in I} B_{i} が coproduct の UMP よりただ一つ存在する。この  \widetilde{f} と任意の  i \in I に対して  \pi_{(B_{i})} \circ \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = \pi_{(B_{i})} \circ i_{B_{i}} \circ f_{i} = c_{i} \circ f_{i} = c_{i} が成り立つ。一方  \pi_{(A_{i})} \circ i_{A_{i}} = c_{i} であるから coproduct の UMP より  \pi_{(B_{i})} \circ \widetilde{f} = \pi_{(A_{i})} が成り立つ。そこで  \Phi \left( (f_{i}) \right) = \widetilde{f} と定義する。

初めに、 \Phi \left( (f_{i}) \colon (A_{i}) \to (B_{i}) \right) = \widetilde{f} \colon \Phi \left( (A_{i}) \right) \to \Phi \left( (B_{i}) \right) となるので  \Phi は functor の条件 (a) を満たす。
次に  \Phi (1_{(A_{i})}) = 1_{\coprod_{i \in I}(A_{i})} = 1_{\Phi \left( (A_{i}) \right)} となるので  \Phi は functor の条件 (b) を満たす。
最後に  \widetilde{g \circ f} の定義より  \widetilde{g \circ f} \circ i_{A_{i}} = i_{C_{i}} \circ g_{i} \circ f_{i} が成り立つ。一方で  \widetilde{g} \circ \widetilde{f} \circ i_{A_{i}} = \widetilde{g} \circ i_{B_{i}} \circ f_{i} = i_{C_{i}} \circ g_{i} \circ f_{i} が成り立つ。よって coproduct の UMP より  \Phi(g \circ f) = \Phi(g) \circ \Phi(f) が成り立ち、  \Phi は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

 Lemma
\[ \Psi \text{ is a functor}. \] Proof.
任意の  \alpha \colon A \to I に対して  \Psi(\alpha) = \left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I} で定義する。また任意の  f \colon \alpha \to \beta と任意の  i \in I に対して  f_{i} = f\vert_{\alpha^{-1}(i)} とする。すると  \alpha = \beta \circ f より  \alpha^{-1}(i) = (f^{-1} \circ \beta^{-1})(i) \iff f \left( \alpha^{-1}(i) \right) = \beta^{-1}(i) が成り立つので、 f_{i} \colon \alpha^{-1}(i) \to \beta^{-1}(i) となる。そこで  \Psi(f) \Psi(f) = (f_{i})_{i \in I} で定義する。

 \Psi(f \colon \alpha \to \beta) = (f_{i})_{i \in I} \colon \left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I} \to \left( \beta^{-1}(i) \right)_{i \in I} = (f_{i})_{i \in I} \colon \Psi(\alpha) \to \Psi(\beta) が成り立つので  \Psi は functor の条件 (a) を満たす。
次に  \Psi(1 \colon \alpha \to \alpha) = \left( 1 \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = 1_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)_{i \in I}} = 1_{\Psi(\alpha)} が成り立つので  \Psi は functor の条件 (b) を満たす。
最後に  \Psi( g \circ f \colon \alpha \to \gamma ) = \left( g \circ f \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = \left( g \middle|_{\beta^{-1}(i)} \right)_{i \in I} \circ \left( f \middle|_{\alpha^{-1}(i)} \right)_{i \in I} = \Psi(g) \circ \Psi(f) が成り立つので  \Psi は functor の条件 (c) を満たす。

 \square

 Lemma
\[ 1_{{\bf{Sets}}^{I}} \overset{\sim}{\to} \Psi \circ \Phi \] Proof.
任意の  (A_{i})_{i \in I} に対して  (\Psi \circ \Phi) \left( (A_{i})_{i \in I} \right) = \left( \left\{ (i, a) \, \middle| \,  a \in A_{i} \right\} \right)_{i \in I} であることに注意する。
 \theta_{(A_{i})} \colon (A_{i})_{i \in I} \to \left( \left\{ (i, a) \, \middle| \, a \in A_{i} \right\} \right)_{i \in I} を任意の  a \in A_{i} に対して  (\theta_{(A_{i})})_{i}(a) = (i,a) で定義する。
f:id:hitotakuchan:20160623155650p:plain

任意の  (f_{i}) \colon (A_{i})_{i \in I} \to (B_{i})_{i \in I} と任意の  i \in I a \in A_{i} に対して  \left( \Psi \circ \Phi \left( (f_{i}) \right) \circ \theta_{(A_{i})} \right)_{i}(a) = \left( i, f(a) \right) \left( \theta_{(B_{i})} \circ (f_{i}) \right)_{i}(a) = \left( i, f(a) \right) が成り立つ。 \theta_{(A_{i})} は明らかに isomorphism であるから、 \theta \colon 1_{{\bf{Sets}}^{I}} \to \Psi \circ \Phi は natural isomorphism である。

 \square

 Lemma
\[ 1_{{\bf{Sets}}/I} \overset{\sim}{\to} \Phi \circ \Psi \] Proof.
任意の  \alpha \colon A \to I に対して  (\Phi \circ \Psi)(\alpha) = \pi_{\left(\alpha^{-1}(i) \right)} \colon \coprod_{i \in I} \alpha^{-1}(i) \to I であることに注意する。
 \eta_{\alpha} \colon \alpha \to (\Phi \circ \Psi)(\alpha) を任意の  a \in A に対して  \eta_{\alpha}(a) = \left( \alpha(a),  a \right) で定義する。このとき  \alpha(a) = (\pi_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)} \circ \eta_{\alpha})(a) が成り立つのでこれは well-defined である。
次に  \eta_{\alpha}^{-1} \colon (\Phi \circ \Psi)(\alpha) \to \alpha を任意の  i \in I に対して  \eta_{\alpha}^{-1} \left( i, a \in \alpha^{-1}(i) \right) = a で定義すると、 \pi_{\left( \alpha^{-1}(i) \right)} = \alpha \circ \eta_{\alpha}^{-1} が成り立つのでこれは well-defined である。
このとき明らかに  \eta_{\alpha}^{-1} \circ \eta_{\alpha} = 1_{\alpha} かつ  \eta_{\alpha} \circ \eta_{\alpha}^{-1} = 1_{(\Phi \circ \Psi)(\alpha)} が成り立つので  \eta_{\alpha} は isomorphism である。
f:id:hitotakuchan:20160623163037p:plain

任意の  f \colon \alpha \to \beta と任意の  a \in A に対して  \left( (\Phi \circ \Psi)(f) \circ \eta_{\alpha} \right)(a) = \left( (\Phi \circ \Psi)(f) \right) \left( \alpha(a), a \right) = \left( \alpha(a), f(a) \right) (\eta_{\beta} \circ f)(a) = \left( (\beta \circ f)(a), f(a) \right) = \left( \alpha(a), f(a) \right) が成り立つ。よって  \eta \colon 1_{{\bf{Sets}}/I} \to \Phi \circ \Psi は natural isomorphism である。

 \square

Lemma 7.33

lemma 7.33 は証明したかったのですが、私に Boolean Algebra に関する素養がないため証明できませんでした。
わかりやすい証明をご存知の方はコメント欄なので教えてください。

参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

圏論 原著第2版

圏論 原著第2版