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Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 5

Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ

5.2 Pullbacks

Proposition 5.5

only if case しか証明されていないので、if case の証明を補っておきます。

 Lemma
\[ (E, p_{1}, p_{2}) \text{ is a pullback of } f \text{ and } g \Rightarrow (E, \left< p_{1}, p_{2} \right>) \text{ is an equalizer of } f \circ \pi_{1} \text{ and } g \circ \pi_{2}. \] Proof.
任意の  z \colon Z \to A \times B に対して、 f \circ \pi_{1} \circ  z = g \circ \pi_{2} \circ z が成り立つとする。 (E, p_{1}, p_{2}) が pullback であることより、 \exists !\,u \colon Z \to E が存在して  p_{1} \circ u = \pi_{1} \circ z かつ  p_{2} \circ u = \pi_{2} \circ z を満たす。
このとき、 i = 1,2 に対して、 \pi_{i} \circ \left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u = p_{i} \circ u = \pi_{i} \circ z であるから、 A \times B の UMP より  \left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u = z が成り立つ。
次に、任意の  u' \colon Z \to E に対して、 \left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u' = z が成り立つすると、 i = 1,2 に対して  p_{i} \circ u' = \pi_{i} \circ \left< p_{1}, p_{2} \right> \circ u' = \pi_{i} \circ z = p_{i} \circ u が成り立つ。よって pullback の UMP より  u' = u が成り立つ。

 \square

Exercise 3

 Lemma
\[ m \text{ is monic} \Rightarrow m' \text{ is monic}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160502130742p:plain
任意の  z_{1}, z_{2} \colon Z \to M' に対して、 m' \circ z_{1} = m' \circ z_{2} が成り立つとする。このとき、 m \circ f' \circ z_{1} = f \circ m' \circ z_{1} = f \circ m' \circ z_{2} = m \circ f' \circ z_{2} が成り立つが、 m が monic であることより  f' \circ z_{1} = f' \circ z_{2} が成り立つ。
 M' が pullback であることより、 \exists !\,z \colon Z \to M' が存在して、 m' \circ z = m' \circ z_{1} = m' \circ z_{2} かつ  f' \circ z = f' \circ z_{1} = f' \circ z_{2} を満たすが、 z_{1},z_{2} も diagram を可換にするので  z_{1} = z = z_{2} が成り立つ。よって  m' は monic である。

 \square

5.3 Properties of pullbacks

Two pullbacks lemma

 Lemma
\[ \text{If the two squares are pullbacks, so is the outer rectangle}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160503121002p:plain
任意の  x \colon Z \to A y \colon Z \to D に対して、 g \circ f \circ x = h \circ y が成り立つとする。すると right square が pullback であることより、 \exists !\, z' \colon Z \to E が存在して  g' \circ z' = y かつ  h' \circ z' = f \circ x を満たす。さらに left square が pullback であることより  \exists !\, z \colon Z \to F が存在して  h'' \circ z = x かつ  f' \circ z = z' を満たす。
次に、任意の  z'' \colon Z \to F に対して  h'' \circ z'' = x かつ  g' \circ f' \circ z'' = y が成り立つとする。 f' \circ z'' g' \circ (f' \circ z'') = y h' \circ (f' \circ z'') = f \circ h'' \circ z'' = f \circ x が成り立つから、right square の UMP より  f' \circ z'' = z' が成り立つ。すると left square の UMP より  z = z'' が成り立つ。

 \square

 Lemma
\[ \text{If the right square and the outer rectangle are pullbacks, so is the left square}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160503121025p:plain
任意の  x \colon Z \to A y \colon Z \to E に対して、 f \circ x = h' \circ y とする。 g \circ f \circ x = g \circ h' \circ y = h \circ g' \circ y が成り立ち、outer rectangle が pullback であることより  \exists !\, z \colon Z \to F が存在して  h'' \circ z = x かつ  g' \circ f' \circ z = g' \circ y を満たす。
 h' \circ f' \circ z = f \circ h'' \circ z = f \circ x = h' \circ y が成り立つことと、right square が pullback であることより  f' \circ z = y が成り立つ。
次に、任意の  z' \colon Z \to F に対して  h'' \circ z' = x かつ  f' \circ z' = y が成り立つとする。すると  g' \circ f' \circ z' = g' \circ y が成り立つので、outer rectangle の UMP より  z = z' が成り立つ。

 \square

Proposition 5.10

証明自体は難しくないので詳細は省略します。一般に pullback は up to isomorphism でしか決まりません。よって、この functor  h^{\ast} の存在を言うためには選択公理を仮定するか、後で出てくる skeletal という概念を用いて圏  \bf{C}skeletal であるという条件を付け加えないといけないと思います。

Example 5.13

 Lemma
\[ {\coprod_{j \in J} A_{\alpha(j)}} \text{ is a pullback}. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160503141325p:plain
 \alpha'(j, a) = (\alpha(j), a) で定義する。 a \in A_{\alpha(j)} であるから  \alpha' は well-defined である。
任意の  f \colon Z \to J g \colon Z \to {\coprod_{i \in I} A_{i}} に対して、 \alpha \circ f = p \circ g が成り立つとする。このとき、任意の  z \in Z に対して  g(z) = (i, a) とするとき、 h \colon Z \to {\coprod_{j \in J} A_{\alpha(j)}} h(z) = (f(z), a) で定義する。これは  \alpha(f(z)) = (\alpha \circ f)(z) = (p \circ g)(z) = i が成り立つので  a \in A_{\alpha(f(z))} となり well-defined である。また、 (q \circ h)(z) = f(z) かつ  (\alpha' \circ h)(z) = (\alpha(f(z)), a) = (i, a) = g(z) が成り立つので、 h は diagram を可換にする。
次に、任意の  h' \colon Z \to {\coprod_{j \in J} A_{\alpha(j)}} q \circ h' = f かつ  \alpha' \circ h' = g を満たすとする。任意の  z \in Z に対して  h'(z) = (j, b) とすると、 q \circ h' = f より  j = f(z) が成り立つ。また  g(z) = (i, a) とすると、 (i,a) = g(z) = (\alpha' \circ h')(z) = (\alpha(f(z)), b) = (p(g(z)), b) = (i, b) より  a = b が成り立つ。よって  h = h' が成り立つ。

 \square

5.4 Limits

Proposition 5.14

上の two-pullback lemma の場合もそうでしたが、証明が easy diagram chase とだけ書かれていて省略されている場合、私の経験上全然 easy じゃないことが多いので補足しておきます。

 Lemma
\[ (E,e,h) \text{ is a pullback then } (E,e) \text{ is an equalizer of } f,g. \] Proof.
f:id:hitotakuchan:20160506130719p:plain
初めに  \Delta が monic であることを示す。
任意の  x,y \colon Z \to B に対して、 \Delta \circ x = \Delta \circ y が成り立つとする。すると  x = 1_{B} \circ x = \pi_{1} \circ \Delta \circ x = \pi_{1} \circ \Delta \circ y = 1_{B} \circ y = y が成り立つ。よって  \Delta は monic である。
次に、 f \circ e = \pi_{1} \circ \left< f,g \right> \circ e = \pi_{1} \circ  \Delta \circ h = h g \circ e = \pi_{2} \circ \left< f,g \right> \circ e = \pi_{2} \circ \Delta \circ h = h が成り立つので、 f \circ e = g \circ e が成り立つ。
最後に、任意の  x \colon Z \to A に対して、 f \circ x = g \circ x が成り立つとする。このとき  \pi_{1} \circ \Delta \circ f \circ x = f \circ x = \pi_{1} \circ \left< f,g \right> \circ x かつ  \pi_{2} \circ \Delta \circ f \circ x = f \circ x = g \circ x = \pi_{2} \circ \left< f,g \right> \circ x が成り立つから  B \times B の UMP より  \Delta \circ f \circ x = \left< f,g \right> \circ x が成り立つ。すると  Z が pullback であることより、 \exists !\, z \colon Z \to E が存在して  e \circ z = x かつ  h \circ z = f \circ x を満たす。
Exercise 3 より  \Delta が monic なら  e は monic となるので  e \circ z = x を満たす  z はただ一つに決まる。よって  (E,e) f g の equalizer である。

 \square

5.6 Colimits

Direct limits of groups

 G_{\inf} \omega-colimits であることの証明は簡単ではないです。ここでは詳細は証明は省略しますが、以下の記事で R 加群の場合の direct limit に関する基本的な性質の証明を行っているので、詳しく証明を確認したい人は参照してください。

www.orecoli.com

参考書籍

Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category Theory (Oxford Logic Guides)

圏論 原著第2版

圏論 原著第2版